משפט (מתמטיקה)

המונח "תיאורמה" מפנה לכאן. לערך העוסק בסרטו של פאזוליני, ראו תיאורמה (סרט).

במתמטיקה, משפט (בלועזית: תאורמה; באנגלית: Theorem) הוא פסוק שניתן להוכיח אותו במסגרת מערכת אקסיומות מסוימת. הוכחת משפטים היא מהפעילויות המרכזיות במתמטיקה.

למשפט ישנם שני חלקים: התנאים הדרושים להתקיימותו, והמסקנות שהמשפט מסיק על סמך אותם תנאים.

דוגמה למשפט: "אם המשולש שאורכי צלעותיו הם $a,b,c$ הוא משולש ישר-זווית, ו- $c$ הוא אורך היתר שלו, אז $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ". זהו משפט פיתגורס המפורסם. התנאי כאן הוא שהמשולש הנתון הוא ישר-זווית, והמסקנה היא המשוואה הקושרת את אורכי הצלעות.

דוגמה נוספת למשפט: "המספר ${\sqrt {2}}$ הוא אי רציונלי". כאן לכאורה אין תנאים מוקדמים, אך בפועל ישנה הנחה של הסכמה על כמה מושגים בסיסיים, דוגמת ההסכמה על הגדרת המושג "מספר", והאקסיומות העוסקות במספרים.

נשים לב כי הוכחת המשפט אינה נחשבת חלק ממנו, אך קיומה של הוכחה אחת לפחות הכרחי על מנת לקרוא לטענה "משפט". לאותו משפט יכולות להיות הוכחות רבות – למשפט פיתגורס ידועות מאות הוכחות שונות. טענה שמנוסחת כמשפט אך לא ידועה לה הוכחה נקראת השערה.

לא כל הטענות המתמטיות המנוסחות כמשפט אכן נקראות "משפט". נהוג לקרוא "משפט" רק לטענות מעניינות או בעלות ערך. זוהי הגדרה מעורפלת ומאוד לא מתמטית, ואין כלל מדויק הקובע מתי נקראת טענה כלשהי "משפט".

לעיתים משתמשים במילה "לֶמה" (lemma) כדי לציין משפט שחשיבותו העיקרית היא כטענת עזר למשפטים אחרים. רוב הלמות הן טכניות ואין להן חשיבות עצמאית. מאידך יש למות, כדוגמת הלמה של צורן, הלמה של בורל-קנטלי ורבות אחרות, שיש להן גם ערך משל עצמן.

כמו כן נהוג לכנות בשם "מסקנה" תוצאה שנובעת ישירות ממשפט כלשהו, ובשם "טענה" כדי לכנות טענות כלליות שאינן מעניינות מספיק כדי להיקרא "משפט". ההבדל, כאמור, הוא טרמינולוגי בלבד ואין לו השלכות של ממש.

משפט הפוך (למשפט נתון) הוא משפט שבו מוחלפים חלק מן ההנחות והמסקנה בתפקידיהם. דוגמה:

משפט: אם מספר טבעי מתחלק ב-2 וב-3, הוא מתחלק גם ב-6.
משפט הפוך: אם מספר טבעי מתחלק ב-6, הוא מתחלק גם ב-2 וב-3.

לא תמיד המשפט ההפוך מתקיים. לדוגמה נכון המשפט "כל מספר המתחלק ב-4 הוא זוגי", אך לא נכון המשפט ההפוך "כל מספר זוגי מתחלק ב-4". כאשר משפט והמשפט ההפוך מתקיימים נהוג לאחדם למשפט יחיד בעזרת הקשר אם ורק אם. למשל "מספר טבעי מתחלק ב-2 וב-3 אם ורק אם הוא מתחלק ב-6".