קבוצה מכוונת

ערך זה דורש ידע מוקדם. אם אתם מתקשים להבין את הערך מומלץ לעיין ב:

יחס (תורת הקבוצות)

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות קבוצה מכוונת היא קבוצה עם יחס רפלקסיבי וטרנזיטיבי שבה לכל זוג איברים קיים חסם עליון.

לקבוצות מכוונות יש חשיבות רבה מכיוון שהן מהוות הבסיס למבנים מתמטיים אחרים כגון רשת, סריג ומסנן.

הגדרה מתמטית

בהינתן קבוצה $A$ ועליה יחס $\leq$, היחס $\leq$ יקרא יחס מכוון אם ורק אם הוא מקיים את התכונות הבאות:

1. רפלקסיביות: לכל $a\in A$ מתקיים ש-$a\leq a$
2. טרנזיטיביות: אם $a\leq b$ וגם $b\leq c$, אז בהכרח גם $a\leq c$
3. כיווניות כלפי מעלה: לכל $a,b\in A$ קיים $c\in A$ כך ש-$a\leq c$ וגם $b\leq c$

הזוג הסדור $(A,\leq )$ נקרא קבוצה מכוונת מעלה או בקצרה קבוצה מכוונת.

לפי תנאים 1 ו-2, היחס $\leq$ הוא קדם-סדר. עם זאת, היחס $\leq$ הוא לא בהכרח אנטי-סימטרי ולכן הוא אינו נדרש להיות יחס סדר חלקי (ראו דוגמה להלן).

ניתן לנסח את תנאי 3 לעיל באופן השקול הבא:

• לכל תת-קבוצה סופית $B\subseteq A$ קיים חסם עליון. כלומר, קיים $c\in A$ כך שלכל $b\in B$ מתקיים ש-$b\leq c$.

יש לשים לב שתנאי זה נכון אך ורק כאשר $B$ סופית. כאשר $B$ אינסופית, לא מובטח קיום של חסם עליון.

הזוג הסדור $(A,\leq )$ יקרא קבוצה מכוונת למטה אם ורק אם הזוג הסדור $(A,\geq )$ הוא קבוצה מכוונת (מעלה), כאשר $\geq$ הוא היחס ההופכי של $\leq$.

תת-קבוצה מכוונת

בהינתן קבוצה סדורה חלקית $(A,\leq )$ ותת-קבוצה $B\subseteq A$, $B$ תקרא תת-קבוצה מכוונת של $A$ אם ורק אם $(B,\leq _{B})$ קבוצה מכוונת, זאת כאשר $\leq _{B}$ הוא צמצום היחס $\leq$ ל-$B$.

כלומר, גם במקרה שבו קבוצה סדורה חלקית היא לא קבוצה מכוונת, תיתכן לה תת-קבוצה שהיא מכוונת.

באמצעות הלמה של צורן ניתן להוכיח כי לכל קבוצה סדורה חלקית קיימת תת-קבוצה מכוונת מקסימלית.

תכונות

• לא כל תת-קבוצה של קבוצה מכוונת היא בהכרח מכוונת.
• כל קבוצה סדורה ביחס סדר מלא היא קבוצה מכוונת. ההפך אינו בהכרח נכון.
• בהינתן קבוצה מכוונת, אם קיים בה איבר מקסימלי הוא בהכרח האיבר הגדול ביותר בה.

רשת

ערך מורחב – רשת (טופולוגיה)

אחד השימושים החשובים ביותר עבור קבוצות מכוונות הוא בהגדרת רשתות. רשת היא למעשה הכללה של מונח הסדרה.

בהינתן קבוצה מכוונת $(A,\leq )$ וקבוצה $X$, פונקציה $f:A\to X$ תקרא רשת.

היתרון המשמעותי של שימוש ברשתות הוא בכך שניתן להתבונן מה קורה לערך הפונקציה $f(a)$ ככל ש-$a$ גדל. מאחר ש-$A$ מכוונת, גם עבור $a,b\in A$ שאינם בני השוואה, ניתן למצוא $c\in A$ שגדול משניהם. כלומר, לא משנה היכן מתחילים לבחון את הרשת, אם ב-$a$ או ב-$b$, ישנו לבסוף $c$ כלשהו גדול מספיק שבו הענפים של $a$ ו-$b$ מתלכדים ואפשר לבחון מה קורה לערך הפונקציה $f$ החל מערך $c$ זה.

תכונה זו מאפשרת להגדיר האם רשת מתכנסת, זאת כאשר הטווח שלה $X$ מצויד בטופולוגיה כלשהי $\tau$: הרשת $f:A\to X$ מתכנסת ל-$x\in X$ אם ורק אם לכל סביבה $U$ של $x$ קיים $a\in A$ כך שלכל $a\leq b$ מתקיים ש-$f(b)\in U$. האיבר $x$ ייקרא הגבול של הרשת.

במקרה שבו $A=\mathbb {N}$ היא קבוצת המספרים הטבעיים, עם יחס הסדר "גדול מ-", ההגדרה של התכנסות רשת מתלכדת עם הגדרת התכנסות של סדרה.

מסנן

ערך מורחב – מסנן (מתמטיקה)

בהינתן קבוצה סדורה חלקית $(A,\leq )$ ותת-קבוצה $B\subseteq A$, הקבוצה $B$ תקרא מסנן של $A$ אם ורק אם היא מקיימת את התכונות הבאות:

1. $B$ היא קבוצה מכוונת מטה. כלומר, לכל $a,b\in B$ קיים $c\in B$ כך ש-$a\leq c$ וגם $b\leq c$
2. $B$ סגורה למעלה. כלומר, לכל $b\in B$ ולכל $a\in A$ המקיים $b\leq a$, מתקיים ש-$a\in B$.

למסננים חשיבות רבה בתורת הקבוצות, טופולוגיה ולוגיקה.

סריג-למחצה וסריג

ערך מורחב – סריג (מבנה סדור)

קבוצה סדורה חלקית $(A,\leq )$ תקרא סריג-למחצה עליון אם ורק אם לכל תת-קבוצה סופית של $A$ קיים סופרמום. ניתן לראות כי כל סריג-למחצה עליון הוא בהכרח קבוצה מכוונת מכיוון שאם לקבוצה סופית קיים סופרמום, אותו סופרמום הוא גם חסם עליון לפי הגדרה. מן הצד השני, לא כל קבוצה מכוונת היא בהכרח סריג-למחצה עליון מכיוון שלא מובטח קיומו של סופרמום לכל תת-קבוצה סופית, רק קיומו של חסם עליון כללי.

באופו זהה, $A$ תקרא סריג-למחצה תחתון אם ורק אם לכל תת-קבוצה סופית של $A$ קיים אינפימום. ניתן לראות כי כל סריג-למחצה תחתון הוא קבוצה מכוונת מטה, באופן דומה לסריג-למחצה העליון. כאמור, לא כל קבוצה מכוונת מטה היא בהכרח סריג-למחצה תחתון.

קבוצה סדורה שהיא סריג-למחצה תחתון ועליון נקראת סריג. לסריגים חשיבות רבה בתחומים רבים במתמטיקה, ביניהם אלגברה וטופולוגיה.

דוגמאות

• קבוצת המספרים הטבעיים $\mathbb {N}$, קבוצת המספרים השלמים $\mathbb {Z}$, המספרים הרציונלים $\mathbb {Q}$ והמספרים הממשיים $\mathbb {R}$, כולן קבוצות מכוונות לפי היחס "גדול מ-".
• בהינתן קבוצה $A$, קבוצת החזקה ${\mathcal {P}}(A)$ היא קבוצה מכוונת לפי יחס ההכלה $\subseteq$. למעשה, קבוצה זו היא סריג.
• בהינתן קבוצה $A$, הקבוצה ${\mathcal {P}}(A)\backslash \left\{\emptyset \right\}$ (כל תת-הקבוצות של $A$ למעט הקבוצה הריקה) היא קבוצה מכוונת מעלה שאינה מכוונת מטה (לכל זוג יחידונים אין חסם תחתון).
• הקבוצה $\left\{\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{1,2,3\right\},\left\{1,2,4\right\},\left\{1,2,3,4\right\}\right\}$ היא קבוצה מכוונת (מעלה) לפי יחס ההכלה $\subseteq$. עם זאת, קבוצה זו אינה סריג-למחצה עליון מכיוון שלזוג האיברים $\left\{1\right\}$ ו-$\left\{2\right\}$ יש שלושה חסמים עליונים אך אין להם סופרמום.
• בהינתן קבוצת המספרים השלמים $\mathbb {Z}$, ניתן להגדיר עליה את הקדם-סדר "מחלק את" כך שעבור $a,b\in \mathbb {Z}$ מסמנים ש-$a|b$ (נקרא כ-"$a$ מחלק את $b$") אם ורק אם קיים $c\in \mathbb {Z}$ כך ש-$a\cdot c=b$. זהו קדם סדר מכיוון שהוא רפלקסיבי וטרנזיטיבי, אך זהו לא סדר חלקי מכיוון שהוא לא אנטי-סימטרי ($1$ מחלק את $-1$ וגם $-1$ מחלק את $1$, אך הם אינם שווים). ניתן להוכיח כי $|$ הוא יחס מכוון מאחר שלכל $a,b\in \mathbb {Z}$ קיים חסם עליון לפי $|$ והוא $a\cdot b$. כלומר, $|$ הוא דוגמה ליחס מכוון שאיננו סדר חלקי.