פאון משוכלל

חמשת הפאונים המשוכללים בגן המדע במכון ויצמן

בגאומטריה של המרחב, פֵּאוֹן משוכלל הוא גוף קמור המוגבל על ידי מצולעים משוכללים חופפים, כך שבכל קודקוד שלו נפגש מספר שווה של מקצועות ולכל פאה מספר שווה של פאות שצמודות לה. קיימים חמישה פאונים משוכללים: ארבעון, קובייה, תמניון, תריסרון ועשרימון; למרות שהשמות האלה (למעט קובייה) יכולים לציין פאונים לא משוכללים, בערך זה הם יתייחסו לפאונים המשוכללים בלבד.

חמשת הפאונים המשוכללים

הדגמה של יצירת תריסרון משוכלל מהפריסה שלו, ולאחר מכן, פריסתו מחדש.

חמשת הפאונים המשוכללים במרחב התלת-ממדי הם:

• ארבעון (טטרהדרון) – פאון משוכלל בעל 4 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה-צלעות (פירמידה משולשת).
• קובייה (הקסהדרון) – פאון משוכלל בעל 6 פאות שכל אחת מהן היא ריבוע.
• תמניון (אוקטהדרון) – פאון משוכלל בעל 8 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה-צלעות (שווה ערך לשתי פירמידות ריבועיות המחוברות בבסיסן).
• תריסרון (דודקהדרון) – פאון משוכלל בעל 12 פאות, שכל אחת מהן היא מחומש שווה-צלעות.
• עשרימון (איקוסהדרון) – פאון בעל 20 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה-צלעות.

גופים אלו מכונים גם "הגופים האפלטוניים" או "הגופים המשוכללים של אפלטון", וזאת משום שהם מוזכרים בדיאלוג האפלטוני טימאיוס, אם כי הם היו ידועים עוד לפני זמנו של אפלטון. התריסרון התגלה על ידי הפיתגוראים, שהכירו גם את יתר הגופים.

אוקלידס הראה בספרו "יסודות" איך לבנות את הגופים האלה והביא את הוכחתו של תאטטוס שאלה הפאונים המשוכללים היחידים בשלושה ממדים.

במרחב התלת־ממדי, לא ניתן לצור פאון ממשושים משוכללים, כי הצמדתם יוצרת בהכרח מישור

הסיבה לכך שחמשת אלו בלבד הם הפאונים המשוכללים האפשריים במרחב התלת־ממדי, היא העובדה שכל קודקוד של פאון כזה צריך להפגיש יותר משני קודקודים של מצולע משוכלל וליצור מהם משטח לא מישורי. קודקוד כזה של פאון, אפשר ליצור בחמש דרכים: הצמדת קודקודים של שלושה משולשים שווי צלעות (כמו בארבעון), הצמדת קודקודים של ארבעה משולשים שווי צלעות (כמו בתמניון), הצמדת קודקודיהם של חמישה משולשים שווי צלעות (כמו בעשרימון), הצמדת קודקודיהם של שלושה ריבועים (כמו בקובייה) והצמדת קודקודיהם של שלושה מחומשים (כמו בתריסרון). יצירת פאון שבכול קודקוד שלו יש יותר מחמישה קודקודים של משולשים שווי צלעות, אינה אפשרית כי שישה קודקודים כאלו יוצרים משטח מישורי לחלוטין ויותר משישה אינם ניתנים להצמדה. אותו הדין לגבי קודקודים של יותר משלושה ריבועים ויותר משלושה מחומשים משוכללים. לגבי מצולעים שיש להם יותר מחמש צלעות, שלושה משושים יוצרים מישור וקודקודיהם של שלושה מצולעים משוכללים עם כל מספר אחר של צלעות אינם ניתנים להצמדה.

חבורות הסימטריה של הפאונים המשוכללים הן $\ A_{4}$ (חבורת התמורות הזוגיות מסדר 4) לארבעון, $\ S_{4}$ (החבורה הסימטרית מסדר 4) לתמניון ולקוביה, ו-$\ A_{5}$ לדודקהדרון ולאיקוסהדרון.

בטבע ובטכנולוגיה

הפאונים המשוכללים כקוביות משחק

השימוש הטכנולוגי הכמעט יחידי בפאונים המשוכללים, בעיקר בקובייה, הוא ליצירת קוביות משחק. הפאונים המשוכללים מתאימים לשימוש זה, משום שקוביות כאלה תהיינה הוגנות – לכל פאה יהיה אותו סיכוי להופיע בהטלת הקובייה. הקוביות הסטנדרטיות של משחק התפקידים מבוכים ודרקונים הן חמשת הגופים המשוכללים בתוספת גוף אחד שאינו משוכלל, אף כי הוא מורכב מעשר פאות זהות: פאותיו מהוות דלתונים, ולא מצולעים משוכללים.

בטבע, ניתן למצוא פאונים משוכללים, בעיקר במבנים של מולקולות פשוטות, של גבישים ושל מעטפות חלבוניות של נגיפים. למולקולת האמוניה, למשל, יש צורה של טטראהדרון ולנגיף הפוליו יש מעטפת חלבונית בצורה של איקוסהדרון.

סִמליות

טימאוס מלוקרי, מראשוני הפיתגוראים, ערך התאמה מיסטית בין ארבעת הפאונים הראשונים ובין ארבעת היסודות שהיו מקובלים ביוון העתיקה (אש, אוויר, מים ואדמה). אפלטון, בדיאלוג טימאוס העוסק בקוסמולוגיה, אימץ התאמה שונה מעט: הוא שייך את הארבעון לאש, את הקובייה לאדמה, את התמניון לאוויר ואת העשרימון למים, וקישר את התריסרון לגלגל המזלות – כשם שלתריסרון יש 12 פאות, כך בשמיים יש 12 מזלות. להשלמת ההקבלה הוסיף מאוחר יותר אריסטו יסוד חמישי לרשימה, אתר.

פאצ'ולי, בחיבורו על הפרופורציה האלוהית, קישר את התריסרון ליסוד החמישי, וקישר בינו לבין יחס הזהב, הלא הוא "הפרופורציה האלוהית".

כמעט אלפיים שנה מאוחר יותר, בסוף המאה ה-16, קישר יוהאנס קפלר את הגופים המשוכללים לכוכבי הלכת שהיו ידועים אז (מלבד כדור הארץ): כוכב חמה, נוגה, מאדים, צדק ושבתאי, כשהציע שהיחסים בין הגופים המשוכללים החוסמים את אותו כדור, קובעים את המרחקים היחסיים של כוכבי הלכת אל השמש, הצעה שהתגלתה לימים כשגויה.

פאונים בממד כלשהו

את ההגדרה הגאומטרית שהובאה בראש הערך אפשר לנסח גם מנקודת המבט של הסימטריות, התקפה בכל ממד. פאון רגולרי (או משוכלל) הוא פאון שחבורת הסימטריות שלו פועלת טרנזיטיבית על הדגלים המקסימליים (כלומר השרשראות הכוללות נקודה, צלע העוברת דרכה, פאה העוברת דרך הצלע, וכן הלאה עד לגוף הפאון עצמו). יש ארבע משפחות אינסופיות של פאונים רגולריים:

• המצולעים המשוכללים (כולם מממד 2),
• הסימפלקסים ה-n-ממדיים (בכל ממד),
• הקוביה ה-n-ממדית (בכל ממד),
• התמניון ה-n-ממדי (בכל ממד).

יש רק חמישה פאונים רגולריים נוספים: הדודקהדרון והאיקוסהדרון שהוזכרו לעיל בממד 3, ועוד שלושה גופים במרחב הארבעה ממדי. בפרט, בכל ממד גדול מארבע יש בדיוק שלושה פאונים רגולריים.

שלושת הפאונים הרגולריים במרחב הארבעה ממדי הם:

• האוֹקְטַפְּלֶקְס, בעל 24 תאים אוקטהדריים, 96 פאות משולשות, 96 מקצועות ו-24 קודקודים;
• גוף בעל 600 תאים טטראדריים, 1,200 פאות משולשות, 720 מקצועות ו-120 קודקודים;
• גוף בעל 120 תאים דודקהדרוניים, 720 פאות מחומשות, 1,200 מקצועות ו-600 קודקודים.

האוקטפלקס דואלי לעצמו, ושני הגופים האחרים דואליים זה לזה.

ראו גם

• פאון חצי-משוכלל

קישורים חיצוניים

• סבינה סגרה, התריסרון המעוין – כתבה אינטראקטיבית, באתר מכון דוידסון, פברואר 2015
• פאון משוכלל, באתר MathWorld (באנגלית)
• פאון משוכלל, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)