פונקציה סימטרית

במתמטיקה, פונקציה סימטרית היא פונקציה בכמה משתנים, שערכה אינו משתנה כאשר מחליפים את סדר המשתנים. הדוגמה הבולטת ביותר היא פולינומים סימטריים, אבל גם פונקציות כגון $f(x_{1},x_{2},x_{3})=e^{x_{1}}+e^{x_{2}}+e^{x_{3}}$ הן סימטריות. אם הפונקציה אנליטית, תנאי הסימטריה קובע שהיא מתחלקת בכל אחד מההפרשים $x_{i}-x_{j}$, ולכן במכפלה שלהם שהיא הדיסקרימיננטה הפורמלית באותם משתנים.

לפעמים מתייחס הביטוי לפונקציות בשני משתנים דווקא, ואז תנאי הסימטריה מצטמצם להנחה $f(y,x)=f(x,y)$.

לכל פונקציה $f$ ב-$n$ משתנים יש חבורת סימטריות, הכוללת את התמורות $\sigma$ השומרות על הפונקציה: $f(x_{\sigma 1},\ldots ,x_{\sigma n})=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$. משפט לגראנז', שזה היה תוכנו המקורי, 60 שנה לפני שהומצאה תורת החבורות, קובע שמספר הפונקציות שאפשר לקבל מפונקציה נתונה על ידי החלפת משתנים מחלק את n עצרת. פונקציה סימטרית היא כזו שאי אפשר לקבל ממנה אף פונקציה חדשה, אבל גם כאשר הפונקציה נהנית מסימטריה חלקית, כלומר, כשיש לה חבורת סימטריה גדולה יחסית (גם אם אינה חבורת הסימטריות המלאה), היא עשויה להקרא סימטרית.

פונקציה סופר-סימטרית היא פונקציה במשתנים $x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}$, שהיא סימטרית בכל קבוצת משתנים בנפרד, ואשר $f(t,x_{2},\ldots ,x_{n};t,y_{2},\ldots ,y_{m})$ אינו תלוי במשתנה $t$. פונקציות אלה קשורות להצגות של סופר-אלגברת לי ${\text{gl}}(m|n)$, בדומה לקשר בין פונקציות סימטריות להצגות (הפולינומיות) של ${\text{gl}}(n)$.

קישורים חיצוניים

• פונקציה סימטרית, באתר MathWorld (באנגלית)