מטריקה

בטופולוגיה, מֶטְרִיקָה (נקראת גם פונקציית מרחק) היא פונקציה המתאימה לכל זוג נקודות במרחב מספר אי-שלילי, ומקיימת כמה תנאים פשוטים. בזכות תנאים אלה, אפשר לראות במטריקה הכללה של מושג המרחק מהמרחב האוקלידי למרחב כלשהו.

הסבר אינטואיטיבי

מטריקה היא הגדרה כוללת יותר של מושג המרחק. מושג המרחק מוגדר בגאומטריה האוקלידית, ה"פשוטה". כללי המטריקה (להלן) מאפשרים להגדיר ערך המציית לאותם חוקים כלליים במרחבים שאינם אוקלידיים. שלוש התכונות הנדרשות מכל מטריקה הן:

1. המרחק בין כל שתי נקודות שונות הוא חיובי. אם המרחק בין שתי נקודות הוא אפס, שתיהן הן אותה נקודה.
2. המרחק בין שתי נקודות אינו תלוי בשאלה איזו היא נקודת "ההתחלה" ואיזו נקודת "הסיום", כך שניתן לדבר על "המרחק בין הנקודות".
3. הכללה של אי-שוויון המשולש: המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא במסלול הישיר בין שתיהן, והליכה לנקודות ביניים יכולה רק להאריך את המסלול, לא לקצר אותו.

הגדרה פורמלית

תהא $S$ קבוצה כלשהי. פונקציה $d\colon S\times S\to \mathbb {R}$ תיקרא מטריקה כאשר היא מקיימת את שלוש התכונות הבאות עבור כל $x,y,z\in S$:

1. $d(x,y)=0$ אם ורק אם $x=y$
2. $d\left(x,y\right)=d(y,x)$ (סימטריות)
3. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (אי-שוויון המשולש)

נובע מכך ש-$d(x,y)\geq 0$ (אי שליליות) שהרי מהאקסיומות מתקיים

$0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=d(x,y)+d(x,y)=2d(x,y)$.

קבוצה $S$ יחד עם הפונקציה $d$ נקראת מרחב מטרי, והוא יסומן על ידי הזוג $(S,d)$.

אם מחליפים את אי-שוויון המשולש בדרישה החזקה יותר ש-$d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}$, המטריקה נקראת מטריקה לא ארכימדית. במרחב עם מטריקה לא ארכימדית כל משולש הוא שווה-שוקיים.

דוגמאות

• המטריקה הדיסקרטית: אם $x=y$ אז $d(x,y)=0$, אחרת $d(x,y)=1$.
• המטריקה בגאומטריית נהגי המוניות: בהינתן מערכת צירים, ניתן לנוע רק במקביל לאחד מהם. בשפה מתמטית: $d=|\Delta x|+|\Delta y|$.
• מטריקה על קבוצת כל המילים האפשריות בנות ארבע אותיות: המטריקה היא מספר הצעדים המזערי שיש לבצע כדי לעבור ממילה $x$ למילה $y$, כשצעד מוגדר כהחלפה של אות אחת. מטריקה זו קרויה מרחק המינג.
• מטריקה בין חיילים: מספר הצעדים המזערי שנחוץ כדי להעביר מסר מחייל $x$ לחייל $y$, כשצעד מותר הוא העברת מסר מחייל למפקדו או ממפקד לחייל הנתון לפקודתו.

לעומת זאת, המרחק בין שתי נקודות במפה על-פי אורך הדרך שיש לנסוע כדי להגיע מאחת לשנייה אינו מטריקה, עקב קיומם של כבישים חד סיטריים, שגורמים למצבים שבהם $d\left(x,y\right)\neq d(y,x)$.

שקילות מטריקות

שתי מטריקות על אותו מרחב הן שקולות אם הן מגדירות את אותה טופולוגיה מטרית. ניתן להראות ששתי מטריקות הן שקולות אם ורק אם כל כדור פתוח ביחס למטריקה אחת, מכיל כדור פתוח בעל אותו המרכז ביחס למטריקה האחרת. מכיוון שהטופולוגיה של מרחב מטרי נקבעת על ידי התכנסות של סדרות, שתי מטריקות הן שקולות אם ורק אם כל סדרה מתכנסת ביחס לאחת מהן, מתכנסת גם ביחס לשנייה. עם זאת, המושג של סדרת קושי, התלוי במטריקה, אינו נשמר תחת שקילות (לדוגמה, המטריקה $d(x,y)=\left|{\frac {x}{1-x}}-{\frac {y}{1-y}}\right|$ על הקטע $(0,1)$ שקולה למטריקה הרגילה שם, אבל הסדרה ${\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},\dots$, שאינה מתכנסת, היא סדרת קושי לפי המטריקה הרגילה, אבל לא לפי $d$).

כל שתי נורמות על המרחב $\mathbb {R} ^{n}$ שקולות (כמטריקות), ולכן יש למרחב הזה טופולוגיה נורמית אחת ויחידה.

הטנזור המטרי

בגאומטריה דיפרנציאלית ואנליזה על יריעות המונח "מטריקה" משמש כדי לציין את הטנזור המטרי המוגדר מעל יריעה חלקה $M$, זהו שדה טנזורי המתאים לכל נקודה במרחב טנזור. הטנזור הזה מייצג בעצם את המטריקה הלוקלית של מרחק אינפיניטסימלי בין שתי נקודת במרחק של הנקודה. כלומר, אלמנט האורך האיפיניטסימלי נתון על ידי

$\mathrm {d} s^{2}(k)=\sum _{\mu }\sum _{\nu }g_{\mu \nu }(k)\mathrm {d} x^{\mu }\,\mathrm {d} x^{\nu }$

כאשר $\mu ,\nu$ רצים על האינדקסים של וקטורי הבסיס בנקודה $k$.

כדי לקבל את המרחק בין שתי נקודת כלשהן, $a$ ו-$b$, יש לבצע אינטגרציה על אלמנט האורך האינפיניטסימלי. כלומר, אנו מגדירים מטריקה חדשה על ידי

$d(a,b)=\inf \int _{a}^{b}\mathrm {d} s=\inf \int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{\mu }\sum _{\nu }g_{\mu \nu }(k)\,\mathrm {d} x^{\mu }(k)\,\mathrm {d} x^{\nu }(k)}}=\inf \int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{\mu }\sum _{\nu }g_{\mu \nu }(k){\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} k}}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} k}}}}\,\mathrm {d} k$

כאשר $k$ הוא פרמטר של עקומה גיאודזית $\gamma \colon \mathbb {R} \to M$ המחברת בין $a$ ל-$b$ ואת $g_{\mu \nu }(k)$ יש לפרש כטנזור המטרי בנקודה $\gamma (k)$ והאינטגרציה מתבצעת כאינטגרל מסלולי לאורך עקומה זו.

בתורת היחסות

בתורת היחסות מוגדר מרחב-זמן, הנקרא גם מרחב מינקובסקי.

בתורת היחסות הפרטית, מותאם למרחב-זמן מרחק בריבוע, המוגדר על ידי:

$\mathrm {d} s^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2}$

כאשר $\mathrm {d} x,\mathrm {d} y,\mathrm {d} z$ הם המרחקים במרחב האוקלידי התלת-ממדי, $\mathrm {d} t$ הוא הפרש הזמנים (המרחק בציר הזמן) ו-$c$ היא מהירות האור. במקרה זה, המרחק בריבוע יכול להיות גם אפס או שלילי, בניגוד לחלק מהדרישות על מטריקה. על כן, אומרים שהמטריקה בתורת היחסות הפרטית היא מטריקה מוכללת, ומהווה הרחבה של מושג המטריקה הקלאסי.

בתורת היחסות הכללית, המטריקה היא באופן כללי טנזור מטרי (מוכלל), והיא מהווה פתרון של משוואות איינשטיין. דוגמה בעלת חשיבות היסטורית היא מטריקת שוורצשילד, המתארת את עקמומיות המרחב סביב כוכב כדורי מסיבי, בפרט סביב חור שחור. בעזרת מטריקה זו, הצליחו מדענים לאשש את תורת היחסות הכללית.^{[דרוש מקור]}

ראו גם

• גאומטריית נהגי המוניות
• מרחק צ'בישב
• מרחב מטרי

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מטריקה בוויקישיתוף

• מטריקה, באתר MathWorld (באנגלית)