איזומטריה

בטופולוגיה, איזומטריה היא פונקציה משמרת-מרחקים ממרחב מטרי אחד למרחב מטרי אחר. כלומר, בהינתן מרחב מטרי (באופן אינטואיטיבי, קבוצה ומטריקה לחישוב מרחקים בין האלמנטים בקבוצה), איזומטריה היא טרנספורמציה הממפה אלמנטים למרחב מטרי זהה או אחר, כך שהמרחק בין רכיבי התמונה במרחב המטרי החדש שווה למרחק בין האלמנטים במרחב המטרי המקורי.

כל איזומטריה היא חד-חד-ערכית (מהגדרת המטריקה כאי-שלילית), ולכן איזומטריות הן האיזומורפיזמים של מרחבים מטריים. מרחבים שיש ביניהם איזומטריה חד-חד-ערכית ועל הם איזומטריים, ויש להם אותן תכונות מטריות.

במרחב אוקלידי דו-ממדי או תלת-ממדי, שתי צורות גיאומטריות הן חופפות אם הן קשורות באיזומטריה. האיזומטריה הקושרת אותן הינה הזזה, סיבוב או שיקוף, או קומפוזיציה שלהן.

המילה איזומטריה נגזרת מיוונית עתיקה ἴσος (תעתיק: איזוס) שפירושו "שווה", ו-μέτρον (תעתיק: מטרון) שפירושו "מידה".

הגדרה פורמלית

יהיו $X$ ו-$Y$ מרחבים מטריים עם מטריקות (כלומר פונקציות מרחק) $d_{X}$ ו-$d_{Y}$ בהתאמה.

פונקציה $f\colon X\to Y$ נקראת איזומטריה אם לכל $x_{1},x_{2}\in X$ מתקיים: $d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))=d_{X}(x_{1},x_{2})$.

איזומטריה היא תמיד חד-חד-ערכית: אחרת, לו שתי נקודות שונות ב- $a,b\in X$ היו ממופות לאותה נקודה ב-$Y$, אז מהגדרת האיזומטריה גם $d_{X}(a,b)=0$, כלומר הן אותה הנקודה בסתירה להנחה.

איזומטריה גלובלית היא איזומטריה שהיא גם על, ועל כן היא הפיכה, וגם ההופכית לה היא איזומטריה גלובלית.

איזומטריות שומרות על מסילות גאודזיות.

איזומטריות במישור האוקלידי

בגאומטריה אוקלידית, איזומטריות של המישור שומרות על אורכי קטעים, ולכן (לפי משפט החפיפה צלע-צלע-צלע) הן שומרות זוויות. במקרה שבו קיימת איזומטריה בין שתי צורות, הצורות מקיימות יחס חפיפה. יחס דמיון מתקיים כאשר הזוויות נשמרות אך אורכי הצלעות אינן נשמרות.

התכונה הבסיסית של איזומטריות של המישור היא שהן חייבות לשמור על הקווים הישרים (כלומר, קו ישר תמיד יעבור לקו ישר). בהתאם לכך, יש שלושה סוגים בסיסיים של איזומטריות: שיקוף, סיבוב, והזזה. בעזרת פעולות אלה אפשר לתאר את כל האיזומטריות (הלא טריוויאליות), השייכות לאחת מבין ארבע משפחות (ראו איור משמאל):

• הזזה (translation)- ישנו כיוון יחיד שכל הנקודות מוזזות בו. אין נקודות שבת. הישרים שבכיוון ההזזה נשמרים. שתי איזומטריות שיקוף אשר קוי השיקוף שלהן מקבילים יוצרות הזזה.
• שיקוף (rotation)- ישר קבוע מתפקד כציר סימטריה; כל נקודה עוברת למקבילה לה מצידו השני, כלומר, ציר השיקוף הוא האנך האמצעי לקטע בין נקודה לתמונתה. כאן ציר השיקוף מהווה את אוסף נקודות השבת; הישרים המאונכים לציר נשמרים.
• סיבוב (reflection)- מסובבים את המישור בזווית נתונה (לא טריוויאלית) סביב נקודה קבועה, שהיא נקודת השבת היחידה. אף ישר אינו נשמר תחת סיבוב. שני שיקופים שקוי השיקוף שלהם חותכים זה את זה יוצרים סיבוב.
• החלקה (או שיקוף מוזז) - זוהי הרכבה של שיקוף ושל הזזה בכיוון ציר השיקוף. שתי העתקות כנ"ל מתחלפות בכפל, כלומר לא משנה איזו מהן מבוצעת קודם. אין נקודות שבת.

אחרי שקובעים את הראשית, אפשר לכתוב כל איזומטריה בצורה $T(p)=Ap+v$ כאשר $A$ היא מטריצה אורתוגונלית ו-$v$ הוא וקטור ההזזה. כאן $A$ היא איזומטריה שמשמרת את הראשית. לכן ניתן לחשוב על איזומטריה כאיבר ב- $O(2)\times \mathbb {R} ^{2}$, כאשר $O(2)$ היא חבורת המטריצות האורתוגונליות.

במכפלה הזו, המרכיב $O(2)$ פועל על המישור לפי פעולת המטריצות. ביתר פירוט, אם $T_{i}(p)=A_{i}p+v_{i}$ עבור $i=1,2$, אז $T_{2}\cdot T_{1}(p)=A_{2}A_{1}p+A_{2}v_{1}+v_{2}$.

פרוש הדבר הוא שחבורת האיזומטריות של המישור היא מכפלה חצי ישרה של $O(2)$ ושל $\mathbb {R} ^{2}$.

ראו גם

• אופרטור אוניטרי
• אינוולוציה
• העתקה קונפורמית
• קוואזי-איזומטריה

קישורים חיצוניים

• איזומטריה, באתר MathWorld (באנגלית)