קבוע אומגה

קבוע אומגה הוא קבוע מתמטי המסומן באות היוונית אומגה, המקיים:

$\Omega \,e^{\Omega }=1\,$

ערכו של הקבוע הוא בקירוב ...0.5671432904097838729999686622 . הוא מקיים את המשוואות

$e^{-\Omega }=\Omega \,$ וכן $\ln \Omega =-\Omega \,$.

עבור אינטואיציה גרפית נסתכל על הגרפים של הפונקציות $e^{x}$ ו ${\frac {1}{x}}$. בנקודת החיתוך שלהם ערכה של קואורדינטה $x$ הוא קבוע אומגה.

קבוע זה הוא הפתרון היחידי של (1)W כאשר W היא פונקציית W של למברט. שמו לקוח משמה הנוסף של פונקציה זו, פונקציית אומגה.

ניתן לבנות את קבוע אומגה בצורה איטרטיבית על ידי סדרת קירובים שמתחילה ב-Ω₀ כלשהו ומקיימת

$\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}\,$

הסדרה מתכנסת לקבוע אומגה כאשר n שואף לאינסוף. הגבול מתקיים כיוון שקבוע אומגה הוא נקודת שבת יציבה של הפונקציה $e^{-x}$.

בנייה אפקטיבית יותר היא

$\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}$

כיוון שלפונקציה

$f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}}$

יש אותה נקודת שבת אבל בנקודה זאת הנגזרת שווה ל-0, ולכן הסדרה שואפת לגבול הרבה יותר מהר (מספר הספרות הנכונות בערך מוכפל בכל איטרציה).

קבוע אומגה מקיים את הזהות:

$\Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\rm {d}}x}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\,$

תכונות

קבוע אומגה הוא אי-רציונלי. הוכחה: נניח בשלילה שהוא רציונלי, ואז קיימים p ו-q שלמים כך ש-

${\frac {p}{q}}=\Omega$

ואז

$1={\frac {pe^{\left({\frac {p}{q}}\right)}}{q}}$

$e=\left({\frac {q}{p}}\right)^{\left({\frac {q}{p}}\right)}={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}$

אבל e הוא מספר טרנסצנדנטי, ואילו הביטוי שאליו הגענו הוא שורש של פולינום בעל מקדמים רציונלים (ממעלה q) כלומר אלגברי. סתירה.

קבוע אומגה הוא גם טרנסצנדטי. כיוון שאילו הוא היה אלגברי אז לפי משפט לינדמן-ויירשטראס $\exp(\Omega )$ יהיה טרנסצנדטי וכך גם $\exp ^{-1}(\Omega )=-\Omega$, וזאת סתירה להנחה שקבוע אומגה אלגברי.

קישורים חיצוניים

• קבוע אומגה, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת הספרות העשרוניות של קבוע אומגה באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים