תשתית (אלגברה)

באלגברה מופשטת ובפרט בתורת המודולים, התשתית (Socle) של מודול הוא סכום כל תתי המודולים הפשוטים שלו. מודול פשוט למחצה הוא מודול השווה לתשתית שלו, וחוג פשוט למחצה הוא חוג פשוט למחצה כמודול מעל עצמו.

יהי $M$ מודול מעל חוג $R$. התשתית של $M$, המסומנת $soc(M)$, היא סכום כל תתי המודולים הפשוטים של $M$, כלומר $soc(M)=\sum {\{N\leq M:N\quad simple\}}$. בשקילות, ניתן לאמר שהוא שווה לחיתוך כל תתי המודולים הגדולים שלו.

לכל הומומורפיזם מודולים מתקיים $f(soc(M))\subseteq soc(f(M))$. כמו כן, מתקיים $soc(soc(M))=soc(M)$, והוא מונוטוני. לאור תכונות אלו, מפתה להגדיר את ה$soc$ בתור אופרטור סגור , אך מתקיים $soc(M)\subseteq M$ ולא להפך.

המבנה של התשתית דיי נוח - ניתן להוכיח כי התשתית תמיד שווה לסכום ישר של משפחת תתי מודולים פשוטים של החוג. במקרה של חוגים עם יחידה, התשתית היא אף סכום ישר סופי של תתי מודולים פשוטים. כך למשל, מתקיים $soc(M_{n}(\mathbb {F} ))=M_{n}(\mathbb {F} )={\overset {n}{\underset {i=1}{\bigoplus }}}{R_{i}}$, כאשר $R_{i}$ הוא תת-המודול הפשוט המכיל מטריצות בעלות ערכים לא (בהכרח) מתאפסים רק בשורה ה-$i$. תוצאה של המשפט הנ"ל היא שלכל מרחב וקטורי יש בסיס (המכונה בסיס המל).

אם המודול ארטיני, התשתית היא תת-מודול גדול.

קישורים חיצוניים

• תשתית, באתר MathWorld (באנגלית)