גאומטריה היפרבולית

משולש על משטח היפרבולי

גאומטריה היפרבולית היא גאומטריה לא אוקלידית שבה האקסיומה החמישית של אוקלידס, אקסיומת המקבילים, מוחלפת באקסיומה הבאה:

דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה.

במהלך השנים שאחרי פרסום הספר "יסודות" של אוקלידס (שלימים היווה את הבסיס לגאומטריה שנקראת על שמו: "גאומטריה אוקלידית"), הייתה מקובלת התחושה שאקסיומת המקבילים (הקובעת שדרך נקודה שמחוץ לישר עובר קו מקביל אחד ויחיד) אינה 'טבעית' ומובנת מאליה כמו יתר האקסיומות של הגאומטריה. תחושה זו הביאה לניסיונות חוזרים ונשנים להוכיח את האקסיומה החמישית כמשפט גאומטרי. כל הניסיונות מסוג זה כשלו, עד שבמאה ה-19, המתמטיקאים גאוס, בויאי ולובצ'בסקי הגיעו במקביל (כל אחד בנפרד) למסקנה שהאקסיומה החמישית אינה נובעת מן האקסיומות האחרות. הם הגיעו להבנה, שניתן להחליף את האקסיומה המקובלת בזו המצוינת לעיל, ולקבל מבנה גאומטרי עשיר ומעניין, גם אם שונה מהגאומטריה האוקלידית המוכרת. אחד ההבדלים הבולטים הוא שבגאומטריה היפרבולית, סכום הזוויות במשולש קטן מ-180 מעלות.

גאומטריה היפרבולית מישורית היא גם הגאומטריה שמתקיימת על פני משטחים "אוכפיים" בכל מקום או משטחים פסאודוספיריים, דהיינו משטחים עם עקמומיות גאוס שלילית קבועה.

תכונות הגאומטריה ההיפרבולית

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

הזיקה לגאומטריה אוקלידית

הגאומטריה ההיפרבולית קרובה יותר לגאומטריה האוקלידית מכפי שנראה במבט ראשון: ההבדל האקסיומטי היחיד הוא באקסיומת המקבילים. כאשר מסירים את אקסיומת המקבילים מהגאומטריה האוקלידית נוצרת גאומטריה הנקראת גאומטריה אבסולוטית. ישנם שני סוגים של גאומטריה אבסולוטית: אוקלידית והיפרבולית. כל המשפטים של הגאומטריה האבסולוטית, שכוללים את 28 הטענות הראשונות בספר הראשון של היסודות של אוקלידס, תקפים הן בגאומטריה אוקלידית והן בהיפרבולית. טענות 27 ו-28 בספר הראשון של היסודות מציגות את התכונה של קווים מקבילים/לא נחתכים.

להבדל האקסיומטי בין הגאומטריה האוקלידית להיפרבולית יש השלכות רבות: מושגים שהם שקולים זה לזה בגאומטריה אוקלידית אינם שקולים בגאומטריה היפרבולית; מושגים חדשים חייבים להיות מוצגים. יותר מכך, בגלל זווית ההקבלה, לגאומטריה ההיפרבולית יש קנה מידה אבסולוטי, שמכתיב קשר בין מדידות זוויות למרחקים.

ישרים

לישרים יחידים בגאומטריה היפרבולית יש בדיוק אותן תכונות כמו קווים ישרים בגאומטריה אוקלידית. לדוגמה, שתי נקודות מגדירות ישר היפרבולי יחיד, ישר זה הוא המסלול הקצר ביותר בין שתי הנקודות (מסילה גאודזית), וניתן להמשיך את הישרים (לשני הכיוונים) במידה אינסופית.

לזוג ישרים נחתכים יש בדיוק אותן תכונות כמו לזוג ישרים נחתכים בגאומטריה אוקלידית. למשל, שני ישרים לעולם לא נחתכים ביותר מנקודה אחת, הזוויות הקודקודיות שנוצרות בנקודת החיתוך שוות, וכמו כן זוויות צמודות הן משלימות ל-180 מעלות.

כאשר מוסיפים ישר שלישי אז התכונות של ישרים היפרבוליים נחתכים הופכות שונות מאלו של ישרים נחתכים בגאומטריה אוקלידית. לדוגמה, בהינתן 2 ישרים נחתכים ישנם אינסוף ישרים היפרבוליים שאינם חותכים את אף אחד מצמד הישרים הנתונים.

כל התכונות הללו אינן תלויות במודל של המישור ההיפרבולי בו משתמשים, אף על פי שהישרים עשויים להיראות שונים ביותר במודלים שונים.

ישרים לא נחתכים/מקבילים

ישרים העוברים דרך נקודה נתונה P ואסימפטוטיים לישר R.

לישרים לא נחתכים בגאומטריה היפרבולית יש תכונות ששונות מאלו של ישרים לא נחתכים בגאומטריה אוקלידית:

בעבור כל ישר R ונקודה P שלא נמצאת על R, אז במישור שמכיל את הישר R והנקודה P ישנם לפחות שני ישרים שונים דרך P שלא חותכים את R.

פירוש הדבר שדרך P ישנם אינסוף ישרים שנחים באותו מישור ואינם חותכים את R.

את הישרים הלא-נחתכים הללו נהוג לחלק לשתי קבוצות:

• שניים מהישרים (x ו-y באיור משמאל) הם "מקבילים גבוליים" (limiting parallels): ישנו אחד כזה בכיוון של כל אחד מהנקודות האידיאליות (נקודות באינסוף) שב"קצוות" של R, וכל אחד כזה מתקרב אסימפטוטית ל-R, אך לעולם אינו פוגש אותו.
• לכל אחד מהישרים הלא-נחתכים האחרים יש נקודה של מרחק מינימלי מ-R והם מתבדרים מן הישר בשני צידיה של הנקודה הזאת. ישרים אלו מכונים "אולטרה-מקבילים" (ultraparallel), ולעיתים גם "מקבילים מתבדרים".

ישנם מחברים שמשתמשים במונח ישרים "מקבילים" כדי להתייחס ל"מקבילים גבוליים" ובמונח ישרים "בלתי נחתכים" כדי להתייחס לקווים "אולטרה-מקבילים".

המקבילים הגבוליים הללו יוצרים זווית θ עם PB; זווית זו תלויה רק בעקמומיות גאוס של המישור ההיפרבולי בו עוסקים ובמרחק PB והיא נקראת זווית ההקבלה.

בעבור קווים אולטרה-מקבילים, משפט הקווים האולטרה-מקבילים קובע כי ישנו ישר יחיד במישור ההיפרבולי שניצב לצמד ישרים אולטרה-מקבילים.

משולשים

בשונה ממשולשים אוקלידיים, בהם הזוויות תמיד נסכמות ל-π רדיאנים (180 מעלות), בגאומטריה היפרבולית סכום הזוויות של משולש היפרבולי תמיד קטן מ-π רדיאנים. את ההבדל מכנים מגרעת זוויתית. באופן כללי יותר, המגרעת של מצולע היפרבולי קמור בעל $n$ הוא סכום זוויותיו המחוסר מ-$(n-2)\cdot 180^{\circ }$.

השטח של משולש היפרבולי ניתן על ידי מכפלת המגרעת הזוויתית שלו (ברדיאנים) ב-R² (כאן R הוא רדיוס העקמומיות המתאים למישור ההיפרבולי הנידון). כתוצאה ישירה, לכל המשולשים ההיפרבוליים יש שטח שקטן או שווה ל-R²π. השטח של משולש אידיאלי (משולש שכל צלעותיו אסימפטוטיות זו לזו) שבו כל הזוויות הן 0° שווה לחסם העליון הזה. בכך נעוץ אחד ההבדלים המהותיים בין הגאומטריה ההיפרבולית לאוקלידית - לגאומטריה היפרבולית יש קנה מידה אבסולוטי טבעי; קיים קשר בין תוצאות מדידות של מרחק לתוצאות מדידת זוויות.

בדומה לגאומטריה כדורית או אליפטית, בגאומטריה היפרבולית אם שני משולשים דומים אז הם בהכרח חופפים.

מעגלים ודיסקים

בגאומטריה היפרבולית, ההיקף של מעגל בעל רדיוס r גדול יותר מ-$2\pi r$.

יהי $R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}$, כאשר $K$ היא עקמומיות גאוס של המישור. בגאומטריה היפרבולית, העקמומיות $K$ שלילית, כך שהשורש הריבועי מקודם הוא מספר חיובי.

ההיקף של מעגל בעל רדיוס r שווה ל-:

$2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,.$

והשטח של הדיסק התחום במעגל זה הוא:

$4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{2R}}=2\pi R^{2}(\cosh {\frac {r}{R}}-1)\,.$

לפיכך, בגאומטריה היפרבולית היחס בין היקף המעגל לרדיוסו תמיד גדול יותר מ-$2\pi$, על אף שניתן להתקרב ליחס זה באופן שרירותי באמצעות בניית מעגל קטן מספיק.

אם עקמומיות גאוס של המישור היא 1- אז העקמומיות הגיאודזית של מעגל בעל רדיוס r היא: ${\frac {1}{\tanh(r)}}$.

היפר-מעגלים ומעגלים גבוליים

ייצוג של מעגל גבולי (בכחול) במודל הדיסק של פואנקרה. הישרים הנורמליים האדומים כולם מתכנסים אסימפטוטית לנקודה האידיאלית העליונה.

בגאומטריה היפרבולית, אין ישר אשר כל נקודותיו הן שוות מרחק מישר אחר. במקום זאת, המקום הגאומטרי של כל הנקודות המצויות באותו מרחק אורתוגונלי מישר נתון הוא עקום בשם היפר-מעגל.

עקום מיוחד אחר הוא ה"הורוצייקל", המכונה גם "מעגל גבולי", שהוא העקום אשר כל הקווים הנורמליים לו הם מקבילים גבוליים אחד של השני (כולם מתכנסים אסימפטוטית בכיוון אחד לאותה נקודה אידיאלית, שהיא גם מרכז המעגל הגבולי). ניתן לראות בעקום זה מעגל שרדיוסו שואף לאינסוף; בפרט, כל ההורוצייקלים חופפים זה לזה. בניית המעגל הגבולי ייחודית לגאומטריה ההיפרבולית, ומבדילה אותה מן הגאומטריה האוקלידית והכדורית - במישור האוקלידי מעגל שרדיוסו שואף לאינסוף הוא פשוט ישר; לעומת זאת, המעגל הגבולי של המישור ההיפרבולי אינו ישר ואינו מעגל, אלא סוג חדש של עקום. באופן כללי, עבור עקומים בעלי עקמומיות גיאודזית קבועה $\kappa _{g}$ במישור היפרבולי, רק החל מערך קריטי מסוים של $|\kappa _{g}|$ (גדול מאפס) מתקבלות לולאות סגורות (מעגלים), כאשר עבור אותו ערך קריטי של $\kappa _{g}$ מתקבל המעגל הגבולי (ערך קריטי זה תלוי בעקמומיות גאוס של המישור ההיפרבולי הנידון). המקור להבדל מהותי זה מן המישור האוקלידי הוא בנטייה של קווים ישרים היפרבוליים "להתבדר" ולהתרחק אחד מהשני, כך שישרים משיקים לאותו עקום נוטים להתרחק זה מזה, וייתכן עקום עם עקמומיות קבועה שאינו נסגר על עצמו.

בהינתן שלוש נקודות שונות במישור ההיפרבולי, הן נחות על ישר, היפר-מעגל, הורוצייקל, או מעגל. המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות שווה לאורכו של קטע הישר שמחבר ביניהן. אורך הקשת של היפר-מעגל המחבר בין שתי נקודות גדול יותר מזו של הקו הישר שמחבר ביניהן וקטן יותר מזו של ההורוצייקל שמחבר ביניהן.

אם עקמומיות גאוס של המישור ההיפרבולי היא 1- אז העקמומיות הגאודזית של המעגל הגבולי היא 1 ושל היפר-מעגלים בין 0 ל-1.

ריצופים

ריצוף של המישור ההיפרבולי על ידי משולשי שוורץ מסוג $(2\ 3\ 7)$ כפי שמיוצג במודל הדיסק של פואנקרה.

בדומה למישור האוקלידי ניתן לרצף את המישור ההיפרבולי באמצעות מצולעים משוכללים כאריחים.

ישנם אינסוף ריצופים אחידים של המישור ההיפרבולי על ידי משולשי שוורץ (p q r), כאשר p,q,r הם סדרי הסימטריה בשלושת הקודקודים של משולש התחום היסודי (זוויות המשולש הן ${\frac {\pi }{p}},{\frac {\pi }{q}},{\frac {\pi }{r}}$ ומתקיים ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1$). בנוסף על העניין הגאומטרי שהם מעוררים, לריצופים של המישור ההיפרבולי יש קשרים מעניינים לתורה של משטחי רימן ותבניות מודולריות.

מימוש המישור ההיפרבולי במסגרת מרחב אוקלידי

קיימים מגוון משטחים פסאודוספיריים אשר להם שטח סופי שלו עקמומיות גאוס שלילית קבועה, מה שגורר שישות דו-ממדית המקובעת לפני משטח כזה תחווה גאומטריה היפרבולית. עם זאת, לפי משפט הילברט בגאומטריה דיפרנציאלית, לא ניתן להטביע איזומטרית מישור היפרבולי שלם (משטח רגולרי שלם גיאודזית בעל עקמומיות גאוס שלילית קבועה) במרחב אוקלידי תלת-ממדי.

כפועל יוצא ממשפט הילברט, לכל ניסיון לראות בפסאודוספירה משטח עליו מתקיימת גאומטריה היפרבולית (בדומה לכך שעל הספירה מתקיימת גאומטריה כדורית) נלווות בעיות מושגיות מסוימת: למשל, מסילות גאודזיות (שממלאות את תפקיד הישרים בגאומטריה היפרבולית) עשויות לחתוך את עצמן, והמשטח בכללותו שקול טופולוגית לגליל ולכן ייתכנו עקומים עליו שאינם כוויצים. רחוק מהדיסקה הסינגולרית שבמרכזה, על הפסאודוספירה מתקיימים חוקים טריגונומטריים זהים לאלו של הגאומטריה ההיפרבולית, כפי שהראה אאוג'ניו בלטרמי, ולכן היא איזומטרית מקומית בלבד למישור ההיפרבולי.

עקביות הגאומטריה ההיפרבולית

הדרך הטובה ביותר להשתכנע שהתורה החדשה עקבית (כלומר, שאין בה סתירות) היא לבנות מודל שלה במסגרת תאוריה אחרת, מקובלת יותר. פירושו של דבר, שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור ההיפרבולי, ומאפיינים את הנקודות ואת הקווים הישרים במישור זה. כל שנדרש מן המודל הוא שהקווים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה. אם קיים מודל כזה, אז העקביות של התאוריה החדשה נובעת מזו של התאוריה הישנה.

באופן צפוי (אך אירוני), המודלים המקובלים לגאומטריה ההיפרבולית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית. יש להבין, שקיומם של מודלים כאלה מוכיח כי אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה גם על הגאומטריה ההיפרבולית. זו כשלעצמה הוכחה שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) בלתי תלויה באקסיומות הגאומטריות האחרות (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של תורת הקבוצות, דרך המודל הסטנדרטי של המרחב האוקלידי).

מודלים של המישור ההיפרבולי

את המישור ההיפרבולי ניתן לאפיין, כמרחב עם תבנית דיפרנציאלית, כמשטח רימן שלם פשוט קשר בעל עקמומיות $\ -1$ בכל נקודה. מבחינה טופולוגית, הוא מהווה כיסוי אוניברסלי לכל משטח רימן בעל עקמומיות קבועה ושלילית.

למישור ההיפרבולי יש כמה מודלים מקובלים, שכולם ניתנים לתיאור ובנייה במסגרת הגאומטריה האוקלידית:

• מודל הדיסק של פואנקרה (שהתגלה ב-1868 על ידי בלטרמי ), המישור ההיפרבולי הוא עיגול, ששפתו היא מעגל מסוים. הקווים הישרים במודל זה הם כל הקשתות של מעגלים שהם מאונכים למעגל השפה, וכן הקטרים של העיגול. במודל זה מוגדרת מטריקה היפרבולית לפי התבנית הדיפרנציאלית: $ds^{2}={\frac {4(dx^{2}+dy^{2})}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}$; אלמנט מרחק זה גדל עד לאינסוף ככל שמתקרבים לשפת העיגול, בהתאמה עם כך ששפת העיגול מייצגת את כל הנקודות האידיאליות ("נקודות באינסוף").

• במודל של הנדריק לורנץ, המישור ההיפרבולי הוא המחצית העליונה של היריעה $\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$, כאשר כל קו ישר הוא חיתוך של היריעה עם מישור (אוקלידי) העובר דרך ראשית הצירים.
  • מגרסה תלת-ממדית של מודל זה אפשר לגזור את מודל הדיסק של קליין.

• המודל הרביעי, גם הוא מיוחס לפואנקרה, הוא החשוב ביותר. זהו מודל חצי המישור העליון, שבו המישור ההיפרבולי מזוהה עם החצי $\ \{z:\Im (z)>0\}$ של המישור המרוכב, והקווים הישרים הם חצאי מעגלים המאונכים לציר ה-X, והישרים המקבילים לציר ה-Y. במודל זה מוגדרת מטריקה היפרבולית לפי התבנית הדיפרנציאלית $\ ds={\frac {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}{y}}$.

ראו גם

• מרחב היפרבולי

לקריאה נוספת

• Marvin J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th edition, W. H. Freeman, 2008

קישורים חיצוניים

• גאומטריה היפרבולית, באתר MathWorld (באנגלית)
• גאומטריה היפרבולית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• גאומטריה, היפרבולית, דף שער בספרייה הלאומית