סימטריה סיבובית

סימטריה סיבובית, הידועה גם כסימטריה רדיאלית בגאומטריה, היא התכונה שיש לצורה כשהיא נראית זהה לאחר סיבוב חלקי כלשהו. מידת הסימטריה הסיבובית של אובייקט היא מספר האוריינטציות שבהן הוא נראה זהה.

אובייקטים גאומטריים מסוימים הם סימטריים כשהם מסובבים בזוויות מסוימות, כגון ריבועים המסובבים ב-90 מעלות. אולם העצמים הגאומטריים היחידים שהם סימטריים באופן סיבובי מלא בכל זווית הם כדורים, עיגולים וספרואידים אחרים.^[1]^[2]^[3]

טיפול פורמלי

באופן פורמלי הסימטריה הסיבובית היא סימטריה ביחס לחלק מהסיבובים או לכל הסיבובים במרחב האוקלידי ה- $n$ ממדי. סיבובים הם איזומטריות ישירות, כלומר איזומטריות שומרות על אוריינטציה. לכן, חבורת הסימטריה של הסימטריה הסיבובית היא תת-קבוצה של $E + (n)$ (ראה חבורה אוקלידית (אנ')).

במקרה של סימטריה סיבובית ביחס לנקודה כלשהי, ניתן לבחור בנקודה זו כראשית הצירים. בחירה זו מאפשרת ניתוח פשוט יותר של תכונות הסימטריה של המערכת. סיבובים אלה יוצרים את החבורה האורתוגונלית המיוחדת $SO(n)$ , קבוצת המטריצות האורתוגונליות $n \times n$ עם דטרמיננטה 1. עבור $n = 3$ זו חבורת הסיבוב (3)SO.

חוקי הפיזיקה הם אינווריאנטים לטרנספורמציות SO(3) אם הם אינם מבחינים בין כיוונים שונים במרחב. בגלל משפט נתר, הסימטריה הסיבובית של מערכת פיזיקלית שקולה לחוק שימור התנע הזוויתי.

סימטריה סיבובית בדידה

סימטריה סיבובית מסדר $n$ , הנקראת גם סימטריה סיבובית בדידה מסדר $n$ , ביחס לנקודה מסוימת (בשני ממדים) או לציר (בשלושה ממדים) פירושה שסיבוב בזווית של ${\frac {360^{\circ }}{n}}$ (180°, 120°, 90°, 72°, 60° וכו') אינו משנה את האובייקט. סימטריה סיבובית מסדר 1 אינה נחשבת סימטריה, היות שכל האובייקטים נראים זהים לאחר סיבוב של 360°.

הסימון של סימטריה סיבובית מסדר $n$ הוא $C n$ . חבורת הסימטריה בפועל מוגדרת על ידי ציר הסימטריה, והערך של $n$ . לכל ציר סימטריה, חבורת הסימטריה איזומורפית ל חבורה הציקלית מסדר $n$ , ‏ $Z n$ .

התחום היסודי הוא גזרה של ${\frac {360^{\circ }}{n}}$ .

דוגמאות ללא סימטריית שיקוף נוספת:

$n = 2$ , 180°: האותיות Z, N, S; קווי המתאר ללא הצבעים, של סמל היין ויאנג; דגל האיחוד הגדול (מחולק לאורך האלכסון של הדגל ומסובב סביב נקודת מרכז הדגל)
$n = 3$ , 120°: טבעות בורומאיות, טריסקל
$n = 4$ , 90°: צלב קרס
$n = 6$ , 60°: מגן דוד (מתאפיין גם בסימטרית שיקוף סביב שישה צירים)
$n = 8$ , 45°: מוקרנס אוקטגונליים.

$C n$ היא חבורת הסיבוב של מצולע משוכלל בעל n-צלעות בשני ממדים, ושל פירמידה ישרה בת n-פאות בתלת-ממד.

מדחף הוא אובייקט תלת־ממדי עם סימטריה סיבובית אך ללא סימטרית שיקוף .

דוגמאות

$C_{2}$	$C_{3}$	$C_{4}$	$C_{5}$	$C_{6}$
פרקטל מטוטלת כפולה	תמרור מעגל תנועה		סמל חגיגות ה-200 של ארצות הברית
מצב הפתיחה במשחק shogi	קרנות משולבות^[4]

צירי סימטריה מרובים דרך אותה נקודה

קיימות מספר אפשרויות לסימטריה בדידה, הכוללת מספר צירי סימטריה דרך אותה נקודה:

בנוסף לציר סיבוב מסדר $n$ , $n$ צירים מאונכים מסדר 2: החבורה הדיהדרלית $D n$ מסדר $2 n$ ( $n \geq 2$ ). זוהי קבוצת הסיבוב של מנסרה משוכללת, או פירמידה כפולה (אנ') משוכללת.
צירים מסדר 4×3 ומסדר 3×2: חבורת הסיבוב $T$ מסדר 12 של טטראדר משוכלל. החבורה איזומורפית לחבורת התמורות הזוגיות $A 4$ .
צירים 3×4, 4×3 ו-6×2: חבורת הסיבוב $O$ מסדר 24 של קובייה ואוקטהדרון משוכלל. החבורה איזומורפית לחבורה הסימטרית $S 4$ .
צירים מסדר 6×5, 10×3 ו-15×2: חבורת הסיבוב $I$ מסדר 60 של דודקהדרון ואיקוסהדרון. החבורה איזומורפית לחבורת התמורות הזוגיות $A 5$ . החבורה מכילה 10 גרסאות של $D 3$ ו-6 גרסאות של $D 5$ (סימטריות סיבוביות כמו מנסרות ואנטי פריזמות).

במקרה של הפאונים המשוכללים, הצירים הכפולים נמצאים דרך נקודות האמצע של קצוות מנוגדים, ומספרם הוא מחצית ממספר הקצוות. הצירים האחרים עוברים דרך קודקודים מנוגדים ודרך מרכזיהן של פאות מנוגדות, למעט במקרה של הטטראדר, כאשר כל אחד מארבעת הצירים מחבר קודקוד ומרכז הפאה הנגדית.

סימטריה סיבובית ביחס לכל זווית

סימטריה סיבובית ביחס לכל זווית היא, בשני ממדים, סימטריה מעגלית.

בתלת־ממד נוכל להבחין בין סימטריה גלילית וסימטריה כדורית. בסימטריה גלילית אין תלות בזווית $\varphi$ - בייצוג $(\rho ,\varphi ,z)$ של קואורדינטות גליליות. סופגניה (טורוס) או חרוט הם דוגמאות לגופים בעלי סימטריה גלילית. בסימטריה כדורית, אין תלוית בזוויות $\varphi$ ו $\theta$ - בייצוג של קואורדינטות כדוריות, $(r,\theta ,\varphi )$ . דוגמה לגוף בעל סימטריה כדורית (בקירוב) הוא כדור הארץ (בהתייחס לצפיפות ותכונות פיזיקליות וכימיות אחרות).