גאומטריה לא-אוקלידית

במתמטיקה, גאומטריה לא-אוקלידית היא כל מערכת גאומטרית עקבית ששונה מהגאומטריה האוקלידית באקסיומה אחת או יותר. שתי המערכות הלא-אוקלידיות הידועות ביותר הן הגאומטריה הספרית והגאומטריה ההיפרבולית, ולעיתים המונח גאומטריה לא-אוקלידית מתייחס בעיקר לגאומטריות אלה. גאומטריות אלה מתקבלות על ידי החלפת האקסיומה החמישית של אוקלידס (אקסיומת המקבילים) באקסיומה אחרת. בגאומטריה האוקלידית, האקסיומה החמישית מניחה כי במישור דו־ממדי, לכל ישר נתון ונקודה כלשהי שאינה על הישר קיים בדיוק ישר אחד העובר דרך הנקודה ואינו פוגש את הישר הנתון (כלומר, ישר מקביל לישר הנתון). בגאומטריה היפרבולית, לעומת זאת, ישנם אינסוף קווים דרך הנקודה שאינם פוגשים את הישר הנתון, בעוד שבגאומטריה אליפטית, כל קו דרך הנקודה פוגש את הישר הנתון.

התנהגותם של קווים בעלי אנך משותף בגאומטריות שונות

דרך נוספת לתאר את ההבדלים בין הגאומטריות הללו היא להתבונן בשני קווים ישרים הנמשכים ללא הגבלה במישור דו־ממדי, אשר שניהם מאונכים לישר שלישי (באותו מישור):

• בגאומטריה האוקלידית, הקווים נשארים במרחק קבוע זה מזה.
• בגאומטריה היפרבולית, הם "מתעקלים" זה מזה, ומתרחקים ככל שמתרחקים מנקודות החיתוך עם הניצב המשותף; קווים אלה נקראים גם אולטרה-מקבילים.
• בגאומטריה אליפטית, הקווים "מתעקלים" אחד כלפי השני ובסופו של דבר נפגשים.

רקע

בספרו יסודות, ביסס אוקלידס את הגאומטריה שלו על חמש הנחות (אקסיומות). בניגוד לארבע ההנחות הראשונות, שהיו קצרות ופשוטות, ההנחה החמישית (הידועה גם כאקסיומת המקבילים) נוסחה על ידי אוקלידס באופן מסורבל וארוך יותר ונתפסה על ידי מתמטיקאים כפחות טבעית (self-evident). לפיכך נעשו מאמצים רבים לאורך ההיסטוריה להחליפה באקסיומה טבעית יותר או להוכיח שאקסיומה זו נובעת מהאקסיומות האחרות, כלומר – שהיא אינה אקסיומה אלא משפט. מאמצים אלה עלו בתוהו במשך כאלפיים שנה, עד שבראשית המאה ה-19 הבינו מתמטיקאים אחדים שהאקסיומה החמישית כלל אינה הכרחית עבור מערכת גאומטרית עקבית. בכך נפתח לראשונה הפתח לבניית גאומטריות שונות מהגאומטריה של אוקלידס, הגאומטריות הלא-אוקלידיות. לגילוי זה היו השלכות מרחיקות לכת על המתמטיקה ועל המדע בכלל. בתחילת המאה ה-20 השתמש אלברט איינשטיין בגאומטריה לא-אוקלידית על מנת לנסח את תורת היחסות הכללית.

גאומטריות לא-אוקלידיות

לרעיון שניתן להחליף את אקסיומת המקבילים באקסיומה אחרת, ובכך לקבל גאומטריה שונה מהגאומטריה האוקלידית אך תקפה באותה מידה, הגיע לראשונה גאוס, שחשש לפרסם רעיון כה חדשני. גאוס גילה רבות מהתכונות היסודיות של הגאומטריה הלא אוקלידית (או, באופן ספציפי יותר, של הגאומטריה ההיפרבולית) כגון: אי-אפשרות של צורות דומות וקיומו של אורך אבסולוטי א-פריורי (absolute length). כמו כן, גאוס גילה והוכיח את הקשר בין האינטגרל על עקמומיות המשטח לגירעון הזוויתי של משולש על פניו (ההפרש בין סכום זוויותיו ל-180 מעלות), מצא נוסחה לשטח המקסימלי של משולש בגאומטריה היפרבולית, וכן נוסחה להיקף מעגל בגאומטריה היפרבולית. אחריו, בשנות העשרים של המאה ה-19, הגיעו לרעיונות דומים באופן בלתי תלוי המתמטיקאי הרוסי ניקולאי לובצ'בסקי וקצין הצבא ההונגרי יאנוש בויאי. בגאומטריה ההיפרבולית, דרך נקודה מחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה (ולא אחד בלבד כבגאומטריה האוקלידית). בגרסה אחרת של גאומטריה לא־אוקלידית, הגאומטריה הכדורית, שאותה פיתח ברנהרד רימן, תלמידו של גאוס, אומרת מתקיים כי כל שני קווים ישרים נפגשים. כלומר, בגאומטריה זו לא קיימים ישרים מקבילים כלל.

מאוחר יותר פיתח רימן את הגאומטריה הרימנית שמכלילה את כל הגאומטריות הנ"ל והניחה את היסודות לתחום הנקרא גאומטריה דיפרנציאלית, המטפל בין השאר ביריעות בעלות עקמומיות משתנה. ב-1868 נעזר אאוג'ניו בלטראמי בשיטה הכללית של רימן כדי לבנות מודלים לגאומטריה ההיפרבולית. בשנות השבעים של המאה ה-19 חיבר אנרי פואנקרה את הרעיונות האלה אל הנושאים המרכזיים במתמטיקה של תקופתו, והפך אותם לכלי חיוני בתורת המספרים האנליטית.

בתחילת המאה ה-20 התברר שהגאומטריות הלא־אוקלידיות אינן רק תרגיל ביסודות האקסיומטיים של הגאומטריה, אלא הן בעלות משמעות פיזיקלית אמיתית. כשם שהגאומטריה האוקלידית מהווה בסיס למכניקה של אייזק ניוטון, כך מהווה הגאומטריה ההיפרבולית המיושמת על יריעה פסאודו-רימנית (כלומר: יריעה בה הטנזור המטרי לא חיובי לחלוטין) בסיס לתורת היחסות הכללית, והיא הגאומטריה שמתארת נאמנה את המרחב-זמן.

עקביות הגאומטריה הלא-אוקלידית

הדרך הטובה ביותר להשתכנע שגאומטריה לא-אוקלידית היא עקבית, כלומר, שאין בה סתירות, היא לבנות מודל שלה במסגרת תאוריה אחרת, וותיקה ומבוססת יותר. פירושו של דבר הוא שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור בגאומטריה הלא-אוקלידית, ומאפיינים את הנקודות ואת הקווים הישרים במישור זה. כל שנדרש מן המודל הוא שהקווים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה - הלא-אוקלידית. אם קיים מודל כזה, אז העקביות של התאוריה החדשה נובעת מזו של התאוריה הישנה.

המודלים המקובלים לגאומטריה לא-אוקלידית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית. קיומם של מודלים כאלה מוכיח כי אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה על הגאומטריה הלא-אוקלידית. זו בפני עצמה הוכחה שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) בלתי תלויה באקסיומות הגאומטריות האחרות (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של תורת הקבוצות, דרך המודל הסטנדרטי של המרחב האוקלידי).

ניתן לפרש חלק מהגאומטריות הלא־אוקלידיות כגאומטריה של פני משטח עקום במרחב אוקלידי תלת־ממדי. המודל הסטנדרטי עבור הגאומטריה הספרית היא גאומטריה על פני כדור, שבה הקווים הישרים הם "מעגלים גדולים" (כגון קו המשווה או המרידיאנים על כדור הארץ).

גם לאחר עבודתם של לובצ'בסקי, גאוס ובויאי, נותרה בעינה השאלה: "האם קיים מודל כזה לגאומטריה היפרבולית?". התשובה ניתנה על ידי אאוג'ניו בלטראמי, בשנת 1868, אשר הראה לראשונה כי למשטח הנקרא פסאודוספרה (דמוי אוכף) יש את העקמומיות המתאימה למודל של חלק מהמרחב ההיפרבולי. במאמר שני באותה שנה, הגדיר בלטרמי את מודל קליין (נקרא גם מודל הדיסק ), אשר מתאים למכלול המרחב ההיפרבולי, והשתמש בכך כדי להראות שהגאומטריה האוקלידית והגאומטריה ההיפרבולית הן עקביות יחד, כך שהגאומטריה ההיפרבולית היא עקבית אם ורק אם הגאומטריה האוקלידית היא עקבית.

לקריאה נוספת

• האם אלוהים הוא מתמטיקאי?, בתרגום עמנואל לוטם, אריה ניר הוצאה לאור, 2010, הפרק "הגאומטריקאים: הלם העתיד", עמ'155–175

• Marvin J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th edition, W. H. Freeman, 2008
• Gray, Jeremy. Ideas of Space : Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic. 2nd ed., Clarendon Press ; Oxford University Press, 1989
• Bonola, Roberto. Non-Euclidean Geometry. Dover, 1955

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא גאומטריה לא-אוקלידית בוויקישיתוף

• סקירת הגאומטריה הלא אוקלידית ב-MacTutor
• אורה אדלר, ראשיתה של הגאומטריה הלא אוקלידית - ניתוח עבודותיהם של ג'והן בוליי וניקולאי לובצ'בסקי, חיבור לשם קבלת תואר שני, אוניברסיטת בן-גוריון בנגב, 2002
• גאומטריה לא-אוקלידית, באתר MathWorld (באנגלית)
• גאומטריה לא-אוקלידית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• גאומטריה, לא אוקלידית, דף שער בספרייה הלאומית