אי-תלות אלגברית

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית, תת-קבוצה $S$ של אלגברה $A$ נקראת בלתי-תלויה אלגברית מעל שדה הבסיס ${\mathbb {K}}$, אם לא קיים פולינום לא-טריוויאלי עם מקדמים מ-${\mathbb {K}}$ שמתאפס על ידי תת-קבוצה סופית של איברי $S$.
במילים אחרות, $S$ היא בלתי-תלויה אלגברית אם לכל $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in S$ ולכל פולינום $P\in {\mathbb {K}}[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ שאיננו פולינום האפס, מתקיים $P(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\neq 0$.

בפרט, קבוצה בת איבר אחד $\{\alpha \}$ היא בלתי-תלויה אלגברית מעל ${\mathbb {K}}$ אם ורק אם $\alpha$ הוא טרנסצנדנטי מעל ${\mathbb {K}}$. באופן כללי יותר, כל איבריה של קבוצה בלתי-תלויה אלגברית הם איברים טרנסצנדנטיים מעל ${\mathbb {K}}$, אך זהו בוודאי לא תנאי מספיק לכך.

לדוגמה, התת-קבוצה ${\bigl \{}{\sqrt {\pi }},2\pi +1{\bigr \}}$ של שדה המספרים הממשיים איננה בלתי-תלויה אלגברית מעל שדה המספרים הרציונליים, מכיוון שעבור הפולינום עם המקדמים הרציונליים

$P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$

מתקיים $P({\sqrt {\pi }},2\pi +1)=0$.

המספר הגדול ביותר של איברים בלתי-תלויים אלגברית נקרא דרגת הטרנסצנדנטיות של $A$ מעל ${\mathbb {K}}$.

השאלה האם הקבוצה $\{\pi ,e\}$ היא תלויה אלגברית מעל $\mathbb {Q}$ היא בעיה פתוחה במתמטיקה. ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה ${\bigl \{}\pi ,e^{\pi },\Gamma (0.25){\bigr \}}$ היא בלתי תלויה אלגברית מעל $\mathbb {Q}$.

משפט לינדמן-ויירשטראס

ערך מורחב – משפט לינדמן-ויירשטראס

לעיתים קרובות ניתן להשתמש במשפט לינדמן-ויירשטראס (על שמם של פרדיננד לינדמן וקארל ויירשטראס) כדי להוכיח כי קבוצה מסוימת היא בלתי-תלויה אלגברית מעל $\mathbb {Q}$.

לינדמן הוכיח ב-1882 כי ${\rm {e}}^{\alpha }$ הוא מספר טרנסצנדנטי לכל מספר אלגברי $\alpha \neq 0$.

ויירשטראס הוכיח ב-1885 את הגרסה הכללית יותר של המשפט, הטוענת כי אם $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ הם מספרים אלגבריים בלתי-תלויים ליניארית מעל $\mathbb {Q}$ אזי המספרים ${\rm {e}}^{\alpha _{1}},\ldots ,{\rm {e}}^{\alpha _{n}}$ הם בלתי-תלויים אלגברית מעל $\mathbb {Q}$.

ראו גם

• משפט הנורמליזציה של נתר

קישורים חיצוניים

• אי-תלות אלגברית, באתר MathWorld (באנגלית)