משתמש:Ron12334/חשבון סודרים

בתורת הקבוצות חשבון סודרים מתאר את שלוש הפעולות הרגילות על מספרים סודרים: חיבור, כפל וחזקה.

כל אחת מהפעולות ניתן להגדיר בשתי דרכים, על ידי בניית יחס סדר טוב על קבוצה המייצגת את התוצאה של הפעולה, או על ידי שימוש באינדוקציה טרנספיניטית.

חיבור

הגדרה על ידי יחסי סדר טובים

עבור קבוצה סדורה היטב $T$ נסמן את הסודר המתאים לה ב - $\mathrm {otp} (T)$. בהינתן שתי קבוצות סדורות היטב $S,T$ כך ש: $\mathrm {otp} (T)=\alpha$ וכן $\mathrm {otp} (S)=\beta$ נגדיר את $\alpha +\beta$ באופן הבא, נסתכל על $T\times \{0\}\cup S\times \{1\}$ יחד עם יחס הסדר $\prec$ בו איברי $T$ שומרים על סדרם הפנימי, איברי $S$ שומרים על סדרם הפנימי ואיברי $T$ קטנים מאיברי $S$. ניתן להראות כי יחס זה הוא יחס סדר טוב. כעת ניתן להגדיר את החיבור כטיפוס הסדר של יחס זה: $\alpha +\beta =\mathrm {otp} (T\times \{0\}\cup S\times \{1\},\prec )$.

הגדרה באמצעות אינדוקציה טרנספיניטית

נתן לתת הגדרה של חיבור הסודרים $\alpha +\beta$ על ידי אינדוקציה טרנספיניטית על $\beta$ באופן הבא. כאשר $\beta =0$, נגדיר: $$\alpha +\beta =\alpha +0:=\alpha$$ לכל סודר $\alpha$. עבור $\beta >0$, מגדירים את הערך של $\alpha +\beta$ להיות הסודר הקטן ביותר הגדול מהסכום של $\alpha$ ו־$\gamma$ לכל $\gamma <\beta$. כאשר מפצלים הגדרה זאת לפי סוג הסודר $\beta$ מקבלים את ההגדרה האינדוקטיבית הבאה:

• $\alpha +0=\alpha$.
• לכל סודר $\beta$ נגדיר $\alpha +S(\beta ):=S(\alpha +\beta )$. כאשר $S$ היא פעולת העוקב.
• לכל סודר גבולי $\beta$ נגדיר $\alpha +\beta :=\bigcup _{\gamma <\beta }(\alpha +\gamma )$.

תכונות

תחילה נשים לב כי חיבור מספרים טבעיים כסודרים זהה לחיבור מספרים טבעיים. לאומת זאת כאשר מדברים על סודרים אינסופיים יש מספר דברים המתנהגים שונה, לדוגמה באופן כללי חיבור מספרים סודרים אינו חילופי, לדוגמה $3+\omega =\omega \neq \omega +3$.

חיבור סודרים הוא אסוציאטיבי, כלומר לכל שלושה סודרים $\alpha ,\beta ,\gamma$ מתקיים $(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$.

כמו כן חיבור סודרים הוא מונוטוני, כאשר בחיבור בצד שמאל הוא מונוטוני חזק, כלומר לכל שלושה סודרים $\alpha ,\beta ,\gamma$ כאשר $\alpha <\beta$ מתקיים $\gamma +\alpha <\gamma +\beta$, ובחיבור בצד ימין הוא מונוטוני חלש, כלומר לכל שלושה סודרים $\alpha ,\beta ,\gamma$ באשר $\alpha <\beta$ מתקיים $\alpha +\gamma \leq \beta +\gamma$, ניתן לראות כי לא מתקיים אי־שיויון חזק כי לדוגמה $1+\omega =2+\omega$ בעוד $1<2$.

כפל

הגדרה על פי יחסי סדר טובים

בהינתן שתי קבוצות סדורות היטב $S,T$ באשר $\mathrm {otp} (T)=\alpha$ וכן $\mathrm {otp} (S)=\beta$ נגדיר את $\alpha \cdot \beta$ באופן הבא: נסתכל על $T\times S$ יחד עם יחס הסדר הלקסיקוגרפי $\leq _{\text{lex}}$, כעת ניתן להגדיר את הכפל כטיפוס הסדר של יחס זה: $\alpha \cdot \beta =\mathrm {otp} (T\times S,\leq _{\text{lex}})$.

הגדרה על פי אינדוקציה

ההגדרה של כפל סודרים $\alpha \cdot \beta$ יכולה להינתן גם על ידי אינדוקציה טרנספיניטית על $\beta$. כאשר $\beta =0$, נקבל כי מתקיים $\alpha \cdot \beta =\alpha \cdot 0=0$ לכל סודר $\alpha$. עבור $\beta >0$, הערך של $\alpha \cdot \beta$ הוא הסודר הקטן ביותר הגדול שווה לערך $\alpha \cdot \gamma +\alpha$ לכל $\gamma <\alpha$. כאשר מפצלים את $\beta$ למקרים על פי איזה סוג סודר הוא מקבלים את ההגדרה האינדוקטיבית הבאה:

• $\alpha \cdot 0=0$.
• לכל סודר $\beta$ נגדיר $\alpha \cdot S(\beta )=\alpha \cdot \beta +\alpha$.
• לכל סודר גבולי $\beta$ נגדיר $\alpha \cdot \beta =\bigcup _{\gamma <\beta }(\alpha \cdot \gamma )$.

תכונות

תחילה נשים לב כי כפל מספרים טבעיים כסודרים זהה לכפל טבעיים רגיל, למרות זאת כאשר מדברים על סודרים אינסופיים יש מספר דברים אשר מתנהגים שונה, לדוגמה באופן כללי כפל מספרים סודרים אינו חילופי, לדוגמה $2\cdot \omega =\omega \neq \omega \cdot 2$, למרות זאת לכל סודר $\alpha$ מתקיים $\alpha \cdot 0=0\cdot \alpha =0$.

בנוסף לתכונה שהכפלה ב־0 מחזירה תמיד 0 אנו יודעים כי אם $\alpha \cdot \beta =0$ עבור שני סודרים $\alpha ,\beta$ אז $(\alpha =0)\lor (\beta =0)$.

כפל סודרים הוא אסוציאטיבי, כלומר לכל שלושה סודרים $\alpha ,\beta ,\gamma$ מתקיים $(\alpha \cdot \beta )\cdot \gamma =\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma )$.

כמו כן כפל סודרים הוא מונוטוני, כאשר הכפל בצד שמאל הוא מונוטוני חזק, כלומר לכל שלושה סודרים $\alpha ,\beta ,\gamma$ כאשר $\alpha <\beta$ מתקיים $\gamma \cdot \alpha <\gamma \cdot \beta$, ובכפל בצד ימין הוא מונוטוני חלש, כלומר לכל שלושה סודרים $\alpha ,\beta ,\gamma$ כאשר $\alpha <\beta$ מתקיים $\alpha \cdot \gamma \leq \beta \cdot \gamma$, ניתן לראות כי לא מתקיים אי־שיויון חזק כי לדוגמה $1\cdot \omega =2\cdot \omega$ בעוד $1<2$.

חוק הפילוג תקף לסודרים, אבל רק מצד שמאל, כלומר לכל שלושה סודרים $\alpha ,\beta ,\gamma$ מתקיים $\alpha \cdot (\beta +\gamma )=\alpha \cdot \beta +\alpha \cdot \gamma$, בעוד לא מתקיים חוק פילוג מצד ימין, לדוגמה $(1+1)\cdot \omega \neq 1\cdot \omega +1\cdot \omega =\omega +\omega$.

מתקיים חוק צמצום משמאל, כלומר לכל שלושה סודרים $\alpha ,\beta ,\gamma$ כאשר $\alpha >0$ אם $\alpha \cdot \beta =\alpha \cdot \gamma$ אז $\beta =\gamma$, למרות זאת לא מתקיים חוק צמצום מימין, זאת מכיוון ומתקיים $1\cdot \omega =\omega =2\cdot \omega$ אך $1\neq 2$.

בנוסף לכך כן קיימת חלוקה עם שארית משמאל, כלומר לכל שני סודרים $\alpha ,\beta$ כאשר $0<\alpha$ וכן $\alpha <\beta$ קיימים ויחידים סודרים $\xi ,\delta$ המקיימים $\beta =\alpha \cdot \delta +\xi$ וכן $\xi <\alpha$.

חזקה

הגדרה על פי יחסי סדר טובים

בהינתן שתי קבוצות סדורות היטב $S,T$ כאשר $\mathrm {otp} (T)=\alpha$ וכן $\mathrm {otp} (S)=\beta$ נגדיר את $\alpha ^{\beta }$ באופן הבא, נסתכל על הקבוצה$$X=\{f:B\to A\mid \#\{b\in B\mid f(b)\neq \min(A)\}<\infty \}$$ כאשר הסימן $\#$ מסמן עוצמה. במילים אחרות הקובוצה $X$ מרכבת מכל הפונקציות מ-$B$ l-$A$ כך שמלבד למספר סופי של מקרים ערך הפונקציה הוא המינימום של $A$. נגדיר יחס סדר טוב $\prec$ על $X$ באופן הבא: לכל $f,g\in X$ אם $b\in B$ הוא האיבר המקסימלי עבורו $f(b)\neq g(b)$ אז$$f\prec g\iff f(b)<g(b)$$ כעת ניתן להגדיר את החזקה כטיפוס הסדר של יחס זה: $\alpha ^{\beta }=\mathrm {otp} (X,\prec )$.

הגדרה על פי אינדוקציה

ההגדרה של חזקת סודרים $\alpha ^{\beta }$ יכולה להינתן גם על ידי אינדוקציה טרנספיניטית על $\beta$. כאשר $\beta =0$, נקבל כי מתקיים $\alpha ^{\beta }=\alpha ^{0}=1$ לכל סודר $\alpha$. עבור $\beta >0$, הערך של $\alpha ^{\beta }$ הוא הסודר הקטן ביותר הגדול שווה לערך $\alpha ^{\gamma }\cdot \alpha$ לכל $\gamma <\beta$. כאשר מפצלים את $\beta$ למקרים על פי איזה סוג סודר הוא מקבלים את ההגדרה האינדוקטיבית הבאה:

• $\alpha ^{0}=1$.
• לכל סודר $\beta$ נגדיר $\alpha ^{S(\beta )}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha$.
• לכל סודר גבולי $\beta$ נגדיר $\alpha ^{\beta }=\bigcup _{\gamma <\beta }(\alpha ^{\gamma })$.

תכונות

תחילה נשים לב כי חזקת מספרים טבעיים כסודרים זהה לחזקת טבעיים רגילה. כמו למספרים טבעיים מתקיימות גם התכונות הבאות עבור סודרים באופן כללי, כלומר לכל סודרים $\alpha ,\beta ,\gamma$ מתקיים:

• $\alpha ^{0}=1$.
• אם $\alpha >0$ אז $0^{\alpha }=0$.
• $1^{\alpha }=1$.
• $\alpha ^{1}=\alpha$.
• $\alpha ^{\beta }\cdot \alpha ^{\gamma }=\alpha ^{\beta +\gamma }$.
• $(\alpha ^{\beta })^{\gamma }=\alpha ^{\beta \cdot \gamma }$.

למרות כל התכונות הדומות, עדיין יש מספר הבדלים, לדוגמה לא תמיד מתקיים $(\alpha \cdot \beta )^{\gamma }=\alpha ^{\gamma }\cdot \beta ^{\gamma }$, וניתן לראות זאת כך $(\omega \cdot 2)^{2}=\omega ^{2}\cdot 2\neq \omega ^{2}\cdot 4$.

כמו כן חזקת סודרים הינה מונוטונית, לכל שלושה סודרים $\alpha ,\beta ,\gamma$ כאשר $\alpha <\beta$ מתקיים $\gamma ^{\alpha }<\gamma ^{\beta }$, למרות זאת לכל שלושה סודרים $\alpha ,\beta ,\gamma$ כאשר $\alpha <\beta$ ניתן לאמר רק שמתקיים $\alpha ^{\gamma }\leq \beta ^{\gamma }$, כאשר ניתן לראות שלא מתקיים אי־שיויון חזק כי לדוגמה $2^{\omega }=\omega =3^{\omega }$ בעוד $2<3$.

מתקיים חוק צמצום בסיס, כלומר לכל שלושה סודרים $\alpha ,\beta ,\gamma$ כאשר $\alpha >1$ אם $\alpha ^{\beta }=\alpha ^{\gamma }$ אז $\beta =\gamma$.

מעבר לחזקה

ההגדרה האינדוקטיבית של חיבור, כפל וחזקה ניתנות להמשכה גם עבור טטרציה, פנטציה ובאופן כללי עבור היפר־פעולות, כאשר מגדירים מקרה בסיס עם הסודר 0 כמו עבור הטבעיים, מקרה עוקב כמו הטבעיים ועבור המקרה של סודר גבולי כאיחוד של הפעולה על כל הסודרים הקטנים יותר.

צורת קנטור נורמלית

כל מספר סודר $\alpha$ יכול להיכתב בצורה ייחודית $\omega ^{\beta _{1}}c_{1}+\omega ^{\beta _{2}}c_{2}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}c_{k}$, כאשר $k$ הוא מספר טבעי, $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}$ הם מספרים טבעיים גדולים מאפס, וכן $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ הם מספרים סודרים. המקרה המנוון $\alpha =0$ מתקיים כאשר $k=0$ ובמקרה זה לא בוחרים $\beta _{i}$ או $c_{i}$. פירוק זה של $\alpha$ נקרא הצורה הנורמלית של קנטור של $\alpha$, והוא יכול להיחשב כמערכת המספרים בבסיס ω. החזקה הגבוהה ביותר $\beta _{1}$ נקרא הדרגה של $\alpha$, והוא מקיים $\beta _{1}\leq \alpha$ . השוויון $\beta _{1}=\alpha$ מתקיים אם ורק אם $\alpha =\omega ^{\alpha }$, במקרה זה הצורה הנורמלית של קנטור הינה $\omega ^{\alpha }$ בלבד.

שינוי קטן של הצורה הנורמלית של קנטור, שבדרך כלל קל יותר לעבוד איתה, היא להגדיר את כל המספרים $c_{i}$ להיות $1$ ולאפשר לחזקות להיות שוות. במילים אחרות, כל מספר סודר $\alpha$ יכול להיכתב בצורה ייחודית $\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}$, כאשר $k$ הוא מספר טבעי, וכן $\beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \ldots \geq \beta _{k}\geq 0$ הם מספרים סודרים.

סוג נוסף של הצורה הנורמלית של קנטור היא "בסיס $\delta$", כלומר כתיבה של סודר $\alpha$ בצורה ייחודית $\delta ^{\beta _{1}}c_{1}+\delta ^{\beta _{2}}c_{2}+\cdots +\delta ^{\beta _{k}}c_{k}$ כאשר $k$ הוא מספר טבעי, $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}$ הם סודרים קטנים מ־$\delta$, וכן $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ הם מספרים סודרים.

הצורה הנורמלית של קנטור מאפשרת לנו לבטא באופן ייחודי ולסדר את הסודרים הבנויים מהמספרים הטבעיים על ידי מספר סופי של פעולות אריתמטיות של חיבור, כפל וחזקה בבסיס $\omega$ . במילים אחרות, בהנחה שמתקיים $\beta _{1}<\alpha$ בצורת קנטור הנורמלית, נוכל לבטא גם את המעריכים $\beta _{i}$ בצורת קנטור נורמלית, ולהניח את אותה הנחה עבור ה־$\beta _{i}$וכן הלאה באופן רקורסיבי, לבסוף נקבל מערכת סימנים עבור הסודרים האלו, לדוגמה$$\omega ^{\omega ^{\omega ^{7}\cdot 6+\omega +42}\cdot 1729+\omega ^{9}+88}\cdot 3+\omega ^{\omega ^{\omega }}\cdot 5+65537$$

הסודר אפסילון אפס

הסודר $\varepsilon _{0}$ הוא קבוצת הסודרים שניתנים לביטוי באורך סופי בבסיס $\omega$ דרך צורת קנטור נורמלית שהם לא טריוויאליים, כאשר לא טריוויאלי פירושו שמתקיים $\beta _{1}<\alpha$ כאשר $\alpha >0$. זהו הסודר הקטן ביותר שאין לו ביטוי אריתמטי סופי במונחים של $\omega$, וכן הוא הסודר הקטן ביותר המקיים $\varepsilon _{0}=\omega ^{\varepsilon _{0}}$, כלומר בצורת קנטור הנורמלית המעריך בחזקה אינו קטן מהסודר עצמו. בצורה שקולה $\varepsilon _{0}$ זה הגבול של הסדרה$$0,\,1=\omega ^{0},\,\omega =\omega ^{1},\,\omega ^{\omega },\,\omega ^{\omega ^{\omega }},\,\ldots \,.$$

הסודר $\varepsilon _{0}$ חשוב מסיבות שונות, בעיקר בגלל שהוא מודד את חוזק יכולת ההוכחה של מערכת פאנו מסדר ראשון: כלומר, האקסיומות של פאנו יכולות להראות אינדוקציה טרנספניטית לכל סודר קטן מ־$\varepsilon _{0}$ אך לא עבור $\varepsilon _{0}$ עצמו.

השוואת סודרים בעזרת צורת קנטור נורמלית

כדי להשוות בין שני סודרים שנכתבו בצורת קנטור נורמלית, יש להשוות תחילה את החזקה הגבוהה ביותר $\beta _{1}$, לאחר מכן את $c_{1}$, ואז $\beta _{2}$, ואז $c_{2}$, וכך הלאה. הפעם הראשונה בה יש אי־שיוויון, הסודר אצלו הגורם גדול יותר הוא הסודר הגדול יותר, ובמקרה והם זהים והליך ההשוואה מסתיים עבור אחד מהם לפני השני, אז האחד עבורו התהליך הסתיים ראשון קטן יותר.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', תורת הקבוצות - אריתמטיקה של סודרים, באתר "לא מדויק", 14 בינואר 2023
• חיבור סודרים, באתר MathWorld (באנגלית)
• כפל סודרים, באתר MathWorld (באנגלית)
• חזקת סודרים, באתר MathWorld (באנגלית)

תרשים מערכות מספרים ואובייקטים קשורים

מקרא   שדה.   חוג קמוטטיבי עם יחידה.   חוג עם חילוק.   מבנה כללי יותר.   קבוצה סופית   קבוצה בת מניה   קבוצה מעוצמת הרצף   מחלקה הגדולה מכדי להיות קבוצה שיכון העתקה על   איזומורפיזם לא קאנוני. העתקה שקיימת רק בחלק מהמקרים (בהתאם לבחירה של שדה המספרים $K$). ללא העתקות אלה וללא האיזומורפיזמים הלא קאנוניים, הדיאגרמה היא קומוטטיבית.             אלגברות קיילי-דיקסון אלגברות קיילי-דיקסון           מבנים ארכימדיים   $\mathbb {O}$ $\mathbb {O}$               $\mathbb {H}$ $\mathbb {H}$ מבנים אדליים ו - p-אדיים הסגור האלגברי של שדה המספרים הסוריאליסטיים הסגור האלגברי של שדה המספרים הסוריאליסטיים                                                                                                                                              ${\overline {\mathbb {C} (t)}}$ ${\overline {\mathbb {C} (t)}}$   $(t)$$\mathbb {C}$ $(t)$$\mathbb {C}$   $[t]$$\mathbb {C}$ $[t]$$\mathbb {C}$   $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$       $\mathbb {C} _{p}$ $\mathbb {C} _{p}$              מבנים ממאפיין חיובי              ${\widehat {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}$ ${\widehat {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}$                                                                         ${\overline {\mathbb {Q} (t)}}$ ${\overline {\mathbb {Q} (t)}}$   $(t)$${\bar {\mathbb {Q} }}$ $(t)$${\bar {\mathbb {Q} }}$     $[t]$${\bar {\mathbb {Q} }}$ $[t]$${\bar {\mathbb {Q} }}$     ${\bar {\mathbb {Q} }}$ ${\bar {\mathbb {Q} }}$             ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$ ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$                               ${\overline {\mathbb {F} _{p}(t)}}$ ${\overline {\mathbb {F} _{p}(t)}}$     ${\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}$ ${\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}$                                                       ${\bar {\mathbb {Z} }}$ ${\bar {\mathbb {Z} }}$                 ${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$ ${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$       $(t)$${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$ $(t)$${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$   $((t))$${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$ $((t))$${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$                                                               $K$ $K$     $_{K}$$\mathbb {A}$ $_{K}$$\mathbb {A}$   $_{\nu }$$K$$:=$$F$ $_{\nu }$$K$$:=$$F$   $L$ $L$                                               שדה מקומי ממאפיין חיובי $((t))$$\mathbb {F} _{q}$ שדה מקומי ממאפיין חיובי $((t))$$\mathbb {F} _{q}$                   ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\mathcal {O}}_{K}$       ${\widehat {{\mathcal {O}}_{K}}}$ ${\widehat {{\mathcal {O}}_{K}}}$   ${{\mathcal {O}}_{F}}$ ${{\mathcal {O}}_{F}}$   ${\mathcal {O}}_{F}/{\mathcal {P}}_{F}$$=$ $\mathbb {F} _{q}$ ${\mathcal {O}}_{F}/{\mathcal {P}}_{F}$$=$ $\mathbb {F} _{q}$     $(t)$$\mathbb {F} _{q}$ $(t)$$\mathbb {F} _{q}$   שדה המספרים הסוריאליסטיים שדה המספרים הסוריאליסטיים                                       ${}_{real}$${\overline {\mathbb {R} (t)}}$ ${}_{real}$${\overline {\mathbb {R} (t)}}$   $(t)$$\mathbb {R}$ $(t)$$\mathbb {R}$   $[t]$$\mathbb {R}$ $[t]$$\mathbb {R}$   $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$                                                                                                                 $(t)$$\mathbb {Q}$ $(t)$$\mathbb {Q}$   $[t]$$\mathbb {Q}$ $[t]$$\mathbb {Q}$     $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$     $_{\mathbb {Q} }$$\mathbb {A}$ $_{\mathbb {Q} }$$\mathbb {A}$   $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Q} _{p}$       $(t)$$\mathbb {F} _{p}$ $(t)$$\mathbb {F} _{p}$     $((t))$$\mathbb {F} _{p}$ $((t))$$\mathbb {F} _{p}$                                                                               $[t]$$\mathbb {Z}$ $[t]$$\mathbb {Z}$     $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$     ${\hat {\mathbb {Z} }}$ ${\hat {\mathbb {Z} }}$   $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$     $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$   $[t]$$\mathbb {F} _{p}$ $[t]$$\mathbb {F} _{p}$     $[[t]]$$\mathbb {F} _{p}$ $[[t]]$$\mathbb {F} _{p}$                           מספרים סודרים מספרים סודרים             $[t]$$\mathbb {N}$ $[t]$$\mathbb {N}$     $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$             $\mathbb {Z} |_{n}$ $\mathbb {Z} |_{n}$