קבוע גאוס

במתמטיקה, קבוע גאוס (מצוין באות G) מוגדר כהופכי של הממוצע האריתמטי-גאומטרי של 1 והשורש הריבועי של 2:

$G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots .$

הקבוע נקרא על שמו של קרל פרידריך גאוס, אשר גילה ב-30 במאי 1799 כי:

$G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}$

כך שמתקיים:

$G={\frac {1}{2\pi }}\beta \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)$

כאשר β מציינת את פונקציית בטא.

טרנסצנדנטיות

קבוע גאוס יכול לשמש להצגת פונקציית גמא עבור הארגומנט ¼:

$\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}$

כיוון ש-$\pi$ ו-$\Gamma ({\tfrac {1}{4}})$ הם בלתי תלויים אלגברית קבוע גאוס הוא מספר טרנסצנדנטי.

ייצוגים אחרים

ניתן להציג את קבוע גאוס באמצעות פונקציית תטא של יעקובי באופן הבא:

$G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })$

ניתן להציגו גם כסדרה מתכנסת:

$G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.$

וכן כמכפלה אינסופית:

$G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).$

ייצוגים נוספים של קבוע גאוס באמצעות אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות ופונקציות היפרבוליות:

$G=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}\,\mathrm {d} x$

${\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}$

קישורים חיצוניים

• קבוע גאוס, באתר MathWorld (באנגלית)
• קבוע גאוס באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים