משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות

משפט המיון של החבורות הפשוטות הסופיות הוא משפט מתמטי הקובע כי כל חבורה פשוטה סופית נמצאת באחת מ-4 הקטגוריות המתוארות למטה. עריכת רשימה מלאה של כל החבורות הפשוטות הסופיות עד כדי איזומורפיזם. החבורות הפשוטות הן אבני בניין של החבורות סופיות, בצורה שדומה לאיך שמספרים ראשוניים הם אבני הבניין של כל המספרים הטבעיים. משפט ז'ורדן-הלדר מספק דרך יותר ברורה להסביר איך החבורות הפשוטות הן אבני בניין.

המשפט ידוע בכך שהוא לקח זמן רב מאוד להוכחה. העבודה על המשפט נמשכה כמה עשרות שנים, השתתפו בה כמאה מתמטיקאים, והיא משתרעת על-פני 500 מאמרים בכתבי עת מקצועיים, הכוללים כ-15,000 עמודים. משפט המיון הוא משפט מרכזי בתורת החבורות הסופיות, והוא מהווה אחד ההשגים הגדולים ביותר של המתמטיקה במאה העשרים.

ההוכחה נעזרת בכלים שפותחו בתורת החבורות מאז לידתה, אולם לצעד הראשון בהוכחה נחשב פרסומו של משפט פייט-תומפסון, הקובע שאין חבורות פשוטות לא-אבליות סופיות מסדר אי-זוגי, ב-1963. הוכחת המשפט, כ-250 עמודים עמוסים בתורת ההצגות, הדגימה לראשונה את נחיצותן של הוכחות מורכבות בתחום המיון, ואת יעילותם של הכלים הקלאסיים בטיפול בבעיות כאלה.

במתמטיקה, שבה העבודה נעשית לרוב על ידי יחידים או בצוותים קטנים, משפט המיון הוא דוגמה ייחודית ל"מדע גדול", מבנה פעולה שכיח במדעים הניסויים, שבו משתפים פעולה מדענים רבים להשגת מטרה משותפת. בשנות השבעים רוכז המאמץ על ידי דניאל גורנשטיין, שהציע חלוקת עבודה ומינה חוקרים לעבוד על חלקים מסוימים במשפט. גורנשטיין הכריז בפומבי על סיום ההוכחה ב-1983, אף על פי שבפועל נותרו באותה עת כמה פערים (המשמעותי שביניהם, מיון החבורות מטיפוס quasithin, נסגר רק ב-2004 ). פערים אלה, ואף מורכבותה יוצאת הדופן של ההוכחה גרמה לכך שרבים, ובהם ז'אן-פייר סר, פקפקו בשלמותו של המשפט. חוסר שביעות הרצון הוליד את פרויקט "הדור השני" שמטרתו לכתוב את ההוכחה מחדש, בסדרה של 11 ספרים. בתוכנית זו מבקשים לנצל יתרונות שלא עמדו לרשות מפתחי ההוכחה המקורית, כגון הניסוח המדויק של התוצאה שאותה מבקשים להוכיח.

באמצעות משפט המיון, אפשר לאשר תכונות של חבורות פשוטות על ידי בדיקה של כל המקרים. לדוגמה, הבדיקה מראה שכל חבורה פשוטה סופית נוצרת על ידי שני איברים, למרות שלא ידועה דרך ישירה להוכיח טענה זו.

המיון

משפט המיון קובע שכל חבורה סופית שאין לה תת חבורות נורמליות שייכת לאחת מבין ארבע הקבוצות הבאות, שמהן שלוש הראשונות אינסופיות:

• החבורות הציקליות מסדר ראשוני.
• חבורות של תמורות זוגיות מסדר 5 ומעלה.
• חבורות מטיפוס לי, המוגדרות מעל כל שדה סופי. חבורות אלה כוללות את "החבורות הקלאסיות", שהן חבורות מטריצות, את חמשת הטיפוסים המיוחדים של חבורות לי, ואת ה"עיוותים" של כל אלה.
• רשימה ידועה של 26 חבורות ספורדיות.

החבורות הספורדיות

עשרים ושש החבורות הספורדיות הן אלו שלא מופיעות באופן טבעי במשפחות הגדולות של חבורות פשוטות סופיות. חמש הראשונות מבין אלה הן חבורות מתיו, שהתגלו בשנות השישים של המאה ה-19, ואילו 21 האחרות התגלו בין השנים 1965 ו-1975. במקרים רבים, ה"גילוי" קדם ל"בניה": ראשית התברר שהנחות מסוימות הן חזקות עד-כדי כך שאם אפשר למלא את כולן, יש רק חבורה אחת המתאימה להן, ורק אז הוכיחו שחבורה כזו אכן קיימת.

להלן רשימת החבורות, הקרויות בדרך-כלל על-שם האדם שגילה אותן:

• חמש חבורות מתיו, $\ M_{11},M_{12},M_{22},M_{23},M_{24}$
• חבורות ינקו, $\ J_{1},J_{2},J_{3},J_{4}$
• חבורות קונוויי $\ Co_{1},Co_{2},Co_{3}$הקשורות לסריג ליץ' מממד 24;
• חבורות פישר $\ Fi_{22},Fi_{23},Fi_{24}$
• חבורת היגמן-סימס $\ HS$
• חבורת מקללין $\ McL$
• חבורת הלד $\ He$
• חבורת רודווליס $\ Ru$
• חבורת סוזוקי $\ Suz$
• חבורת או'נאן $\ O'N$
• חבורת הרדה-נורטון $\ HN$
• חבורת ליונס $\ Ly$
• חבורת תומפסון $\ Th$
• המפלצת הקטנה
• חבורת פישר-גרייס, הקרויה גם המפלצת

"המפלצת", בת כ-$\ 8\cdot 10^{53}$איברים, היא הגדולה מבין החבורות הספורדיות, ו-20 מהן נמצאות בתוכה כתת-חבורות; שש יוצאות הדופן הן $\ J_{1},J_{3},J_{4},O'N,Ru,Ly$.

אסטרטגיית המיון

הרעיון הבסיסי באסטרטגיית המיון הוא ללמוד את החבורה הפשוטה הקטנה ביותר שאיננה ברשימה - בניסיון להוכיח, בסופו של דבר, שחבורה כזו אינה קיימת.

המיון מבוסס על חקירת מבנה המרכזים של אינוולוציות (זו האסטרטגיה שהתווה ריצ'רד בראוור באמצע שנות החמישים, כשהוכיח, עם תלמידו Fowler, שיש לכל היותר מספר סופי של חבורות פשוטות סופיות עם מרכז נתון של אינוולוציות; מן המיון נובע שהמספר הזה הוא 3). לפי גישה זו, מחלקים את החבורות לשתי מחלקות, בעלות "טיפוס זוגי" ו"טיפוס אי-זוגי", וממיינים כל מחלקה בפני עצמה. המקרה האי-זוגי קל יותר (והוא תופס רק 3 כרכים בהוכחת הדור השני), משום שבו אפשר למיין את החבורות על-פי גרסה מתאימה של "דרגת לי", המוגדרת עבור חבורות אלגבריות באמצעות טורוסים, שהם מכפלת עותקים של החבורה הכפלית של שדה הבסיס. במקרה הזוגי, עלולים הטורוסים שלא לספק שום מידע (החבורה הכפלית של השדה מסדר 2 היא טריוויאלית). במקום "דרגת לי" המוגדרת עבור חבורות אלגבריות, משתמשים בפרמטר $\ e(G)$, השווה לדרגה המקסימלית של תת-חבורה אלמנטרית אבלית מאקספוננט ראשוני של נורמליזטור של חבורת 2-סילו של G.

חבורות שבהן הפרמטר קטן או שווה ל-2 נקראות "דקות למחצה". המיון של חבורות דקות למחצה הוכרז (על ידי Geoff Mason), אבל לא פורסם בזמן הוכחת הדור הראשון. מיכאל אשבכר, אחד החוקרים המובילים בפרויקט, מצא פער בהוכחה זו, והשלים אותו (בעזרת סטיב סמית') בהוכחה שארכה כ- 1200 עמודים, ופורסמה בראשית שנות האלפיים.

הוכחת הדור השני מבוססת על חלוקה שונה במעט למקרים "זוגי" ו"אי-זוגי" מזו שהייתה מקובלת בדור הראשון. מתנהל גם פרויקט נוסף של שכתוב ההוכחה המקורית, תוך שמירה על אותה חלוקה למקרים.

מקורות

• Bull. American Math. Soc. 43(1), 115–121: review on "The classification of quasithin groups I,II", R. Solomon.

לקריאה נוספת

• מרכוס דו סוטוי, סימטריה, מסע אל מרחבי התבניות של הטבע, מאנגלית: אוריאל גבעון, ספרי עליית הגג, ידיעות ספרים, 2010

קישורים חיצוניים

• סטיבן אורנס, ‏הקטלוג של היקום כולו, במדור סיינטיפיק אמריקן של מכון דוידסון, 1 באוקטובר 2015
• משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות, באתר MathWorld (באנגלית)