לדלג לתוכן

משפט נתר (פיזיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט נֶתֶר הוא משפט בפיזיקה תאורטית הקושר בין סימטריות של מערכת פיזיקלית וחוקי שימור שהיא מקיימת. כך למשל, חוק שימור התנע נובע מסימטריה של מערכת להזזות (כלומר התנע נשמר כאשר מאפייני המערכת אינם תלויים במיקומה). המשפט קרוי על שם המתמטיקאית אֶמִי נֶתֶר, שהוכיחה אותו במהלך מחקר בעיות בחוק שימור האנרגיה בתורת היחסות הכללית. המשפט והוכחתו פורסמו במאמר בשנת 1918.

ניסוח פורמלי

[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לנסח את משפט נתר באופן הבא:

עבור כל סימטריה רציפהגזירה) של הפעולה, קיים גודל שמור, וכן כל גודל שמור מתקבל מאיזשהי סימטריה של הפעולה.[1]

ניסוח מתמטי:

בהינתן לגראנז'יאן , נניח שהפעולה
אינווריאנטית תחת טרנספורמציה התלויה באופן רציף וגזיר בפרמטר על ידי:
.
כאשר
אזי קיים זרם שמור המקיים משוואת רציפות .
הזרם נתון על ידי

כאשר g היא המטריקה ו- היא דלתא של קרונקר.
מזרם זה ניתן לקבל את המטען השמור המקיים
.[2]

הגודל נקרא טנזור צפיפות המאמץ-אנרגיה ועל ידי ביצוע סימטריזציה שלו אפשר לקבל את טנזור המאמץ-אנרגיה היחסותי .

במכניקת הקוונטים, בה משוואת שרדינגר תלויה בהמילטוניאן, מקבל משפט נתר את הצורה הבאה:

תהי טרנפורמציה אוניטרית רציפה, המוגדרת באמצעות האופרטור G, יוצר הטרנספורמציה:

T היא סימטריה של המערכת (כלומר, ) אם ורק אם G הוא קבוע (בזמן) של התנועה.

התנאי שקול לתנאי . השוויון נכון גם לכל סדר בפיתוח טיילור של האופרטור ב־, ובפרט לסדר הראשון:

בעזרת קיבוץ איברים מתקבל השוויון:

השקול לתנאי:

אבל, מאחר שההמילטוניאן הוא יוצר של ההתקדמות בזמן,

ולכן,

כלומר, G הוא קבוע של התנועה.

בעזרת משפט נתר ניתן לקבל את חוקי השימור הבאים:

ועוד חוקי שימור נוספים, כגון חוקי שימור של המספר הבריוני והלפטוני.

חשיבות המשפט

[עריכת קוד מקור | עריכה]

למשפט נתר חשיבות גדולה בפיזיקה תאורטית. המשפט קושר בין כל חוקי השימור הפיזיקליים (כולם נובעים בעצם מאותה סיבה בסיסית - סימטריה). יתירה מזו, חוקי השימור הבסיסיים והחשובים (אנרגיה, תנע, תנע זוויתי) נובעים בעצם מהנחות מאוד בסיסיות ואינטואיטיביות - ההומוגניות והאיזוטרופיות של חוקי הפיזיקה, כלומר ההנחה שחוקי הפיזיקה אינם תלויים בזמן ובמרחב, ואותם חוקים התקפים כאן ועכשיו יהיו תקפים גם בעוד מיליוני שנים וגם בגלקסיות רחוקות.

קישורים חיצוניים

[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים

[עריכת קוד מקור | עריכה]
  1. ^ יש לציין כי זהו ניסוח פשטני שבדרך כלל נמצא בשימוש בפיזיקה. הניסוח המקורי של המשפט כולל הבחנה בין חבורות סימטריה סופיות ואינסופיות.
  2. ^ הניסוח המתמטי מתאים ללגראנז'יאן של שדה. עבור לגראנז'יאן ופעולה הגודל השמור הוא פשוט