חבורה דיהדרלית

בתורת החבורות, חבורה דיהדרלית היא חבורת הסימטריות של מצולע משוכלל אשר איבריה הם סיבובים ושיקופים שמעבירים את המצולע לעצמו. הפעולה בחבורה היא הרכבה של שיקופים וסיבובים (ביצוע אחד מהם ולאחריו השני).

הגדרה

חבורה דיהדרלית נוצרת על ידי שני איברים, "איבר שיקוף" (שבדרך כלל מסומן כ-s), ו"איבר סיבוב" (שבדרך כלל מסומן כ-r) שמהווה "סיבוב" של המצולע ${\frac {2\pi }{n}}$ רדיאנים בכיוון מוגדר (עם או נגד כיוון השעון). באופן פורמלי, החבורה הדיהדרלית של מצולע משוכלל מסדר n מוגדרת על ידי ההצגה: $D_{n}=\langle s,r|r^{n}=e,s^{2}=e,s^{-1}rs=r^{-1}\rangle$ כאשר e הוא איבר היחידה של החבורה.

דוגמאות

שלט עצור הוא מצולע משוכלל מסדר 8 (מתומן) עם כיתוב. אם נגדיר את שיקוף השלט כאיבר s, וסיבוב של השלט 45 מעלות נגד כיוון השעון כ-r, נקבל את החבורה הדיהדרלית $D_{8}$ . בתרשים, השורה הראשונה מתקבלת מהפעלת איבר הסיבוב r על השלט, והשורה השנייה מתקבלת מהפעלת איבר הסיבוב r על שיקוף השלט (האיבר s).

תכונות

לכל חבורה דיהדרלית יש (לכל הפחות) שתי תתי-חבורות (לא טריוויאליות) ציקליות הנוצרות על ידי האיברים s ו-r, שסדריהן יהיו, בהתאמה, 2 ו-n.
מספר האיברים של חבורה דיהדרלית של מצולע משוכלל בעל n צלעות הוא 2n.
מספר תת-החבורות של חבורה דיהדרלית מסדר 2n הוא (d(n) + σ(n, כאשר (d(n הוא מספר המחלקים החיוביים של n ו-(σ(n היא פונקציית סכום המחלקים שלו. תוצאה זו נובעת ישירות מתיאור המבנה הכללי של חבורה דיהדרלית: הסדר של כל תת-חבורה מחלק את 2n (לפי משפט לגראנז'), ולכל מחלק m של n ניתן למנות עותק אחד של חבורה ציקלית ℤ_m (הנוצרת על ידי איבר הסיבוב $r^{\frac {n}{m}}$ ), ועוד n/m תת-חבורות דיהדרליות מטיפוס $D_{m}$ , הנוצרות כל אחת באמצעות סיפוח איבר שיקוף מהצורה $r^{i}s$ לחבורה הציקלית ℤ_m, כאשר $1\leq i\leq n/m$ .
לכל חבורה דיהדרלית יש תת-חבורה נורמלית הנוצרת על ידי האיבר r (מכיוון שהיא מאינדקס 2).
חבורה דיהדרלית היא מכפלה חצי ישרה של החבורה הציקלית מסדר n והחבורה הציקלית מסדר 2, כאשר האוטומורפיזם המותאם ל-1 הוא אוטומורפיזם ההיפוך.
עבור n=2 מתקבלת חבורת הארבעה של קליין, ועבור n=3 מתקבלת חבורת התמורות S3.

החבורה הדיהדרלית האינסופית

ערך מורחב – החבורה הדיהדרלית האינסופית

אחת ההכללות האפשריות לחבורה דיהדרלית למקרה האינסופי, היא החבורה הדיהדרלית האינסופית, בה לסיבוב סדר אינסופי: $D_{\infty }=\langle s,r\mid s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle$ .