חיתוך (מתמטיקה)

בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, החיתוך של שתי קבוצות $A$ ו-$B$ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב-$A$ ששייכים גם ל-$B$ (או באופן שקול, כל האיברים ב-$B$ ששייכים גם ל-$A$), ורק אותם. החיתוך של $A$ ו-$B$ נכתב בדרך כלל כך: $A\cap B$.

דיאגרמת ון של החיתוך של A ו-B

מבחינה פורמלית:

$x\in A\cap B$ ($x$ הוא איבר ב-$A\cap B$) אם ורק אם $x\in A$ וגם $x\in B$.

חיתוך כלשהו

בדומה לאיחוד ולפעולות אחרות בתורת הקבוצות, אפשר להגדיר את החיתוך של משפחה כלשהי של קבוצות. נניח כי $\left\{A_{i}\right\}_{i\in \Lambda }$ היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס $i$ השייך לקבוצת אינדקסים $\Lambda$), אז החיתוך שלהן יסומן $\bigcap _{i\in \Lambda }A_{i}$, והגדרתו היא ש-$x\in \bigcap _{i\in \Lambda }A_{i}$ אם ורק אם לכל $k\in \Lambda$ מתקיים $x\in A_{k}$.

אם קבוצת האינדקסים $\Lambda$ ריקה, אומרים שהחיתוך הוא חיתוך ריק, השווה כביכול לקבוצה האוניברסלית שכל דבר הוא איבר שלה. על-מנת להבטיח שהחיתוך יהיה קבוצה, מגדירים את החיתוך של משפחת קבוצות בתוך מרחב נתון $X$, ואז החיתוך של משפחה ריקה שווה, כעניין שבהגדרה, למרחב $X$ כולו.

דוגמאות

• אם $A=\left\{t,2,3,4\right\},B=\left\{4,5,r,t\right\}$ אז $A\cap B=\left\{t,4\right\}$
• אם $B\subseteq A$ ($B$ הוא קבוצה חלקית של $A$) אז $A\cap B=B$.
• אם $B=\emptyset$ (קבוצה ריקה) אז לכל $A$ מתקיים $A\cap B=\emptyset$. (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
• אם $A_{n}=\left\{1,2,\dots ,n\right\}$ אז $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\left\{1\right\}$.
• בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת האיחוד:
  • בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות $A_{n}$, אז הקבוצה $\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{k\geq n}A_{k}$ היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס $n$ כלשהו.
  • בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות $A_{n}$, אז הקבוצה $\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k\geq n}A_{k}$ היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.

(שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות $A_{n}$, ומסומנות $\liminf A_{n}$ ו-$\limsup A_{n}$).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא חיתוך בוויקישיתוף

• חיתוך, באתר MathWorld (באנגלית)