עצמאות (לוגיקה מתמטית)

בלוגיקה מתמטית, טענה שלא ניתן להוכיח אותה, וגם לא את שלילתה, מתוך מערכת נתונה של אקסיומות, היא טענה עצמאית ביחס לאותה מערכת. מערכת הוכחה נתונה היא שלמה, אם אין לה טענות עצמאיות.

ישנן כמה דוגמאות מפורסמות לטענות עצמאיות:

• אקסיומת המקבילים, הקובעת שדרך כל נקודה מחוץ לישר עובר קו מקביל אחד ויחיד - עצמאית ביחס לאקסיומות האחרות של גאומטריית המישור (ראו גם גאומטריה לא-אוקלידית).
• אקסיומת הבחירה עצמאית מהאקסיומות הרגילות של תורת הקבוצות, אקסיומות צרמלו פרנקל.
• השערת הרצף עצמאית מאקסיומות צרמלו פרנקל יחד עם אקסיומת הבחירה.

המתמטיקאי האוסטרי-אמריקאי קורט גדל הוכיח ב-1931 שבכל תורה אפקטיבית עקבית המבוססת על שפה מסדר ראשון שיש בה מספיק מושגים כדי לנסח טענות על כפל במספרים השלמים, יש נוסחאות שלא ניתן להוכיח אותן או את שלילתן. מכאן ששפה אפקטיבית חזקה מספיק, אינה יכולה להיות עקבית ושלמה, וחייבות להיות בה טענות עצמאיות. חוק זה נקרא משפט האי-שלמות הראשון של גדל, ובעקבותיו השתנתה ההתייחסות לתוכנית הילברט לבסס את כל המתמטיקה על קבוצה סופית של אקסיומות.

משפט האי-שלמות השני של גדל טוען שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה (אפקטיבית וחזקה מספיק) במסגרת האקסיומות של התורה עצמה. לפעמים אפשר להוכיח את העקביות של מערכת על ידי בניית מודל שלה במסגרת מערכת אחרת. למשל, אקסיומות פאנו מתארות את המספרים השלמים, וניתן לבנות מודל שלהן במסגרת תורת הקבוצות. לכן, אם תורת הקבוצות חסרת סתירות, אז כך גם מערכת פאנו.