חבורה סופית

במתמטיקה ובפרט בתורת החבורות חבורה סופית היא חבורה בעלת מספר סופי של איברים. חקר החבורת הסופיות מהווה חלק חשוב בתרות החבורות. בעוד שעבור חבורת אין-ספיות בדרך כלל נדרש מבנה נוסף או לפחות תכונות נוספות כדי לקבל תורה מענינת, יש תורה עשירה ועמוקה שתקפה עבור כל החבורת סופיות.

מיון ומבנה

אין מיון מלא ושימושי שמתאר את כל החבורת הסופיות. יש גם אינדיקציות רבות לכך שהדבר אינו אפשרי. אולם, אפשר לתת מיון חלקי שמספק מידע רב על המבנה האפשרי של חבורות סופיות.

הרחבה של חבורות

צעד הראשון בהבנת המבנה של חבורה כללית הוא האבחנה שאם לחבורה $G$ יש תת חבורה נורמלית $N$ אז ניתן להבין הרבה על $G$ מתוך החבורה $N$ וחבורת המנה $G/N$. במקרה כזה, החבורה $G$ נקראת הרחבה של החבורות $N$ ו - $G/N$.

חבורות פשוטות

ערך מורחב – חבורה פשוטה

אם $N$ היא החבורה טריוויאלית או ש - $N=G$ אז שיטה זאת להבנת מבנה החבורה $G$ נכשלת. בהתאם, אם ל - $G$ יש רק 2 תת-חבורות נורמליות ($G$ והחבורה הטריוויאלית) אז לא ניתן להשתמש בשיטה זאת. במקרה כזה $G$ נקראת חבורה פשוטה.

משפט ז'ורדן-הלדר

ערך מורחב – משפט ז'ורדן-הלדר

על ידי הפעלה חוזרת של הטיעון למעלה, קל לראות שבהנתן חבורה סופית $G$ ניתן למצא סדרה של חבורות $$G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \cdots \triangleright G_{k}={1}$$ כך ש: $G_{i}/G_{i+1}$ היא חבורה פשוטה. במילים אחרות כל חבורה סופית מתקבלת מהרחבה חוזרת של חבורות סופיות פשוטות. סדרת החבורות $G_{i}$ נקראת סדרת הרכב של $G$ והמנות $G_{i}/G_{i+1}$ נקראות גורמי הסדרה.

משפט ז'ורדן-הלדר קובע כי אוסף הגורמים של סדרת הרכב תלוי רק בחבורה $G$ ולא בבחירת סדרת ההרכב. בהתאם, לגורמים אלה קוראים לעיתים גם הגורמים הפשוטים של $G$

לאור משפט זה ניתן לחלק את משימת המיון של חבורות סופיות לשתי משימות:

1. מיון כל החבורות הפשוטות.
2. מיון כל החבורות בעלות אוסף גורמים פשוטים נתון. במלים אחרות מיון כל הדרכים בהם ניתן להרחיב חבורות פשוטות אחת עם השניה (שוב ושוב).

המשימה הראשונה היתה קשה ביותר, והיא הושלמה באופן מספק למדי במהלך המאה ה-20 ומהווה את משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות. משפט זה מהווה את אחת התוצאות המורכבות במתמטיקה. לאומת זאת, המשימה השניה קשה בהרבה, נחשב שלא ניתן להציג לה פיתרון כללי ושימושי. אולם במקרים מסוימים ניתן לספק לה פתרונות חלקיים.

משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות

ערך מורחב – משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות

משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות קובע שכל חבורה סופית פשוטה שייכת לאחת מבין ארבע הקבוצות הבאות, שמהן שלוש הראשונות אינסופיות:

1. החבורות הציקליות מסדר ראשוני.
2. חבורות של תמורות זוגיות מסדר 5 ומעלה.
3. חבורות פשוטות סופית מטיפוס לי. חבורות אלה כוללות את החבורות הפשוטות הסופית הקלאסיות, את החבורת הפשוטות הסופיות מחמשת הטיפוסים המיוחדים של חבורות לי, ואת ה"עיוותים" של כל אלה.
4. רשימה ידועה של 26 חבורות ספורדיות.

יש חיתוך מסוים בין קבוצות 2 ו - 3, אך חיתוך זה סופי (שלוש חבורות) וידוע באופן מפורש.

המשפט ידוע בכך שהוא לקח זמן רב מאוד להוכחה. העבודה על המשפט נמשכה כמה עשרות שנים, השתתפו בה כמאה מתמטיקאים, והיא משתרעת על-פני 500 מאמרים בכתבי עת מקצועיים, הכוללים כ-15,000 עמודים. משפט המיון הוא משפט מרכזי בתורת החבורות הסופיות, והוא מהווה אחד ההשגים הגדולים ביותר של המתמטיקה במאה העשרים.

חבורות אבליות

ערך מורחב – משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית

חבורה נקראת אבלית אם כל שני איברים $x,y$ בה מתחלפים (זאת אומרת $xy=yx$). מיון חבורות סופיות אבליות היא משימה פשוטה בהרבה. קל לראות שחבורות אבלית פשוטות הן בדיוק החבורות הציקליות מסדר ראשוני. גם המיון של חבורת אבליות סופיות כלליות אינו מסובך ומהווה מקרה פרטי של משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית. לפי משפט זה כל חבורה אבלית סופית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות סופיות. בדרך כלל, את אותה החבורה האבלית ניתן לכתוב במספר דרכים שונות בתור מכפלה של חבורות ציקליות סופיות. אולם, אם דורשים דברים נוספים מפרוק זה אז הוא נהיה יחיד. לדוגמה, כל חבורה אבלית סופית ניתן לכתוב באופן יחיד בתור מכפלה ישרה של חבורות ציקליות שסידרן הוא חזקת ראשוני.

חבורות פתירות

ערך מורחב – חבורה פתירה

חבורות פתירות (סופיות) הן חבורות (סופיות) שגורמיהן הפשוטים הם חבורות אבליות. החבורת האבליות הפשוטות קלות מאוד לתיאור - אלו הן החבורות הציקליות מסדר ראשוני. אולם קשה מאוד לתאר את כל ההרחבות שלהן. בהרבה מובנים, עיקר הקושי במיון כל ההרחבות של חבורת פשוטות בא לידי ביטוי כבר במיון החבורות הפתירות.

חבורות נילפוטנטיות וחבורת p

ערכים מורחבים – חבורה נילפוטנטית, חבורת p

החבורות הנילפוטנטיות מהוות מחלקה חשובה של חבורת פתירות. חבורה נילפוטנטית היא חבורה פתירה שקיימת עבורה סדרת הרכב מרכזית. זאת אומרת סדרת הרכב: $$G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \cdots \triangleright G_{k}={1}$$ כך שהגורם $G_{i}/G_{i+1}$ הוא תת-חבורה של המרכז של $G/G_{i+1}$. במילים אחרות, חבורה נילפוטנטית היא חבורה המתקבלת מהרחבות מרכזיות (ראו להלן) חוזרות.

המבנה של חבורות נילפוטנטיות קשור קשר הדוק למבנה של חבורת-$p$. עבור מספר ראשוני $p$, חבורת-$p$ היא חבורה שסדרה הוא חזקה של $p$. הקשר בין חבורות נילפוטנטוית וחבורות-$p$ ניתן על ידי המשפט הבא:

משפט: אם $G$ היא חבורה סופית אז הדברים הבאים שקולים:

• $G$ נילפוטנטית
• $G$ היא מכפלה ישרה של חבורת-$p$.

הפרוק של חבורה נילפוטנטית למכפלה של חבורת-$p$ הוא יחיד.

כדי להבין את המבנה של חבורות נילפוטנטיות די להבין את הבנה של חבורות-$p$. חבורות-$p$ הן חבורות המתקבלות מהרחבות (חוזרת) של החבורה הציקלית מסדר $p$ - $C_{p}$. למרות המבנה הפשוט של החבורה $C_{p}$ ולמרות העבדה שהרחבות כאלה חיבות להיות מרכזיות. תיאור מלא ושימושי של ההרחבות האלה באופן כללי נחשב למשימה בלתי אפשרית. אוסף חבורות ה-$p$ הוא עשיר מאוד. למעשה אחוז החבורות (עד סדר נתון $n$) שהן חבורת $2$ שואף ל-1 כאשר $n$ שואף לאינסוף.

סוגים של הרחבות

פסקה זו נמצאת בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך פסקה זו בטרם תוסר ההודעה הזו. אם הפסקה לא נערכה במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך את הפסקה, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחת המשתמש.

אומנם מיון מלא ושימושי של הרחבות אינו בנמצא, אבל יש סוגים של הרחבות הקלים יותר להבנה.

מכפלה ישרה

הסוג הפשוט ביותר של הרחבה הוא מכפלה ישרה. בהינתן שתי חבורות $G,H$ המכפלה הישרה שלהן מסומנת ב - $G\times H$ ומהוה את אוסף כל הזוגות של איברים שהראשון בהם הוא איבר ב-$G$ והשני הוא איבר ב-$H$. המכפלה של זוגות כאלה מוגדרת על ידי $$(g_{1},h_{1})(g_{2},h_{2}):=(g_{1}g_{2},h_{1}h_{2})$$

מכפלה ישרה נקראת גם הרחבה טריוויאלית.

מכפלה חצי-ישרה

ערך מורחב – מכפלה חצי ישרה

חבורה $G$ נקראת מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורות שלה $H,N<G$ אם מתקיים:

• $N$ נורמלית ב-$G$
• $H\cap N=\{1\}$
• $HN=G$, כלומר כל איבר ב-$G$ ניתן לכתוב כמכפלה של איבר ב-$H$ ואיבר ב-$N$.

המכפלות החצי-ישרות של $H$ ו-$N$ (עד כדי איזומורפיזם) ממוינות על-ידי פעלות של $H$ על $N$ (עד כדי יחס שקילות מתאים).

אם ככלל ככול ש - $N$ "יותר קמוטטיבית" כך יש יותר דרכים ל - $H$ לפעול עליה (עד כדי הצמדה ב-$N$). לכן ככל של - $N$ יש ייותר גורמים קמוטטיביים, כך המכפלות החצי ישרות של $H$ ו - $N$ מאפשרות מגוון עשיר יותר של הרחבות.

מכפלה חצי ישרה נקראת גם "הרחבה מתפצלת".

מכפלת זר

ערך מורחב – מכפלת זר

מקרה פרטי של מכפלה חצי ישרה הוא מכפלת זר. במקרה זה $N$ היא מכפלה ישרה של מספר עותקים של חבורה $N_{0}$ והפעולה של $H$ על - $N$ היא על-ידי תמורות של עותקים אלו. אם כל הגורמים הפשוטים של חבורה $G$ הם לא אבליים אז ההרחבות בין הגורמים השונים דומות למדי למכפלות זר (אם כי לא בהכרח מתפצלות)

הרחבה מרכזית

בהינתן חבורה $G$ ותת-חבורה $N<Z(G)$ של המרכז של $G$ אומרים ש-$G$ היא הרחבה מרכזית של $G/N$ ע"י $N$. ניתן למיין הרחבות מרכזיות באמצעות כלים של אלגברה הומולוגית. ההרחבות המרכזיות של חבורה $H$ ע"י חבורה אבלית $N$ ממוינות על ידי הקוהומולוגיה $$H^{2}(H,N)$$ אומנם תיאור זה מפורש, אך במקרים רבים הוא רחוק מלתת תשובה מלאה. לדוגמה, אם $H$ ו-$N$ הם מרחבים וקטוריים מעל שדה סופי $\mathbb {F} _{q}$ אז חישוב $H^{2}(H,N)$ שקולה לבעיה פיראית באלגברה ליניארית.

אם $H$ חבורה מושלמת, אז הבעיה נהיית פשוטה יותר. בפרט מתקיים $$H^{2}(H,N)=H^{2}(H,\mathbb {Z} )\otimes N$$.

אם $H$ חבורה סופית אז החבורה $H^{2}(H,\mathbb {Z} )$ היא חבורה סופית. חבורה זו נקראת כופל שור של $H$. לחבורה סופית מושלמת $H$ יש הרחבה מרכזית ${\tilde {H}}$ ע"י כופל שור שלה שנקראת ההרחבה המרכזית האונברסלית של $H$. כל הרחבה מרכזית מושלמת של $H$ היא מנה של ${\tilde {H}}$ בתת-חבורה של $H^{2}(H,\mathbb {Z} )$.

כחלק ממשפט המיון לחבורות פשוטות סופיות מוינו גם כל ההרחבות המרכזיות של חבורות אלו.

חבורת האוטומורפיזמים של חבורה

פסקה זו נמצאת בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך פסקה זו בטרם תוסר ההודעה הזו. אם הפסקה לא נערכה במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך את הפסקה, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחת המשתמש.

ערכים מורחבים – חבורת האוטומורפיזמים של חבורה, חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים, אוטומורפיזם פנימי

תתי חבורות קנוניות

פסקה זו נמצאת בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך פסקה זו בטרם תוסר ההודעה הזו. אם הפסקה לא נערכה במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך את הפסקה, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחת המשתמש.

תשתית של חבורה

ערך מורחב – תשתית (אלגברה)

משפטים על חבורות סופיות

כאמור ישנם משפטים רבים התקפים לחבורות סופיות. להלן מספר דוגמאות:

• משפט ז'ורדן-הלדר
• משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות
• משפטי סילו
• משפט הלדר - כל חבורה מסדר שהוא מכפלה של פחות מ - 4 גורמים ראשוניים.
• משפט פייט-תומפסון - כל חבורה מסדר אי-זוגי היא פתירה.
• משפט ברנסייד - כל חבורה שלסדר שלה יש רק 2 גורמים ראשוניים היא פתירה.