רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.
ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.
אלגברת האוקטוניונים קשורה למספר מבנים מתמטיים יוצאי דופן, ובהם חבורות לי מטיפוס . בנוסף, לאוקטוניונים יש שימושים בתחומים כגון תורת המיתרים ותורת היחסות הפרטית.
האוקטוניונים הם, כאמור, אלגברה מממד 8 מעל שדה המספרים הממשיים. כל אוקטוניון הוא צירוף ליניארי של אוקטוניוני היחידה, כלומר, כל אוקטוניון אפשר לכתוב בצורה , כאשר הם מקדמים ממשיים.
חיבור אוקטוניונים מתבצע על ידי חיבור המקדמים. הכפל נקבע לפי לוח הכפל של אוקטוניוני היחידה (הגורמים משמאל הוא זה המוצג בראש השורה):
1
−1
-
-
-
−1
-
-
-
−1
-
-
-
−1
-
-
−1
-
-
-
−1
-
-
−1
כך אפשר לראות שאלגברת האוקטוניונים אינה קומוטטיבית () ואינה אסוציאטיבית (). בחירת הבסיס אינה קנונית - בסיסים סטנדרטיים אחרים נבדלים מן הבסיס שהוצג לעיל בסדר האיברים ובסימן המכפלות.
אפשר לבנות את האוקטוניונים באופן שיטתי, מאלגברת הקווטרניונים של המילטון, באמצעות בניית קיילי-דיקסון. בבניה זו, כפי שמספרים מרוכבים הם זוגות של מספרים ממשיים וקווטרניונים הם זוגות של מספרים מרוכבים, כל אוקטוניון הוא זוגות של קווטרניונים. החיבור, כתמיד, הוא לפי רכיבים. כפל של שני זוגות קווטרניונים ו- מתבצע כך:
כאשר מסמל את הצמוד של הקווטרניון . הגדרה זו שקולה לקודמת, כאשר אוקטוניוני היחידה הם: .
עזר זיכרון פשוט לזכירת המכפלות של אוקטוניוני היחידה
עזר זיכרון נוח שמאפשר לזכור את המכפלות של אוקטוניוני היחידה נתון בדיאגרמה שלהלן. דיאגרמה זו בעלת 7 נקודות ו-7 קווים (המעגל בין i, j ו-ij נחשב כקו) נקראת מישור פאנו. לקווים יש כיוון בדיאגרמה זאת. שבע הנקודות מתאימות לשבעת גורמי הבסיס של . כל זוג נקודות נמצא על קו יחיד, ועל כל קו יש בדיוק שלוש נקודות.
ניקח בתור שלישיית נקודות שנמצאות על קו ומסודרות לפי כיווני החצים. הכפל מתבצע על ידי וגם
ביחד עם תמורה מחזורית. כלל זה ביחד עם:
1 הוא היחידה הכפלית,
לכל נקודה בדיאגרמה
מגדירים לגמרי את מבנה הכפל של האוקטוניונים. כל קו יוצר תת-אלגברה של שהיא איזומורפית לאלגברת הקווטרניונים. למעשה, כל תת-אלגברה של היא אחת מאלגברות ההרכב, , או .
הצמוד של אוקטוניון
נתון על ידי:
ההצמדה היא אינוולוציה: , ו- .
החלק הממשי של מחושב על ידי , והחלק המדומה (השבעה-ממדי) - על ידי .
הנורמה באלגברת האוקטוניונים מוגדרת לפי , וזהו תמיד מספר ממשי לא-שלילי: . (לפעמים מעוניינים בשורש של הנורמה האלגברית, שהוא האורך של הווקטור במרחב האוקלידי השמונה-ממדי).
למרות שהאלגברה אינה אסוציאטיבית, הנורמה היא פונקציה כפלית, וכך נעשית אלגברת האוקטוניונים אלגברת הרכב. עובדה זו אחראית במידה רבה לנוסחת הכפל הפולינומית עבור סכומים של שמונה ריבועים (ראו משפט הורוויץ על תבניות ריבועיות; נוסחת כפל רציונלית נובעת מכך שסכום הריבועים הוא תבנית פיסטר). הנורמה גם מאפשרת לחשב את ההפכי לכל איבר: ההופכי של נתון על ידי: .
^ יכול להיות כל שדה מספרים. השדה יהיה ההשלמה שלו במקוםסופי שלו, והשדה הסופי יהיה מנה של חוג השלמים באידיאל הראשוני המתאים. לדוגמה אפשר לקחת את ואז יהיה חוג השלמים של גאוס. אם רוצים ששני החיצים המקווקוים ייצגו העתקות אז צריך לבחור שדה שיש לו גם שיכונים ממשיים וגם מרוכבים, למשל .
^הסימבול יכול לסמן משתנה אחד או כל קבוצה סדורה היטב של משתנים. יש שיכון בין אוביקט המתאים לקבוצה של משתנים לבין אוביקט המתאים לקבוצה של משתנים המכילה את .
![{\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76df51e5fa656a0bcfb5ed3bfffde8ea62f8a521)
![{\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae41c402b97eb389d066a11dc6fa4ae058fd250)
![{\displaystyle [t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b98e5f307c3f5fe1f13964fb66b6454fa4571b)
![{\displaystyle [[t]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63b64464afe0aaa2d7f7cf8aa9f15cee39bec8c)
![{\displaystyle K=\mathbb {Q} \langle {\sqrt[{4}]{2}}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e2d6246f279dbc0efd68c7ed8823ba371dc92f)
