עקמומיות גאודזית

עקמומיות גאודזית ($k_{g}$; באנגלית: Geodesic curvature) של עקום נתון $\gamma$, בגאומטריה דיפרנציאלית, היא גודל המודד כמה רחוק העקום מלהיות מסילה גאודזית. בתוך יריעה נתונה ${\bar {M}}$, העקמומיות הגאודזית היא פשוט העקמומיות הרגילה של העקום הנח בה. לעומת זאת, כאשר העקום חייב להימצא בתוך תת-יריעה $M$ של ${\bar {M}}$ (למשל, במקרה של עקומים על גבי משטח נתון), העקמומיות הגאודזית מתייחסת לעקמומיות של $\gamma$ "הנצפית" מתוך תת-היריעה $M$ והיא שונה באופן כללי מהעקמומיות הנצפית של $\gamma$ ביריעה בה היא משוכנת (כלומר ב- ${\bar {M}}$). העקמומיות $k$ של $\gamma$ כפי שנצפית ביריעה הגדולה יותר תלויה בשני גורמים: העקמומיות של תת-היריעה $M$ בכיוון של $\gamma$ (העקמומיות הנורמלית $k_{n}$), שתלויה רק בכיוון של העקום, והעקמומיות של $\gamma$ הנראית מתת היריעה $M$ (העקמומיות הגאודזית $k_{g}$). הקשר המתמטי בין אלו הוא $k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}}$. בפרט, לעקומים גאודזיים על $M$ יש עקמומיות גאודזית אפס (הם "ישרים"), כך ש-$k=k_{n}$, מה שמסביר מדוע הם נראים עקומים במרחב המקיף בו משוכנת היריעה.

מבחינה היסטורית, מושג העקמומיות הגאודזית קדם למושג היריעה, כך שקודם הוכח שהעקמומיות הגאודזית המוגדרת כ-$k_{g}={\sqrt {k^{2}-k_{n}^{2}}}$ היא אכן גודל פנימי "שמור" של המשטח.

הגדרה מתמטית

כדי לכמת את העקמומיות הגאודזית יש להתאים לכל נקודה על המשטח בנייה של בסיס אורתונורמלי כך ששני וקטורים שלו יפרשו את המישור המשיק למשטח בנקודה הספציפית, והווקטור השלישי יהיה הנורמל למשטח באותה נקודה. לאור ההתאמה הזאת, העקמומיות הגאודזית של עקום $\gamma$ בנקודה $X$ מוגדרת כקצב הסיבוב של הווקטור המשיק לעקום מסביב לוקטור הנורמל למשטח ${\vec {n}}$, כאשר מתקדמים במהירות קבועה לאורך העקומה. הגדרה זאת כללית יותר מזו של עקמומיות של עקומה במישור ומכילה אותה; ההבדל החישובי נעוץ בכך שבעוד שבמישור וקטור הנורמל לא משנה את כיוונו, על גבי משטח כללי גם המשיק לעקומה וגם וקטור הנורמל משנים את כיוון ההצבעה שלהם במרחב.

דוגמה

נניח ש-$M$ היא ספירת היחידה $S^{2}$ במרחב אוקלידי תלת-ממדי. העקמומיות הנורמלית של $S^{2}$ היא זהותית אחת, ללא קשר לכיוון החתך. למעגלים גדולים יש עקמומיות $k=1$, כך שיש להם עקמומיות גאודזית אפס, ולכן הם עקומים גאודזיים. ל-"מעגלים קטנים" בעלי רדיוס $r$ יש עקמומיות $1/r$ ועקמומיות גאודזית $k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}$. באופן כללי, בגאומטריה הלא אוקלידית שמתקיימת על פני משטחים עקומים, עקומים בעלי עקמומיות גאודזית קבועה שונה מאפס ניתנים למידול כמעגלים.

ראו גם

• משפט גאוס-בונה

קישורים חיצוניים

• עקמומיות גאודזית, באתר MathWorld (באנגלית)