שדה טורי החזקות הפורמליים

במתמטיקה, שדה טורי החזקות הפורמליים (נקרא גם השדה של טורי לורן) מעל שדה $F$ הוא אוסף טורי החזקות הפורמליים מהצורה $\sum _{i=-N}^{\infty }{a_{i}x^{i}}$, עבור n כלשהו, כאשר המקדמים $a_{i}$ שייכים ל-$F$. את שדה טורי החזקות הפורמליים מסמנים ב-$F(\!(x)\!)$. הוא מכיל את כל הפולינומים, ואף את שדה הפונקציות הרציונליות $F(x)$. שדה טורי החזקות הפורמליים מאפשר לחקור טורי חזקות שמופיעים באנליזה, או כאלו שמופיעים בקומבינטוריקה, בכלים אלגבריים.

על שדה טורי החזקות הפורמליים מוגדרת הערכה, $\nu (f)=\min\{i|a_{i}\neq 0\}$ (כאשר $f$ טור מהצורה לעיל). זוהי הערכה בדידה $\nu {:}F(\!(f)\!)\rightarrow \mathbb {Z}$, והשדה שלם ביחס אליה. חוג השלמים של ההערכה הוא חוג טורי טיילור $F[[x]]$ הכולל את הסכומים הפורמליים לעיל עם $N\geq 0$. אידיאל ההערכה, שהוא האידיאל המקסימלי היחיד, כולל את הסכומים הפורמליים עם $N>0$. לכן שדה השאריות הוא $F$.

משפטי מבנה

כאמור, $F(\!(x)\!)$ שלם ביחס להערכה הבדידה הטבעית שלו. משפט המבנה עבור שדות שלמים עם הערכה בדידה קובע שכל שדה עם הערכה בדידה, שהוא שלם ביחס אליה, וכך שהמאפיין של שדה השאריות שווה למאפיין של השדה עצמו, הוא שדה טורי חזקות פורמליים מעל תת-שדה F.

אם $u$ בעל הערכה 1, אז אפשר להציב את $u$ במקום $x$ בכל טור חזקות. באופן הזה, $u$ מגדיר אוטומורפיזם $f(x)\mapsto f(u)$. ב-1944 הוכיח Schilling שאוטומורפיזמים אלו מהווים את חבורת גלואה של $F(\!(x)\!)/F$ במלואה.

התורה מסדר ראשון של שדות טורי החזקות הפורמליים במאפיין אפס, ידועה מאז שנות ה-60 (Ax-Kochen, Ershov). על התורה במאפיין p אין יודעים אפילו אם היא בת-חישוב (decidable).

קישורים חיצוניים

• שדה טורי החזקות הפורמליים, באתר MathWorld (באנגלית)