מודל (לוגיקה מתמטית)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בלוגיקה מתמטית, מודל של תורה הוא מבנה המתאים לשפה, שבו מתקיימות כל האקסיומות. לעניין זה, המבנה כולל קבוצה, עם השׂמות מתאימות לקבועים, לפונקציות וליחסים השייכים לשפה.

לדוגמה, אפשר לתאר תורה שיש בה קבוע אחד $c$, ויחס בינארי $P$, עם האקסיומות $\forall x:P(x,c),\forall x\,\exists y:P(y,x)\land \neg P(x,y)$. מודל אפשרי כולל את הקבוצה $\{1,2,3,c\}$, והיחס $P={\bigl \{}(1,c),(2,c),(3,c),(c,c),(1,2),(2,3),(3,1){\bigr \}}$, שבה מתקיימות שתי האקסיומות.

קיומו של מודל מוכיח שהתורה עקבית. מאידך, משפט השלמות של גדל קובע שלכל תורה עקבית יש מודל אחד לפחות.

לפי משפט הקומפקטיות, לתורה שיש לה מודלים בגדלים סופיים לא חסומים, יש גם מודל אינסופי.

לפי משפט לוונהיים-סקולם, לתורה שיש לה מודל אינסופי, יש מודל מכל עוצמה אינסופית הגדולה מעוצמת קבוצת הקבועים.