דיאגרמה (תורת הקטגוריות)

בתורת הקטגוריות וביישומיה השונים, ובתחומי מתמטיקה אחרים, דיאגרמה היא תרשים גרפי הכולל אובייקטים ופונקציות, שבו מיוצגות הפונקציות באמצעות חצים המוליכים מאובייקט לאובייקט. דיאגרמה כזו היא דיאגרמה קומוטטיבית אם ההרכבה של הפונקציות לאורך מסלול המוליך מאובייקט X לאובייקט Y נותנת אותה תוצאה בכל המסלולים. לדוגמה, בדיאגרמה $${\begin{array}{lcr}A&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&A\\\downarrow g&&g\downarrow \\A&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&A\end{array}}$$ מופיע אובייקט אחד, A, ושני חצים, f,g המייצגים פונקציות מ-A ל-A (או, באופן כללי יותר, מורפיזמים בקטגוריה המתאימה). במקרה כזה, הדיאגרמה קומוטטיבית אם ורק אם הפונקציות מתחלפות: $\ f\circ g=g\circ f$.

דיאגרמות מאפשרות להציג יחסים מורכבים בין אובייקטים ופונקציות בקלות יחסית, והנחת הקומוטטיביות אורגת לתוך הדיאגרמה אינפורמציה רבת ערך נוספת. כמעט כל דיאגרמה של אובייקטים ומורפיזמים המופיעה בספרות המתמטית היא דיאגרמה קומוטטיבית.

דוגמאות

שתי חבורות G,H הן איזומורפיות אם קיים הומומורפיזם $\ f:G\rightarrow H$ שהוא חד-חד-ערכי ועל. תכונות אלה של f שקולות לכך שהפונקציה הפיכה; במילים אחרות, קיים הומומורפיזם $\ g:H\rightarrow G$, בכיוון ההפוך, כך שההרכבות $\ f\circ g,g\circ f$ הן העתקות הזהות של H ושל G, בהתאמה. בשפת הדיאגרמות, ניתן לנסח זאת כך: קיימים הומומורפיזמים f,g כך שהדיאגרמה

$${\begin{array}{ccc}G&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&H\\\parallel &\swarrow g&\parallel \\G&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&H\end{array}}$$ היא קומוטטיבית, כאשר סימני השוויון מייצגים את העתקת הזהות.

בדיאגרמות משתמשים גם כדי לציין את קיומם של חצים נוספים, הנובעים ממידע נתון, כאילו היו פתרון למערכת משוואות. כך למשל, מודול P הוא פרויקטיבי אם לכל הומומורפיזם בין שני מודולים $\ f:A\rightarrow B$ שהוא על, ניתן "להרים" כל הומומורפיזם $\ h:P\rightarrow B$, להומומורפיזם $\ s:P\rightarrow A$, באופן כזה שמתקיים $\ f\circ s=h$. בשפת הדיאגרמות, הדרישה היא שכל דיאגרמה $${\begin{array}{ccccc}{}&{}&P&{}&{}\\{}&{}&\downarrow h&{}&{}\\A&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&B&\longrightarrow &0\end{array}}$$ (שבה השורה התחתונה היא סדרה מדויקת, המציינת ש-f היא על), ניתן להשלים לדיאגרמה קומוטטיבית $${\begin{array}{ccccc}{}&{}&P&{}&{}\\{}&{}\swarrow &\downarrow h&{}&{}\\A&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&B&\longrightarrow &0\end{array}}$$.

מרדף בדיאגרמה

"מרדף דיאגרמה" (באנגלית: Diagram chase) היא טכניקת חישוב והוכחה מקובלת באלגברה הומולוגית, במקרה שבו מבקשים להוכיח קיום של חץ בדיאגרמה או תכונות שלו. ההוכחה מתחילה באיבר של אחד האובייקטים, ומנצלת את תכונות הדיאגרמה, כגון הקומוטטיביות או העובדה שהרכבה מסוימת של פונקציות היא מדויקת, כדי לדחוף ולמשוך את האיבר לאורך החצים בדיאגרמה עד לקבלת התוצאה המבוקשת.

דוגמאות מפורסמות לשיטה זו הן ההוכחות של למת החמישה, למת הנחש ולמת התשעה.

קישורים חיצוניים

• רדיפת דיאגרמות, באתר MathWorld (באנגלית)