איבר מינימלי ומקסימלי

ערך זה דורש ידע מוקדם. אם אתם מתקשים להבין את הערך מומלץ לעיין ב:

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, איבר מינימלי ואיבר מקסימלי הם איברים בתת-קבוצה של קבוצה סדורה שעבורם אין באותה קבוצה איבר קטן יותר או גדול יותר מהם בהתאמה. חשיבותם של איברים אלה בכך שהם לרוב מקיימים תכונות מסוימות המאפשרות לחקור את הקבוצה הסדורה הכוללת או אובייקט מתמטי אחר.

הגדרה מתמטית

בהינתן קבוצה סדורה חלקית $(A,\leq )$ ותת-קבוצה $S\subseteq A$ , מגדירים כי:^[1]

איבר $s\in S$ ייקרא איבר מינימלי ב- $S$ (או איבר מזערי) אם ורק אם לכל $a\in S$ המקיים $a\leq s$ , מתקיים בהכרח ש- $a=s$ .
איבר $s\in S$ ייקרא איבר מקסימלי ב- $S$ (או איבר מרבי) אם ורק אם לכל $a\in S$ המקיים $s\leq a$ , מתקיים בהכרח ש- $a=s$ .

כלומר, איבר מרבי הוא איבר ב- $S$ כך שלא קיים איבר גדול ממנו ב- $S$ . באופן דואלי, איבר מזערי הוא איבר ב- $S$ שלא קיים איבר קטן ממנו.

כאשר הקבוצה $S$ ברורה מההקשר, או במקרה שבו $S=A$ , ניתן לקרוא לאיבר המזערי ב- $S$ איבר מזערי ללא ציון הקבוצה שבה הוא מזערי. הדבר נכון גם עבור איבר מרבי ב- $S$ .

לא לכל קבוצה קיים בהכרח איבר מינימלי או מקסימלי. מצד שני, ייתכנו בקבוצה כלשהי יותר מאיבר מינימלי אחד או יותר מאיבר מקסימלי אחד.

איבר קטן ביותר וגדול ביותר

בהינתן קבוצה סדורה חלקית $(A,\leq )$ ותת-קבוצה $S\subseteq A$ , מגדירים כי:

איבר $s\in S$ ייקרא מינימום ב- $S$ (או האיבר הקטן ביותר ב- $S$ ) אם ורק אם לכל $a\in S$ מתקיים ש- $s\leq a$ .
איבר $s\in S$ ייקרא מקסימום ב- $S$ (או האיבר הגדול ביותר ב- $S$ ) אם ורק אם לכל $a\in S$ מתקיים ש- $a\leq s$ .

כלומר, מינימום ב- $S$ הוא איבר ב- $S$ שכל איברי $S$ גדולים ממנו. לחלופין, מקסימום ב- $S$ הוא איבר ב- $S$ שכל איבר $S$ קטנים ממנו.

ניתן להוכיח כי כל מינימום ב- $S$ הוא איבר מינימלי ב- $S$ , ובאופן זהה כל מקסימום ב- $S$ הוא איבר מקסימלי ב- $S$ . ההפך אינו בהכרח נכון.

לכל קבוצה יש לכל היותר מקסימום אחד ומינימום אחד. עם זאת, ישנן קבוצות שאין להן מינימום או מקסימום.

תכונות

בכל קבוצה סדורה סופית קיים איבר מינימלי ואיבר מקסימלי.
בכל קבוצה מכוונת מעלה, אם בתת-קבוצה כלשהי קיים איבר מקסימלי, הוא בהכרח האיבר הגדול ביותר בה. באופן זהה, עבור קבוצה מכוונת מטה, אם בתת-קבוצה כלשהי קיים איבר מינימלי, הוא בהכרח האיבר הקטן ביותר בה.
התכונה לעיל נכונה בפרט עבור קבוצה סדורה באופן מלא.
עבור קבוצה סדורה $(A,\leq )$ ותת-קבוצה $S\subseteq A$ , $a\in S$ הוא איבר מינימלי ב- $S$ לפי $\leq$ ורק אם הוא איבר מקסימלי ב- $S$ לפי היחס ההפוך $\geq$ .

דוגמה

בהינתן הקבוצה $A=\left\{x,y,z\right\}$ מתבוננים בקבוצת החזקה שלה ${\mathcal {B}}:={\mathcal {P}}(A)$ .

קבוצה זו היא קבוצה סדורה חלקית לפי יחס ההכלה $\subseteq$ . בקבוצה זו, הקבוצה הריקה היא מינימום, ובפרט איבר מינימלי. באופן דומה, בקבוצה זו $A$ היא מקסימום, ולכן איבר מקסימלי.

בקבוצה ${\mathcal {B}}$ המונחים "איבר מינימלי" ו"איבר מקסימלי" מתלכדים עם המונחים "האיבר הקטן ביותר" ו"האיבר הגדול ביותר" בהתאמה.

כעת, מגדירים את הקבוצה ${\mathcal {C}}:={\mathcal {B}}\backslash \left\{\emptyset ,A\right\}$ . גם קבוצה זו היא סדורה לפי יחס ההכלה.

ניתן להבחין כי בקבוצה ${\mathcal {C}}$ יש שלושה איברים מינימליים והם $\left\{x\right\}$ , $\left\{y\right\}$ ו- $\left\{z\right\}$ . כמו כן, ב- ${\mathcal {C}}$ יש שלושה איברים מקסימליים והם $\left\{x,y\right\}$ , $\left\{x,z\right\}$ ו- $\left\{y,z\right\}$ . עם זאת, בקבוצה ${\mathcal {C}}$ אין מינימום ואין מקסימום.

זוהי דוגמה לכל שהמונחים איבר מקסימלי ומקסימום אינם זהים, וכן איבר מינימלי ומינימום אינם זהים.

שימושים

תורת הקבוצות

ערך מורחב – הלמה של צורן

בתורת הקבוצות, אחת התוצאות החשובות ביותר הנוגעות לאיברים מינימליים ומקסימליים היא הלמה של צורן, הקובעת כי כל עבור כל קבוצה סדורה שבה לכל שרשרת יש חסם עליון, יש בהכרח איבר מקסימלי.^[2] למה זו משמשת ככלי בסיסי בהוכחת משפטים חשובים רבים במתמטיקה כגון קיומו של בסיס לכל מרחב וקטורי, משפט טיכונוף, משפט ההרחבה של שפילריין (Szpilrajn extension theorem) וכו'.

הוכחת הלמה של צורן מסתמכת על אקסיומות צרמלו-פרנקל ועל אקסיומת הבחירה. עם זאת, בהינתן אקסיומות צרמלו-פרנקל ובהנחת הלמה של צורן, ניתן להוכיח את אקסיומת הבחירה. משמעות הדבר היא שהלמה של צורן שקולה לאקסיומת הבחירה במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל.

אלגברה ליניארית

ערך מורחב – בסיס (אלגברה)

עבור מרחבים וקטוריים, ישנם שני סוגים של תתי-קבוצות מרכזיים להבנת המרחב: קבוצה בלתי-תלויה וקבוצה פורשֹת. ניתן להוכיח כי כל קבוצה בלתי-תלויה מקסימלית (כלומר, שלא מוכלת בקבוצה בלתי-תלויה אחרת) היא בהכרח קבוצה פורשֹת מינימלית (כלומר, קבוצה פורשֹת שלא מכילה קבוצה פורשֹת אחרת). קבוצה שהיא בלתי-תלויה מקסימלית, או באופן שקול פורשֹת מינימלית, נקראת בסיס של המרחב הווקטורי.

באמצעות הלמה של צורן ניתן להוכיח כי לכל מרחב וקטורי קיים בסיס. בסיס זה אינו בהכרח ייחודי, כלומר יכולים להיות מגוון של בסיסים למרחב. זוהי דוגמה נוספת לכך שלא כל איבר מקסימלי הוא בהכרח מקסימום.

תורת המספרים

ערך מורחב – מספר ראשוני

אחד המונחים המרכזיים בתורת המספרים הוא מספר ראשוני.

אחת ההגדרות למספר ראשוני היא איבר מינימלי בקבוצת המספרים הטבעיים הגדולים מ-1 בהתאם ליחס הסדר החלקי "מחלק את". כלומר, מספר ראשוני הוא מספר שאין מספרים אחרים שמחלקים אותו מלבד הוא עצמו ו-1.

למספרים ראשוניים חשיבות רבה בחקר תכונותיהם של כלל המספרים הטבעיים. כך למשל, ניתן להוכיח כי ישנם אינסוף מספרים ראשוניים, שכל מספר טבעי ניתן לפירוק למכפלת מספרים ראשוניים יחידה עד כדי סדר הכפלה, ושהתפלגות הראשוניים עד מספר טבעי $n$ גדלה כמו ${\frac {n}{\ln(n)}}$ .

לוגיקה

עבור קבוצה כלשהי $A$ , קבוצה ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(A)$ נקראת מסנן אם ורק אם היא מכוונת כלפי מטה וסגורה כלפי מעלה לפי יחס ההכלה $\subseteq$ . מסנן יקרא על-מסנן אם ורק אם הוא מסנן מקסימלי ביחס להכלה.

כעת, בהינתן קבוצה אינדקסים $I$ , על-מסנן ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(I)$ ואוסף קבוצות $\left\{A_{i}\right\}_{i\in I}$ מגדירים את העל-מכפלה $\prod _{i\in I}{A_{i}}/{\mathcal {F}}$ להיות המכפלה הקרטזית של איברי $\left\{A_{i}\right\}_{i\in I}$ תחת יחס שקילות הקובע שזוג איברים שווה זה לזה אם ורק אם אוסף האינדקסים שבהם הקואורדינטה של שני האיברים שווה שייך למסנן ${\mathcal {F}}$ .^[3]

לעל-מסננים חשיבות רבה בתחום הלוגיקה. משפט העל-מכפלות קובע שבהינתן אוסף של מודלים של שפה מסדר ראשון, פסוק מתקיים במודל העל-מכפלה אם ורק אם הוא מתקיים באוסף מודלים שאוסף האינדקסים שלהם שייך לעל-מסנן. משפט זה מהווה בסיס למשפטים חשובים אחרים כגון משפט הקומפקטיות.

ראו גם

הערות שוליים

^ Egbert Harzheim, Ordered Sets, Springer Science & Business Media, 2005-02-17, ISBN 978-0-387-24219-4. (באנגלית)
^ Eric W. Weisstein, Zorn's Lemma, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
^ David Marker, Model Theory : An Introduction, Springer Science & Business Media, 2006-04-06, ISBN 978-0-387-22734-4. (באנגלית)

[1] Egbert Harzheim, Ordered Sets, Springer Science & Business Media, 2005-02-17, ISBN 978-0-387-24219-4. (באנגלית)

[2] Eric W. Weisstein, Zorn's Lemma, mathworld.wolfram.com (באנגלית)

[3] David Marker, Model Theory : An Introduction, Springer Science & Business Media, 2006-04-06, ISBN 978-0-387-22734-4. (באנגלית)

[1]

[2]

[3]