זוגיות (מתמטיקה)

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, זוגיות היא תכונה שיש לכל מספר שלם, בהתאם לשארית המתקבלת מחלוקתו ב־2:

כל מספר שלם שמתחלק ב־2 ללא שארית (או ששארית החלוקה שלו ב־2 היא 0) נקרא מספר זוגי
כל מספר שלם שאינו מתחלק ב־2 ללא שארית (או ששארית החלוקה שלו ב־2 היא 1) נקרא מספר אי־זוגי

כל מספר שלם הוא או זוגי או אי־זוגי (אך לא שניהם).

לדוגמה, $2,4,-18,0$ הם מספרים זוגיים, ואילו 7 אינו זוגי אלא אי־זוגי. המספרים הזוגיים נקראים כך משום שאם בקבוצה יש מספר זוגי של עצמים, אז אפשר לחלק אותם לזוגות.

את קבוצת המספרים השלמים, $\mathbb {Z}$ , ניתן לחלק לשתי קבוצות זרות:

זוגיים: $\{2k:k\in \mathbb {Z} \}$
אי־זוגיים: $\{2k-1:k\in \mathbb {Z} \}$

את קבוצת המספרים הזוגיים נהוג לסמן $2\mathbb {Z}$ .

תכונת הזוגיות מוגדרת עבור המספרים השלמים, ואפשר להכליל אותה למספרים רציונליים (מספר רציונלי ייחשב זוגי אם בהצגתו כשבר מצומצם המונה זוגי). עבור מספרים ממשיים כלליים הזוגיות אינה מוגדרת.

תכונות אריתמטיות

חיבור וחיסור

±	מספר זוגי	מספר אי־זוגי
מספר זוגי	מספר זוגי	מספר אי־זוגי
מספר אי־זוגי	מספר אי־זוגי	מספר זוגי

כפל

×	מספר זוגי	מספר אי־זוגי
מספר זוגי	מספר זוגי	מספר זוגי
מספר אי־זוגי	מספר זוגי	מספר אי־זוגי

חזקה

חזקה במעריך טבעי של מספר זוגי היא זוגית, וחזקה במעריך טבעי של מספר אי־זוגי היא אי־זוגית.

חזקה במעריך זוגי של מספר ממשי היא אי שלילית.

שורש

בהינתן מספר ריבועי זוגי, שורש המספר גם זוגי, באופן תואם בהינתן מספר ריבועי אי־זוגי, שורש המספר יהיה גם הוא אי־זוגי.

מבחני זוגיות

מספר שלם הנתון בהצגה עשרונית הוא זוגי אם ורק אם ספרת האחדות שלו זוגית (כלומר, שווה ל־0, 2, 4, 6 או 8).
עובדה זו נכונה בכל בסיס זוגי: המספר זוגי אם ורק אם ספרת האחדות זוגית. הסיבה לכך היא שכל ספרה שמעל לספרת האחדות תורמת כפולה של הבסיס, ולכן אינה משפיעה על הזוגיות. בהתאם לכך, מספר בינארי הוא זוגי אם ורק אם ספרת האחדות שלו היא 0, והוא אי־זוגי אם ורק אם ספרת האחדות שלו היא 1.
בבסיס אי־זוגי, מספר הוא זוגי אם ורק אם סכום הספרות שלו זוגי, זה כי:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}k^{i}\equiv \sum _{i=1}^{n}a_{i}{\pmod {2}}$ בבסיס אי־זוגי.

המספר 2 הוא המספר הזוגי היחיד מבין אינסוף המספרים הראשוניים (כל השאר הם אי־זוגיים). השערת גולדבך, שהיא בעיה פתוחה בתורת המספרים, טוענת כי כל מספר זוגי גדול משתיים ניתן להצגה כסכום של שני מספרים ראשוניים.

ההערכה ה־2־אדית

על המספרים השלמים מוגדרת הערכה לא ארכימדית $\ \nu _{2}:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {N} \cup \{0\}$ , לפי מספר גורמי־2 המקסימלי המחלק את המספר. מספר הוא זוגי אם ורק אם ההערכה שלו גדולה מאפס.