משתמש:Avneref/ויקיפדיה/גרסות שלי/מרחב-זמן

בפיזיקה, מרחב-זמן או רצף מרחב-זמן הוא המרחב הארבעה-ממדי, שנהוג לייצגו על ידי מערכת של קואורדינטות מרחביות וקואורדינטת זמן, שכל נקודה בה מציינת אירוע המתרחש במקום ובזמן מסוימים^[1]. לעתים נקרא גם מרחב מינקובסקי, על שם המתמטיקאי הרמן מינקובסקי, שהציע ב-1907 את הרעיון והמודל המתמטי הראשון של מרחב-זמן.

המרחב-זמן הוא אחד הביטויים הבולטים להבדל בין התפיסה המכנית קלאסית, הרואה בזמן ובמרחב ממדים נפרדים ובלתי תלויים, לבין התפיסה היחסותית, הרואה בזמן ובמרחב גדלים הקשורים זה בזה, ותלויים בתנועה היחסית של הצופה והאובייקט הנצפה, ובהשפעת שדות גרביטציה.

השימוש במודל המרחב-זמן איפשר את המעבר מהייצוג הסטטי והרגעי של אירועים, המאפיין את המרחב התלת-ממדי, לייצוג משוכלל יותר, המעניק תיאור רציף ושלם של היקום המתפתח^[2]. מעבר לכך, הגאומטריה והמטריקה של המרחב-זמן היוו כלי מרכזי להבנת, הפשטת והעברת רעיונות יסוד בתורת היחסות הפרטית והכללית, כמו גם לפיתוחם של הללו ושל תאוריות אחרות העוסקות ברמת המיקרו והמקרו של היקום. רעיון המרחב-זמן לא רק הצליח להמחיש את קביעותיה של תורת היחסות, ובייחוד את ההשקפה שמרחב וזמן הם שתי פנים של ישות אחת, אלא גם שינה את ההשקפה על היקום בהעניקו לזירת האירועים עצמה גוף ו'חיים'; תפיסה זו עולה מן המחקרים המוקדמים של המרחב-זמן, אך ביתר שאת ממודל המרחב-זמן הכבידתי שהציגה תורת היחסות הכללית. תחת מרחב סטטי, שהוא המקום בו דברים נמצאים ואשר 'אינו עושה כלום', נעשה מעבר לזירה דינמית יותר: מרחב-זמן המנחה את תנועת החומר והאנרגיה, שתצורתו נקבעת על ידי החומר והאנרגיה, ואשר לפי הקוסמולוגיה בת ימינו נוצר במפץ הגדול.
במהלך המאה העשרים, עם השתרשות תורת היחסות, חדר מושג המרחב-זמן לתחומים שונים של הפיזיקה, ואף החל לשמש כשם כללי למארג היקום או ה'עולם שלנו'.

הופעת המושג

בקוסמולוגיה של בני האינקה, כמו גם בזו של ילידי האנדים שתרבותם הושפעה מזו של בני האינקה, הזמן והמרחב נתפסים כישות אחת המכונה פאצ'ה (בשפת קצ'ואה ושפת איימרה), כאשר המושג משמש הן להתייחסות ליקום כולו, הנתפס כמערכת מאוחדת אחת, והן להתייחסות לרגע במציאות - 'אירוע עולמי'^[3]. ככל הידוע זוהי התפיסה הרעיונית המוקדמת ביותר של המרחב והזמן כאחדות. אזכורים מוכרים של רעיונות משיקים, בתרבות המערב, החלו להופיע רק למן המאה ה-18, כאשר המוקדמים שבהם נעשו במסגרת מדעית. בכתבים פילוסופיים ובדיוניים מערביים קיימות כמה התייחסויות לרעיון זה, מן המאה ה-19, שהרקע להן הוא העיסוק בסובייקטיביות למול ממשות, בגבולי ההכרה ומעמדן המעורער של קטגוריות התבונה האופייני לתקופה. ההתייחסות המוכרת הראשונה מופיעה במאמר של הפילוסוף הגרמני ארתור שופנהאואר, מ-1813, הנושא את השם "על השורש הארבעה-ראשי של עקרון הטעם המספיק". מאמרו של שופנהאואר מהווה מעין המשך לוויכוח הפילוסופי המוכר שהתנהל בין גוטפריד וילהלם לייבניץ לסמואל קלארק לגבי מוחלטות המרחב והזמן, אף שמסקנותיו שונות. במאמר טוען שופנהאואר כי יש לשלב את מושגי הזמן והמרחב, כדי לייצג באופן שלם את העולם: "לא ניתן לייצג את הקיום המאוחד רק באמצעות הזמן; מאחר שבזמן לבדו כלל הדברים עוקבים, ובמרחב לבדו כלל הדברים מצויים זה לצד זה; מכך נגזר כי רק משילוב הזמן והמרחב עולה האפשרות לייצוג הקיום המאוחד". התייחסות מוקדמת אחרת לרעיון המרחב-זמן הופיעה בשנת 1848, במאמר "אאורקה", משל אדגר אלן פו, העוסק בקוסמולוגיה; במאמר טוען פו לאחדות המרחב והזמן, בקבעו כי "מרחב ומשך חד הם".
ההתייחסות המוקדמת ביותר לרעיונות דומים, במסגרת הספרות הבדיונית, הופיעה בשנת 1895, בספר מדע בדיוני של הרברט ג'ורג' ולס, מכונת הזמן: "אין כל הבדל בין הזמן וכל אחד משלושת מממדי המרחב, למעט זאת שההכרה שלנו נעה לאורכו," קובע הנוסע בזמן בספרו של ולס, ומוסיף, "לכל גוף ממשי חייבת להיות הרחבה בארבעה כיוונים: חייב להיות לו אורך, רוחב, עובי, ומשך".
במהלך המאה העשרים, עם הפיתוח הפיזיקלי והמתמטי של המרחב-זמן (ראו סקירה להלן), נפוצו בשדה הפילוסופיה והאומנות, יותר ויותר התייחסויות למושג זה ולהשלכותיו, כאשר אלו תואמים יותר ויותר את המהפכה בתפיסה המדעית אשר הולידה אותו.

מרחב-זמן כמושג מתמטי ופיזיקלי

בשלהי המאה התשע עשרה ובתחילת המאה העשרים, החלה להתערער התפיסה הפיזיקלית הקלאסית מודרנית של הזמן והמרחב כשני גדלים נפרדים, ומושגי המרחב והזמן החלו לאבד את מוחלטותם. תורת היחסות, תאוריית הדגל של מהפכה מדעית זו, לא רק הצביעה על כך שגדלים אלה אינם מוחלטים, תלויים בצופה המודד אותם ומשתנים ממערכת ייחוס אחת למשנה, אלא גם על כך שהם משולבים ותלויים זה בזה. המרחב-זמן כמושג, רעיון וכלי מתמטי מדעי פותח במסגרת חקירתה וגיבושה של תפיסה מדעית זו, אך להופעתו בזירה המדעית קיימות כמה הטרמות. ההתייחסות הראשונה לרעיון המרחב-זמן כמושג מתמטי הופיעה בשנת 1754, בערך "ממד" מן האנציקלופדיה הגדולה, שנכתב על ידי ז'אן לה רון ד'אלמבר. התייחסות מוקדמת אחרת נמצאת בכתבים של ז'וזף לואי לגראנז' העוסקים במכניקה אנליטית ומציגים את הרעיון כי "ניתן להתבונן במכניקה כבגאומטריה של ארבעה ממדים, ובמכניקה אנליטית כבהרחבה של גאומטריה אנליטית"^[4]. את הקווטרניונים, מערכות המספרים שהמציא ויליאם רואן המילטון בשנת 1843, ראה המילטון ממציאם כיישויות המאופיינות בממדים מעורבים של מרחב וזמן^[5]. אלגברת הקווטרניונים של המילטון, שמאפייניה האלגבריים מספיקים לבניית מודל מרחב-זמן ולאיפיון הסימטריה שלו, הופיעה בזירה המדעית כמחצית המאה לפני הניסוח הפורמלי של תורת היחסות, ופיתוחים שלה משמשים עד היום בתחשיבים ותיאורים מדעיים שונים. עם זאת, בתקופתו של המילטון, נותרו הקווטרניונים בגדר כלי פיזיקלי-מתמטי שנוי במחלוקת שמשמעותו לא הובנה לעומקה. תקדים חשוב אחר לשילוב ממדי המרחב והזמן מופיע במחקר של ג'יימס קלרק מקסוול, משלהי המאה ה-19, העושה שימוש במשוואות דיפרנציאליות חלקיות לפיתוח אלקטרודינמיקה המתייחסת לארבעת הממדים. הישגיו של מקסוול בתחום היוו השראה להתפתחויות המדעיות הבאות ולהתגבשותה המואצת של תפיסה חדשה של המרחב והזמן, ולידת מושג המרחב-זמן המוכר לנו. כהמשך לעבודתו של מקסוול, גילה הנדריק לורנץ מספר אינווריאנטים (גדלים הנשמרים תחת טרנספורמציות) של משוואות מקסוול, שלימים הפכו לבסיס תורת היחסות הפרטית של איינשטיין. עבודתם של לורנץ ושל אנרי פואנקרה ממשיכו, הייתה קרובה מאוד לגילוי תורת היחסות הפרטית, אך הקושי שלהם לקבל את יחסיות הזמן (לוותר על הבו-זמניות במערכות ייחוס) מנע מהם את פיתוחה^[6]. תורת היחסות הפרטית הוצעה בסופו של דבר ב-1905 על ידי אלברט איינשטיין, אך על אף שהמרחב-זמן מצטייר לא-פעם כחלק ממנה, הוא למעשה תולדה מעט מאוחרת שלה.

מרחב-זמן יחסותי

מודל המרחב-זמן היחסותי הוצע במפורש רק ב-1908, במאמר המפתח ומרחיב את עבודתו של איינשטיין, שנכתב על ידי מורו, המתמטיקאי הרמן מינקובסקי^[7]. המודל המתמטי שהציע ובחן מינקובסקי ב-1908 הוא המחקר המפורש המוקדם ביותר העוסק בממדי המרחב והזמן כאספקטים של שלם אחדותי. את המודל הציע מינקובסקי בתחילה כניסוח מחודש למשוואות מקסוול ומאוחר יותר מתוך התייחסות לתורת היחסות הפרטית.

המודל המתמטי-גאומטרי של מינקובסקי מבטא את הקישוריות בין ממדי המרחב והזמן בשלבו אותם למערכת אחת. זהו מרחב מתמטי הנפרש על ידי קואורדינטות שקולות של מרחב וזמן כאחת^[8], בו כל נקודה מייצגת אירוע מרחבי-זמני מסוים, וכל קו מייצג השתלשלות אירועים אפשרית. מאחר שקל ויעיל לאפיין אירוע פיזיקלי במונחים של מקום וזמן, זהו כלי נוח להצגה וחקירה של אירועים, כמו גם של מרחב האירועים עצמו. באמצעות דיאגרמות שונות של מרחב-זמן הצליח מינקובסקי לבחון ולהמחיש אספקטים יחסותיים שונים. הרעיון של מינקובסקי הוביל בעצם לתפיסת תורת היחסות הפרטית בצורה גאומטרית יותר, ובכך העניק מובן גאומטרי לממצאים אמפיריים ותאורטיים שונים, כגון טרנספורמציות לורנץ, והשפיע לא מעט על התפתחות המדע. למעשה, ניתן לומר כי גאומטריית המרחב-זמן שהציע מינקובסקי תרמה משמעותית לפיתוח תורת היחסות הכללית, מאחר שאת התיאור המדויק של השפעת הגרביטציה על המרחב ועל הזמן - נושא המחקר המרכזי של תורת היחסות הכללית - פשוט יותר להמחיש ולהציג כ'עיקום' או כ'עיוות' במארג הגאומטרי של המרחב-זמן. ככלל, ניתן לראות בתורת היחסות הכללית מחקר מעמיק של המרחב-זמן. מודל המרחב-זמן שהציגה תורת היחסות הכללית מהווה שכלול של מרחב-זמן מינקובסקי; זהו מרחב לא-שטוח ודינמי, המתאפיין בעקמומיות ועיוותים שהם תוצא של פיזור המסה והאנרגיה בו^[9]. מודל מתמטי זה מעמיד 'עולם' בו הממדים ארוגים זה בזה לרצף יחיד; בו לא רק הממדים מהווים רצף, אלא גם עולם התופעות הפיזיקליות עצמו מהווה רצף. זוהי יריעה דינמית, רציפה ושלמה של אירועים, בלא 'חורים', שבה כל אירוע מוקף באופן מלא באירועים 'שכנים', ממומשים או לפחות אפשריים^[10] - מארג עולם אחד, שלכל האירועים שבו יש "היטלים" על כל אחד מארבעת הממדים שלו ^[11].

מושגי יסוד

באופן כללי המרחב-זמן הוא המרחב הארבעה-ממדי, המהווה את זירת ההתרחשות של אירועים פיזיקליים. בדומה לתפיסת קו כאוסף כל הנקודות המאורגנות ברצף פורמלי מסוים ליצירתו, ניתן לראות במרחב-זמן כאוסף כל האירועים הפיזיקליים, ממשיים או אפשריים, המאורגן בצורה פורמלית ליריעה אחת - מרחב שלם ורציף, שכל נקודה בו מציינת אירוע מרחבי-זמני מסוים, ואשר ברמות מקומיות ניתן לתארו באמצעות מערכת קואורדינטות.

המרחב-זמן עצמו אינו תלוי בנקודת המבט של הצופה, אך ייצוגו של המרחב נתון לבחירת הצופה. לכן, לשם ייצוג או חקירה של התרחשות פיזיקלית, נוכל לבחור במודל המרחב-זמן הנוח לנו - מודל המיוצג על ידי מערכת הקואורדינטות המרחבית-זמנית הנוחה לנו, ואשר מייצג את מערכת הייחוס הנוחה לנו.

הגאומטריה של המרחב-זמן משתנה בנוכחות מסה ותחת השפעת תאוצה וסיבוב, לכן, כדי להבין את מבנהו ותכונותיו של מרחב-הזמן, מוטב תחילה להתייחס למרחב-זמן שנהוג לראותו כמרחב תורת היחסות הפרטית - המרחב-זמן המצטייר מתוך התייחסות למערכות אינרציאליות בלבד (תנועות במהירויות קבועות). רכיבי המרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית קבועים בכל מערכת ייחוס; אין זה מרחב אוקלידי, אך ציריו נותרים ישרים, ועל כן הוא מהווה מרחב שטוח^[12], הומוגני (זהה בכל מקום-זמן) ואיזוטרופי (אין בו כיוון "מועדף")^[13]. נהוג לכנות מרחב זה בשם מרחב פסאודו-אוקלידי או מרחב מינקובסקי. כדי להמחיש את תכונותיו של המרחב-זמן הארבעה-ממדי נהוג להשתמש בתרשימים בהם צירי המרחב מיוצגים על ידי שני צירים או ציר יחיד. דיאגרמות מעין אלו שימשו את מינקובסקי במחקרו, וידועות בשמות דיאגרמות מינקובסקי או דיאגרמות מרחב-זמן.

מערכת קואורדינטות ארבע-ממדית

בניית מודל גאומטרי ארבעה-ממדי של מרחב-זמן, באמצעות מערכת קואורדינטות קרטזיות (ניתן לבחור במערכת קואורדינטות אחרת), נעשית על ידי הוספה של ציר זמן לשלושת הצירים המרחביים. כדי שהיחס בין הצירים השונים יהיה פשוט וסימטרי (מרחק זהה על כל ציר ייצג גודל זהה) וכך גם הגדלים במרחב, מוטב לבחור בקואורדינטות בעלות אותם ממדים. אם בחרנו ביחידות אורך (הבחירה הפשוטה יותר), נאחד את כלל הצירים על ידי שימוש באותה יחידת מרחק, גם בציר הזמן.
ההמרה של יחידות זמן למרחק נעשית על ידי הכפלה של יחידות הזמן במהירות; מאחר שמהירות האור היא גודל קבוע בכל מערכת, משתמשים בה להמרה, ומציגים את יחידות הציר הרביעי (ציר הזמן) כיחידות ct^[14], כאשר c היא מהירות האור בריק. כעת, להשלמת ההאחדה, נותר רק להתאים ספציפית את יחידות ct ליחידת המרחק המסוימת בה בחרנו. לדוגמה, אם בחרנו ביחידת מרחק שהיא קילומטר, כל יחידת ct תייצג גם היא קילומטר, כאשר כיחידת זמן (t) ישמש הזמן שהאור עובר מרחק של קילומטר. במצב זה, יחידות ציר ct עשויות עדיין להיקרא יחידות זמן, מאחר שניתן להתבונן בהן כיחידות זמן שהוכפלו בסקלר. עם זאת במרחב-זמן ניתן למצוא גם קריאה רעיונית להסתפק ביחידת מידה אחת, של מרחק או של זמן, ולבטא מרחקים וזמנים באמצעות הגודל המשותף לכלל הצופים, הוא מהירות האור בריק^[15].

ישויות גאומטריות

קווי עולם בתרשים מרחב-זמן מצומצם. מסלול L1 מתאר גוף הנמצא במנוחה; מסלול L2 מתאר גוף הנע במהירות קבועה; מסלול L3 מתאר גוף במנוחה המתחיל בנקודת זמן מסוימת לנוע בתאוצה.

נקודת עולם - נקודה במרחב-זמן - היא רביעיה מסוימת של קואורדינטות (x, y, z, ct) אשר מייצגת אירוע רגעי מסוים, מרחבי וזמני. זהו גודל פיזיקלי בעל כיוון - וקטור ארבעה ממדי (4-וקטור), המכונה וקטור המקום או וקטור המאורע. לשם נוחות, ניתן לאגד את הקואורדינטות המרחביות לגודל אחד - ${\vec {r}}$ - הוא וקטור המקום התלת-ממדי, ולציין נקודת עולם באמצעות ( ${\vec {r}},ct$ ).

נקודות שונות במרחב-זמן יציינו אירועים שונים. אם הקואורדינטות המרחביות של אירועים שונים זהות, אך קואורדינטת הזמן שונה, משמעות הדבר היא שהאירועים התרחשו באותו מקום אך בזמנים שונים.

במקרה בו הקואורדינטות המרחביות של אירועים שונים אין זהות אך קואורדינטת הזמן זהה, משמעות הדבר היא שהאירועים התרחשו בו-זמנית אך במקומות שונים.

קו עולם או מסלול עולמי - קו במרחב-זמן - התקדמות מנקודה אחת לשנייה - מייצג באופן כללי אוסף מאורעות. כאשר מדובר במאורעות המתייחסים לגוף יחיד, קו עולם יציין מאורעות עוקבים, ובעצם את ההיסטוריה של הגוף - המסלול העולמי שלו. אופי הקו מעיד על אופי ההתרחשות:

- קו ישר המקביל לציר הזמן משמעו סדרת אירועים עוקבים המתרחשת באותו מקום - ללא שינוי מרחבי - ולכן מתאר גוף הנמצא במנוחה;

- קו ישר שאינו מקביל לציר הזמן מתאר גוף הנע במהירות קבועה;

- קו עקום מתאר גוף הנע במהירות משתנה, כלומר נמצא בתאוצה. העקמומיות של קו-העולם של גוף מייצגת את מהירותו של הגוף. זווית גדולה יותר בין קו-העולם לבין ציר הזמן משמעה מהירות גדולה יותר. גוף הנע במהירות האור (ורק חלקיקים שמסת המנוחה שלהם היא אפס מסוגלים לכך) מיוצג על ידי קו בזוית של 45⁰ (כלומר, בשיפוע השווה ל-1), וזוית זו היא החסם העליון של הזויות האפשריות של קוי-העולם.

גופים מורכבים - במרחב-זמן ייצוג גופים מורכבים (אלומות אור או גופים המורכבים מחלקיקים בעלי מסה) יכול להיעשות באמצעות אוסף קווי העולם של רכיביהם האלמנטרים. אולם פיזיקאים מעדיפים להתייחס לגופים שכאלו כאל חלקיקים, או שדות, ולשרטט את מסלולם העולמי מתוך התייחסות למרכז המסה שלהם. אוסף אירועים, או קווי עולם, המהווים משטח דו-ממדי, מכונים יריעת עולם.

מרחב-זמן ומערכות ייחוס

לפי עקרון היחסות, אין מערכת ייחוס מועדפת, וכדי לתאר מאורע או אוסף של מאורעות, ניתן לבחור בכל מערכת ייחוס. על כן, בדרך כלל בוחרים את המערכת שבה התיאור של המאורעות הוא הפשוט ביותר מבחינה מתמטית. מערכת המוגדרת כך, שצופה נמצא בה בנקודה שרביעית הקואורדינטות שלה קבועות, מכונה "מערכת המנוחה של הצופה". מדידה של זמן ושל מקום המאפיינים אירוע מסוים, במערכות אינרציאליות שונות, תניב תוצאות שונות, להוציא מדידה של מהירות האור. הקשר בין הגדלים שמודדים צופים שונים הוא תוצא של המהירות היחסית בין המערכות האינרציאליות, ומבוטא במשוואות של טרנספורמציות לורנץ, הקושרות בין הזמן והמרחב. מאותה סיבה, המרחב-זמן נראה שונה במערכות ייחוס שונות; לכל צופה, צירי המערכת נראים שונים, וכך גם קוי-העולם של אותו גוף במערכות שונות. לדוגמה: מסלול קרן אור העובר דרך ראשית הצירים, כמוצג בתרשים משמאל. הצירים של מערכת הצופה הראשונה (המערכת שציריה הם ct ו-x) נבדלים מאלו של מערכת הצופה השנייה (המערכת שציריה הם 'ct ו-'x), על אף שמהירות הקרן זהה בשתי המערכות. דיאגרמה זו ממחישה באופן גאומטרי את הקשר בין מערכות ייחוס אינרציאליות^[16]; במובן זה, האפקטים המוכרים של תורת היחסות, התכווצות האורך והתארכות הזמן, הם שינויים גאומטריים במרחב-זמן^[17].

הניסוח המתמטי של פוסטולט האינוואריאנטיות של מהירות האור לתנועה חד-ממדית הוא:

\ {\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {\Delta x'}{\Delta t'}}={\frac {\Delta x''}{\Delta t''}}=c

ולכן, בהתייחס למסלול קרן אור בשתי מערכות אינרציאליות:

\ {\frac {\Delta x}{c\Delta t}}={\frac {\Delta x'}{c\Delta t'}}=1

שקילות זו מצביעה על כך שצירי המרחב-זמן (x ו-ct במקרה זה) הם סימטריים ביחס למסלול האור בכל מערכת אינרציאלית. משקילות זו נגזר גם היחס הגאומטרי בין צירי המרחב-זמן במערכות אינרציאליות (כמתבטא בדיאגרמה משמאל): צירי המרחב של מערכת אחת יוטו בזווית מסוימת ביחס לצירי המרחב התואמים של המערכת השנייה ('x בתרשים). כאשר, ציר ct במערכת האחת יוטה באותה הזווית, ביחס לציר ct של המערכת השנייה, אך בכיוון הפוך (צירי ct ו- 'ct בתרשים משמאל).
הטיה מסוג זה מכונה 'פסדו סיבוב' וניתן להציג או להסביר באמצעותה את התכווצות האורך והתארכות הזמן. זווית ההטיה מבטאת את יחס המהירויות בין המערכות - $\tan(\alpha )={\frac {v}{c}}$ -, כאשר צירי כל מערכת, לא משנה מה מהירותה, תמיד תואמים קטרים מצומדים של זוג היפרבולות. לתופעה זו חשיבות רבה בייצוג המטריקה של המרחב-זמן.

האינטרוול

במרחב אוקלידי תלת ממדי, המיוצג על ידי קואורדינטות קרטזיות מרחביות, חישוב האורך של וקטור או המרחק בין שתי נקודות נעשה לפי משפט פיתגורס:

\Delta R^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}

כהכללה, וקטור האורך הזה, שהוא גודל אינווריאנטי, מייצג את המטריקה של המרחב התלת ממדי. ניתן לבצע חישוב של המרחק בין שתי נקודות במרחב-זמן בצורה דומה, אך גודל זה אינו מבטא המטריקה של המרחב-זמן, ולמעשה נעדר משמעות פיזיקלית כללית. לכן ישנה התייחסות למשוואה שונה, מאותה צורה, המבטאת מספר הנחות ואפקטים מתורת היחסות, היא 'ריבוע האינטרוול' (או בקצרה, 'האינטרוול'):

{\Delta S^{2}}={c^{2}\Delta t^{2}}-({\Delta x^{2}}+{\Delta y^{2}}+{\Delta z^{2}})

ריבוע האינטרוול הוא גודל אינווריאנטי תחת טרנספורמצית לורנץ, כלומר, נשמר בכל מערכת ייחוס אינרציאלית^[18] ומכאן חשיבותו^[19]. ביטוי זה מתקבל מהצגת הניסוח המתטי של פוסטולט 'האינוואריאנטיות של מהירות האור' ( $\ {\frac {\Delta r}{\Delta t}}={\frac {\Delta r'}{\Delta t'}}=c$ ^[20]) כמשוואת ריבועי מרחקים בעבור תנועת אור:

\ {\Delta S^{2}}={c^{2}\Delta t^{2}}-({\Delta x^{2}}+{\Delta y^{2}}+{\Delta z^{2}})=c^{2}{\Delta t'^{2}}-({\Delta x'^{2}}+{\Delta y'^{2}}+{\Delta z'^{2}})=0

כאשר, $\ c\Delta t$ הוא מרווח הזמן בין שני מאורעות לאורך מסלול קרן האור ו- $\ \Delta z$ , $\ \Delta y$ , $\ \Delta x$ הם המרווחים המרחביים בין אותם שני מאורעות^[21].

ריבוע האינטרוול עשוי גם להופיע בצורה הבאה: ${\Delta S^{2}}={\Delta x^{2}}+{\Delta y^{2}}+{\Delta z^{2}}-{c^{2}\Delta t^{2}}$
הבחירה בין הצורות היא עניין של מוסכמה בלבד, שכן שתי הצורות שקולות מבחינת משמעותן^[22].

ריבוע האינטרוול מתאפס בעבור חלקיק הנע במהירות האור (בשל השקילות בין ct למרווח המרחבי), אך עשוי לקבל ערכים שונים, חיובים או שליליים, בעבור תנועה שאינה במהירות האור.
באמצעות טרנספורמציות לורנץ המאפשרות מעבר ממערכת ייחוס אחת למשנה, ניתן להוכיח כי ביטוי האינטרוול בעבור $\ c\Delta t'$ , $\ \Delta z'$ , $\ \Delta y'$ , $\ \Delta x'$ שווה לביטוי האינטרוול בעבור $\ c\Delta t$ , $\ \Delta z$ , $\ \Delta y$ , $\ \Delta x$ , ובכך להראות כי הוא נשמר בכל מערכת ייחוס, בעבור כל גוף - כלומר, גם כשערכו שונה מאפס.

בעבור ריבוע אינטרוול שערכו אפס, המרחק $\Delta S$ הוא קו ישר; בעבור ערך שונה מאפס, $\Delta S$ מהווה היפרבולה. מכיוון שהמרחקים במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית אינם בהכרח חיוביים, מרחב זה לא מקיים את התכונה הראשונה מתוך שלוש התכונות המשמשות להגדרת מטריקה, ועל כן המטריקה שלו מהווה הרחבה של מושג המטריקה הפורמלי, ומוגדרת כפסדו-מטריקה.

מביטוי ריבוע האינטרוול ניתן ללמוד על אופי המרחב: אם בביטוי מופיעות מכפלות מעורבות של קואורדינטות, משמעות הדבר היא שבמערכת קיים קשר של תלות (פונקציה) בין הקואורדינטות, שיבוא לידי ביטוי בתיאור האירועים בה. מכפלות שכאלה מעידות על עקמומיות המרחב (תורת היחסות הכללית מתייחסת גם למקרים אלה). במקרה ההפוך, בו אין בביטוי ריבוע האינטרוול מכפלות מעורבות של קואורדינטות, הקואורדינטות במערכת הן בלתי תלויות; קואורדינטה בלתי תלויה - שאינה מופיעה במכפלות מעורבות בביטוי ריבוע האינטרוול, ומכאן שאין קשר מובנה בינה לבין הקואורדינטות האחרות - מכונה 'קואורדינטה גאוסית' והיא ניצבת לקואורדינטות האחרות^[23]. במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית לא מופיעים בביטוי ריבוע האינטרוול מכפלות מעורבות, ומכאן שכלל הקואורדינטות ניצבות זו לזו, והמרחב "שטוח", כלומר העקמומיות שלו היא אפס.

מאחר שערכו של ריבוע האינטרוול הוא גודל אינווריאנטי, תכונותיו אף הן אינוואריאנטיות ונשמרות בכל מערכות הייחוס; סוג האינטרוול גם הוא מהווה מאפיין הנשמר בכל מערכת ייחוס^[24]. נהוג למיין את האינטרוולים לשלושה סוגים, המאפיינים אירועים מסוגים שונים ומתאפיינים בתכונות שונות: 'אינטרוול דמוי-אור', 'אינטרוול דמוי-זמן' ו'אינטרוול דמוי-מרחב'.

אינטרוול דמוי-זמן

\ {c^{2}\Delta t^{2}}>{\Delta r^{2}}

\ {\Delta S^{2}}>0

אינטרוול דמוי זמן הוא האינטרוול בין שני אירועים שהמרווח הזמני ביניהם גדול מן המרווח המרחבי - כלומר, אינטרוול חיובי. מאחר שגוף חומרי (בעל מסת מנוחה גדולה מאפס) אינו יכול לנוע במהירות גדולה ממהירות האור, המרווח הזמני בין שני מאורעות שאינם על מסלול קרן אור יהיה תמיד גדול מן המרווח המרחבי ביניהם. לכן, אינטרוול דמוי זמן מאפיין אירועים הנמצאים על מסלול תנועתו של גוף חומרי.

שני אירועים שהאינטרוול ביניהם הוא דמוי-זמן, עשויים להיות קשורים בקשר סיבתי (אם של השפעה חומרית או של אנרגיית אור), וניתן להעביר ביניהם מידע. תכונות אלו נגזרות מכך שצליחת המרווח המרחבי ביניהם היא בגדר האפשר, כלומר אינה נדרשת למהירות גבוהה ממהירות האור. קווי עולם ששיפועם גדול מ-1, או קטן מ-1-, מתאפיינים באינטרוול דמוי-זמן, ונקראים 'קווים דמויי-זמן'.

אינטרוול דמוי-מרחב

\ {c^{2}\Delta t^{2}}<{\Delta r^{2}}

\ {\Delta S^{2}}<0

אינטרוול דמוי-מרחב הוא האינטרוול בין שני אירועים שהמרווח הזמני ביניהם קטן מן המרווח המרחבי - אינטרוול שלילי. מאחר שלא ניתן לעבור את מהירות האור, קרן-אור לא יכולה לצלוח את המרווח המרחבי בין שני מאורעות שהאינטרוול ביניהם דמוי-מרחב, ולא כל שכן גוף חומרי. על כן, שני אירועים שהאינטרוול ביניהם הוא דמוי-מרחב אינם יכולים להיות קשורים בקשר סיבתי (אם של השפעה חומרית או של אנרגיית אור), ולא ניתן להעביר ביניהם מידע. קווי עולם ששיפועם גדול מ-1- וקטן מ-1 מתאפיינים באינטרוול דמוי-מרחב, ונקראים 'קווים דמויי-מרחב'.

אינטרוול דמוי אור

$\ {c^{2}\Delta t^{2}}={\Delta r^{2}}$

\ {\Delta S^{2}}=0

אינטרוול דמוי-אור, המכונה גם בשם 'אינטרוול האפס', הוא האינטרוול בין שני מאורעות שהמרווח המרחבי ביניהם שווה למרווח הזמנים ביניהם - כלומר, אינטרוול שערכו הוא אפס. אינטרוול דמוי-אור מתאר אירועים המתרחשים לאורך מסלול של קרן אור, ומכאן שמו. קווי עולם ששיפועם 1 מתאפיינים באינטרוול דמוי-אור, ונקראים 'קווים דמויי-אור'. קווי עולם שכאלה יכולים לתאר את תנועתו של גוף הנע במהירות האור - פולס אור.

דיאגרמת חרוטי האור

ערך מורחב – חרוט האור

בעבור אירוע מוצא המשמש כראשית, אוסף כל האירועים שהאינטרוול בינם לבין אירוע המוצא הוא דמוי-אור מגדיר שני חרוטים (ארבעה-מימדיים, ולא תלת-מימדיים כפי שהם מוצגים באיור) במרחב-זמן: כלל האירועים המאוחרים לאירוע המוצא מהווים את פני השטח של חרוט האור העתידי - אלו הם מסלולי ההתפשטות האפשריים של הבזק אור מנקודת המוצא (הראשית); וכלל האירועים שקדמו לאירוע המוצא פורשים את פני השטח של חרוט העבר - אלו הם המקורות האפשריים לאירוע המוצא.
חרוטים אלו נקראים 'חרוטי האור', או 'חרוטי האפס', והם משמשים להמחשת הקשרים האפשריים בין מאורעות במרחב-זמן: כלל המסלולים העולמיים האפשריים של גופים חומריים, הקשורים בראשית, הם דמויי-זמן ונמצאים בתוך חרוטי האור (ולא על שפתם). חרוט העבר מכיל את כלל האירועים שעשויים היו להשפיע על האירוע המתרחש בראשית, וחרוט העתיד מכיל את כלל האירועים שעשויים להתרחש בהשפעת האירוע הראשיתי. מסלולים המצויים מחוץ לחרוטי האור, הם דמויי-מרחב, ועל כן אינם יכולים לייצג מסלולים סיבתיים, לא של השפעה חומרית וגם לא של אנרגיית אור.

הטנזור המטרי

ערך מורחב – 4-וקטור

ריבוע האינטרוול $\Delta S^{2}$ הוא גודל אינוואריאנטי המאפיין ומייצג את המטריקה של המרחב-זמן. בשונה מריבוע האורך במרחב אוקלידי שטוח, החיובי תמיד, אינוואריאנט זה יכול להיות גם אפס או שלילי. ערכו של ריבוע אינטוול מסוים נשמר בכל מערכות הייחוס, אך ביטויו משתנה ממערכת למערכת. עם זאת, ניתן לבנות באמצעותו את הכלי המתמטי המכונה הטנזור המטרי, אשר משמש לתרגום מערכים של גדלים ממערכת קואורדינטות אחת לאחרת, ולהגדרת המכפלה הסקלרית של וקטורים ארבעה-ממדיים במרחב-זמן עליו הוא מתייחס^[25]. בניית הטנזור המטרי נעשית על ידי ביטוי רכיבי ריבוע האינטרוול בצורה כללית, בה משמשים המקדמים המשתנים (התלויים) ואיבר הבסיס המשותף, בו הללו מוכפלים - הוא הטנזור המטרי. מטבעו, הטנזור המטרי הוא מאפיין כללי של מערכת הקואורדינטות אליה הוא משויך, וקשור באופן מהותי לתכונות המרחב שזו מייצגת (מטריקה מגדירה עקמומיות). הטנזור המטרי של מרחבים שטוחים אינו תלוי במערכת הייחוס או בתכונות לוקליות. תכונות אלו תקפות גם באשר לטנזור המטרי של המרחב-זמן השטוח של תורת היחסות הפרטית (מרחב מינקובסקי), שהוא המטריצה:

A=\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)

האלמנט האלכסוני הראשי בטנזור, (1 1- 1- 1-), שערכו שונה מאפס, הוא המשמעותי ביותר - האלמנט האלכסוני הראשי מבטא את היחס בין צירי המערכת, ועל כן מהווה את חותמת המרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית. מכך שכל רכיבי האלכסון הראשי בטנזור הם קבועים וכל היתר הם אפסים, ניתן להסיק כי המערכת שהטנזור מייצג היא שטוחה.

ניסוח ריבוע האינטרוול כמכפלה סקלרית עצמית של ווקטור המרחק $dR$ בטנזור הוא: $\Delta S^{2}=A\times dR\times dR$

באופן דומה ניתן לבטא מכלול של גדלים פיזיקליים רלוונטיים. השימוש בפורמליזם הארבעה-ממדי ובטנזור המטרי של המרחב-זמן הופכים את כל החישובים בתורת היחסות - הן של הדינמיקה (תנועת גופים) והן של האלקטרודינמיקה - לפשוטים יותר^[26].

מרחב-זמן בתורת היחסות הכללית

מאחר שבטבע גופים נעים בתנועה משתנה, מסתובבים, מאיצים ומאיטים ונתונים להשפעת כוחות כבידה, ניתן לראות במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית מודל מפושט, שאינו מתאר את המרחב-זמן הכללי בו אנו חיים, ושהשימוש בו יעיל רק למקרים בהם השפעת גורמים אלו זניחה. מרחב-זמן המכיל תנועות מואצות הוא מורכב ממרחב-הזמן של תורת היחסות הפרטית. למעשה, עד לפיתוח תורת היחסות הכללית נדמה היה כי בכל הנוגע לתאוצות ולסיבובים, עקרון היחסות אינו תקף^[27]. החיפוש אחר הכללה של עקרון היחסות, לכל סוגי התנועה, הוא שהוביל את איינשטיין לפיתוח תורת היחסות הכללית. תורה זו איחדה תופעות הקשורות בגרביטציה, במערכות ייחוס מואצות, ובתיאור גאומטרי של מרחבים עקומים^[28], וניתן לראותה כתורה שבמרכזה עומד התיאור של שינוי הגאומטריה של המרחב-זמן בהשפעת כבידה ותאוצה, כמו גם של השפעת שינויים גאומטריים אלו על התנהגותם של גופים במרחב-זמן.

המרחב-זמן של תורת היחסות הכללית הוא מרחב אירועים שמבנהו מוגבל ומעוצב על ידי תנועת הגופים והכוחות הפועלים בו, ובה בעת מכפיף או כופה אילוצים על תנועתם. ג'ון וילר ניסח רעיון זה במילים: "המרחב-זמן אומר לחומר איך לנוע, החומר אומר למרחב איך להתעקם." מרחב זה אינו אוקלידי, ואף לא פסוודו-אוקלידי; מבנהו נקבע על ידי פיזור המסה והאנרגיה בו, ולכן עקמומיותו משתנה מאזור אחד לאר במרחב. בשונה מהמרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית, שאופיו הכללי נותר מוגדר וקבוע, המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית עשוי להיות לא-שטוח - ציריו אינם בהכרח ישרים, או ניצבים זה לזה. כמו כן, מרחב זה אינו בהכרח הומוגני ואיזוטרופי, שכן תכונותיו שונות בנקודות שונות, כולל בנקודות המציינות הבדלי זמן בלבד (כלומר: עקמומיותו משתנה גם בזמן - והרי זהו מרחב זמן).

המרחב-זמן הכללי (המבנה הגאומטרי של היקום) מהווה על כן, לפי תורת היחסות, יריעת אירועים דינמית, אך שלמה ורציפה, ששינויים אזוריים בתכונותיה מהווים כעין 'עיקום' או 'מתיחה' במארגה, המתפלגים מנקודה לנקודה בצורה חלקה ורציפה. מבנה מרחב כללי זה נקבע על ידי כלל החומר והאנרגיה ביקום.

עיקום המרחב-זמן במערכות מואצות

כאמור, קודם לניסוח תורת היחסות הכללית, בכל הנוגע לתאוצה וכבידה, נדמה היה כי עקרון היחסות אינו פועל, ואת השינויים במרחב ובזמן המופיעים במערכות הנעות בתאוצה ביחס למערכות אחרות, או הנתונות להשפעת שדות כבידה, לא ניתן היה להסביר במסגרת תורת היחסות הפרטית. בניגוד למערכות הנעות זו ביחס לזו במהירות קבועה, בהן נמצא כי אופיו של המרחב-זמן אינו משתנה, למעט זאת שצירי המערכת האחת מוטים ביחס לצירי המערכת השנייה בפסדו-סיבוב - הרי שבמערכות הנעות בתאוצה נמצא כי המרחב-זמן אינו משמר את אופיו, והמערכת המואצת אינה נוהגת כמערכת אחידה, אלא מתגלים בתוכה הבדלים בתפיסת המרחב והזמן. תופעות אלו הן שהובילו לשינוי תפיסת המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית. כדי להבין את השינויים המתחוללים במרחב-זמן בהשפעת תאוצה, ניתן להתבונן במקרה מבחן של מערכת הנעה בתאוצה רדיאלית קבועה בגודלה.

הצגה גרפית של השינוי הרגעי בתמונת המרחב-זמן המצטיירת מנקודת מבטו של צופה (מערכת ייחוס) שתנועתו משתנה. עם שינוי אופי המהירות תמונת המרחב-זמן כולה סובבת ומתפתלת, והוא מצטייר כעקום. מסלולו העולמי של הצופה - הקו המנוקד - אף הוא מתעקם ומתכווץ או נמתח. הנקודות בתרשים מייצגות אירועים שונים במרחב.

שינוי המרחב-זמן תחת סיבוב

נתבונן בשתי מערכות ייחוס, מערכת נייחת ומערכת שנייה, המסתובבת סביב ציר במהירות קבועה. כדוגמה למערכת כזו ניקח דיסקה שטוחה המסתובבת במהירות זוויתית קבועה $\omega$ . לתיאור המערכת החיצונית, שאינה קשורה לדיסקה ונמצאת במנוחה, נשתמש בקואורדינטות הקרטזיות $X,Y,Z,cT$ ; לתיאור מערכת הדיסקה נשתמש בקואורדינטות הגליליות $r,\theta ,z,ct$ , בהן: $r$ משמש לציון מרחק של נקודה על פני הדיסקה מראשית הצירים, ו- $\theta$ לציון הזווית בין היטל על ציר X של וקטור הנמצא על פני הדיסקה (במישור X-Y).

משוואות הטרנספורמציה בין מערכת קרטזית למערכת גלילית הן:

{\begin{matrix}X=r\cos(\theta +\omega t)\\Y=r\sin(\theta +\omega t)\\Z=z\\cT=ct\\\end{matrix}}

ריבוע האינטרוול זהה בשתי המערכות:

{\Delta S^{2}}={c^{2}\Delta T^{2}}-({\Delta X^{2}}+{\Delta Y^{2}}+{\Delta Z^{2}})

וביטויו במערכת הדיסקה, לפי הצבת משוואות הטרנספורמציה לפרמטרים גליליים, הוא:

{\Delta S^{2}}={c^{2}\Delta t^{2}}(1-r^{2}\omega ^{2}/c^{2})-({\Delta r^{2}}+r^{2}{\Delta \theta ^{2}}+{\Delta z^{2}}+2\omega r^{2}{\Delta \theta }{\Delta t})

בעבור צופה ממערכת הדיסקה, כל נקודה על פני הדיסקה נמצאת במנוחה. בעבור צופה מהמערכת החיצונית, שאינה קשורה לדיסקה, כל נקודה על הדיסקה נעה עם מערכת הדיסקה בתנועה סיבובית. במשוואת ריבוע האינטרוול, האיבר $2\omega r^{2}{\Delta \theta }{\Delta t}$ הוא המבטא צימוד זה בין הקואורדינטה הזוויתית ובין הזמן^[29], תוצר המהירות הזוויתית. רכיב זה מבטא גם את ההבדלים בין מערכת הדיסקה לבין המערכת החיצונית לה, בתפיסת מסלולים של גופים. למשל, גוף הנע בקו ישר ונכנס למערכת הדיסקה ייראה לצופה החיצוני כנע בקו ישר על פני דיסקה מסתובבת, לעומת זאת עבור צופה ממערכת הדיסקה מסלול הגוף ייראה עקום^[30] - זאת מאחר שבעבור צופה זה, הנקודות השונות שהגוף חלף בהן, נמצאות בזמנים שונים במקומות שונים. אם כן, במערכת הדיסקה, תנועת גופים תוכפף תחת אילוצי תנועת המערכת^[31].

ערך מורחב – מרחב היפרבולי

בהתייחסות לזמן במערכות מתגלה אפקט יחסותי מוכר: במערכת הדיסקה השעונים מאטים, וההאטה תלויה במרחקם מראשית צירי הדיסקה. הפעם, האיבר $(1-r^{2}\omega ^{2}/c^{2})$ המופיע בביטוי ריבוע האינטרוול הוא האחראי לביטוי התנהגות זו^[32].

כדי לבדוק מהו יחס הזמנים בין שתי המערכות, נדמה למשל שעון הנח על הדיסקה ונע עימה. עבור צופה ממערכת הדיסקה, כל נקודה על הדיסקה נמצאת במנוחה ולכן:

{\Delta \theta }={\Delta r}=0

כמו כן, $z=0$ , שהרי הנקודה נמצאת על פני מישור הדיסקה.

משוואת ריבוע האינטרוול במקרה זה תהא על כן:

{\Delta S^{2}}={c^{2}\Delta t^{2}}(1-r^{2}\omega ^{2})

בהתייחס למערכת המנוחה החיצונית, נניח, לשם נוחות, כי צופה ממערכת המנוחה מודד את הזמן שלוקח לנקודה להשלים סיבוב. מבחינת הצופה, ברגע בו השלימה הנקודה סיבוב רכיבי המרחב הגליליים מתאפסים וממשוואות הטרנספורמציה של מערכת קרטזית למערכת גלילית מתקבל:

{\begin{matrix}X=0\\Y=0\\Z=z=0\\\end{matrix}}

ריבוע האינטרוול עבור הצופה החיצוני יהיה במקרה זה:

{\Delta S^{2}}={c^{2}\Delta T^{2}}

כאשר נשווה את ריבועי האינטרוול עבור המקרה ונצמצמו לביטוי היחס בין מרווחי הזמן נקבל כי:

\Delta t=\Delta T/{\sqrt {(1-r^{2}\omega ^{2}/c^{2})}}=\Delta T/{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}

ביטוי זה הוא משוואת טרנספורמצית לורנץ לזמן. מאחר שמהירות האור היא המהירות המקסימילית, משמעות הביטוי היא שהזמן במערכת הדיסקה איטי מזה הנמדד במערכת המנוחה הלא קשורה אליה, ותלוי במרחק מראשית הצירים (בהתאם להגדרת מהירות נקודתית על פני הדיסקה). }}

במסגרת המכניקה הקלאסית, הוסברו השינויים בזמן ובמרחב על פני הדיסקה כתוצר פעולתם של כוחות מדומים (כוח צנטריפוגלי). במסגרת תורת היחסות, הללו מהווים תוצר של שינוי בגאומטריה של המרחב-זמן המתבטאים בשינויים במטריקה; כפי שציינו, ריבוע האינטרוול מאפיין את המטריקה של המרחב, ולכן שינוי מהותי באיבריו מעיד על שינוי המטריקה. בביטוי ריבוע אינטרוול של מערכת הדיסקה, מקדמי הדיפרנציאלים (הרווחים הקואורדינטורים) - שהם רכיבי הטנזור המטרי - אינם קבועים, אלא הם תלויים במהירות הזוויתית ובמרחק. איברים אלו אמנם אינם קשורים לאלמנט האלכסוני של הטנזור המטרי של תורת היחסות הפרטית, אלא לרכיבים הנמצאים מחוץ לו, אך עדיין מהווים שינוי במבנהו, דבר המעיד על שינוי באופי המרחב-זמן של מערכת זו^[33]. בעוד הטנזור המטרי של מרחב-זמן תורת היחסות הפרטית התאפיין בחוסר תלות במערכות ייחוס ובתכונות לוקליות, בטנזור המטרי המאפיין את המרחב-זמן של מערכות הנעות במהירות זוויתית, מופיעים רכיבים תלויי מקום - תכונה המאפיינת מרחבים עקומים^[34].

במערכות ייחוס אינרציאליות, מצאנו כי צירי המערכת האחת מוטים בפסדו-סיבוב ביחס למערכת השנייה אך המרחב-זמן נותר שטוח; ואילו במקרה של מערכת הדיסקה, המרחב והזמן הקואורדינטורים כבר אינם קבועים, והדיסקה מתנהגת כמרחב בעל עקמומיות שלילית^[35].

תאוצה, גרביטציה ועקמומיות

צירי מערכות ייחוס אינרציאליות מוטים בפסדו-סיבוב זו ביחס לזו, בזווית התואמת את יחס המהירויות ביניהן. ניתן להתייחס לתאוצה כאל שינוי המהירות, ומכאן שאף התאוצה נראית כסיבוב יחסי של צירי המרחב-זמן של מערכת, אלא שבמקרה זה הסיבוב הוא משתנה תלוי קואורדינטות, דבר המאפיין מרחב עקום. מבחינה זו, מערכת הנעה בתאוצה ישרה דומה למערכת המסתובבת במהירות קבועה. כפי שראינו, במערכת הנעה בתאוצה רדיאלית קבועה, רכיבי הטנזור תלויים במרחק מראשית צירי המערכת ובמהירות הזוויתית - המשתנים המגדירים את התאוצה הרדיאלית ( $a_{r}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r$ ). במערכת הנעה בתאוצה ישרה מופיעים מאפיינים דומים, שגם הם מוצאים את ביטויים בריבוע האינטרוול - כרכיבים תלויי קואורדינטות.

השפעת כבידה דומה במידה מסוימת להשפעת תאוצה, מאחר שהיא פועלת באופן דומה לכוחות המדומים המופיעים במערכות מואצות, ומקנה לגופים עליהם היא פועלת תאוצה שאינה תלויה במסתם. מדמיון זה נגזר כי השפעת כבידה על המרחב-זמן דומה להשפעת תאוצה, ושאף היא מתבטאת בסיבוב צירי המרחב-זמן; אלא שהפעם, בשל חוסר אחידות שדות כבידה, כיוון ומידת הסיבוב - העקמומיות - עשויים להשתנות מאזור לאזור, וליצור עיוותים במרחב-זמן^[36]. תורת היחסות הכללית ניבאה, שכשעיוותים אלה משתנים גם בזמן, הם מתפשטים במרחב בצורת גלי כבידה. ניבוי זה התאמת לאחרונה (2016) עם הגילוי הראשון של גלי הכבידה.

איינשטיין זיהה את הדמיון בין התופעות המתגלות במערכות מואצות ובמערכות הנתונות להשפעת כבידה, ומחקירה זו גזר את עקרון השקילות בין מסה אינרציאלית לבין מסה גרביטציונית, הגורס כי התופעות הנצפות במערכות מואצות ואלו הנובעות משדה כבידה הומגני^[37] שקולות מבחינה פיזיקלית ולא ניתן להבחין בניהן^[38]. רעיון זה היווה את אחד מאבני הדרך המשמעותיות בפיתוח תורת היחסות הכללית, שאיפשרו לאיינשטיין לאחד ולקשור את מכלול התופעות הקשורות באינטראקציות בין מסות ותנועת גופים ואנרגיה, לכלל תאוריה חדשה, המעמידה תיאור והגדרה פורמלית של הקשר בין המרחב-זמן לבין תנועת החומר והאנרגיה בו, התקפים לכל מערכות הייחוס. התאוריה שפיתח איינשטיין מציגה גישה שונה למרחב-זמן, ובשל עיסוקה במרחבים לא הומוגניים, שעקמומיותם עשויה להשתנות בצורה דרסטית, היא מתייחסת למרחבים שרכיבי הטנזור שלהם אינם קבועים.

גישת תורת היחסות הכללית

ערך מורחב – תורת היחסות הכללית

הרעיון המרכזי של תורת היחסות הכללית - כי הכבידה אינה אלא תוצר של עקמומיות ועיוותים במרחב-זמן הנוצרים בשל פיזור המסה והאנרגיה בו, וכופים אילוצים על תנועת האנרגיה והגופים בו - היווה בזמנו מהפכה בתפיסת העולם הפיזיקלית. בתפיסה החדשה, כבידה אינה כוח משיכה מסתורי הפועל בין מסות, כפי שגרס ניוטון, אלא תכונה המושרת על המרחב-זמן, שמובנה גם רחב יותר, באשר הוא מתייחס הן לכבידה הניוטונית (השפעת האינטראקציה הסטטית בין מסות) והן להשפעה של תאוצה בין מערכות (האינטראקציה הדינמית)^[39]. יתר על כן, לפי תפיסה זו, השינויים בתכונות המרחב-זמן (באופי ובמידת עקמומיותו) מאזור לאזור, הם המסבירים את התנהגותם השונה של גופים במרחב ואת האפקטים היחסותיים השונים. "המרחב והזמן", כפי שמסביר הוקינג בספרו הפופולרי קיצור תולדות הזמן, "הם גורמים כמותיים דינמיים: כשגוף נע, או כשכוח פועל, הדבר משפיע על עיקום המרחב והזמן – מצד שני, מבנהו של המרחב-זמן משפיע על הדרך שבה גופים נעים וכוחות פועלים"^[40].

לפי תורת היחסות הכללית, בהינתן האפשרות לסכם את השפעת כוחות הכבידה הכלליים, ניתן לקבוע את השדה הכבידתי הכללי של מערכת, וממנו לגזור את הגאומטריה של המרחב-זמן על התכונות שהכבידה משרה עליו; ובהינתן הגאומטריה של המרחב-זמן המוכפף לאילוצי הכבידה הכללית, ניתן לחשב את מסלולי התנועה של גופים בו.
תתורת היחסות הכללית מחליפה למעשה את שדות הגרביטציה הכלליים במרחב עקום, כאשר קשר ההשפעה בין הללו הוא דו-סטרי: פילוג האנרגיה והמסה קובעים את הגאומטריה של המרחב-זמן, וזו מצידה יוצרת תנועה באנרגיה ובמסה, ועל ידי כך משנה את התפלגותם^[41].
המבנה היסודי בתורת היחסות הכללית הוא היריעה. הביטוי של החוקים הפיזיקליים נעשה באמצעות וקטורים וטנזורים התלויים בגאומטריה^[42]. בהתייחס לגאומטריה, עקמומיות היא המאפיין המבטא את כל תכונות המרחב, את שינוי יחסי המרחק בין הנקודות במרחב, ואלו ניתנות להצגה על ידי הטנזור המטרי. לכן רכיבי הטנזור המטרי הם המשתנים בהם עוסקת תורת היחסות הכללית, כאשר ההתייחסות היא למרחב המאורעות כולו - כלומר לתכונות על פני כלל המרחב הארבעה-ממדי^[43].

הגדרה מתמטית

המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית מוגדר על ידי משוואת השדה של איינשטיין. משוואה זו מבטאת את הקשר בין פילוג המסה והאנרגיה במרחב-זמן לבין רכיבי הטנזור המטרי, וצורתה היא^[44]:

R_{uv}-{\frac {1}{2}}g_{uv}R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{uv}

כאשר, $R_{uv}$ הוא טנזור העקמומיות של ריצ'י; $g_{uv}$ הוא הטנזור המטרי; $R$ הוא סקלאר ריצ'י; $\pi$ הוא הקבוע המתמטי פאי; $G$ הוא קבוע הכבידה של ניוטון; $c$ היא מהירות האור; ו- $T_{uv}$ הוא טנזור המאמץ-אנרגיה;

את המשוואה ניתן לבטא גם בצורה הקומפקטית יותר, באמצעותם טנזור איינשטיין ( $G_{uv}$ ), שרכיביו הם רכיבי הטנזור המטרי ונגזרותיהם:

G_{uv}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{uv}

צידה השמאלי של המשוואה מתייחס לגאומטריה של המרחב - רכיבי הטנזור המטרי ונגזרותיהם, וצידה הימני לחומר - צפיפות המסה והאנרגיה, צפיפות התנע ורכיבי טנזור המאמץ, המהווים יחדיו את טנזור המאמץ-אנרגיה^[45].

מאחר שלכל טנזור ארבעה-ממדי יש 16 רכיבים (צירופי $u,v=1,2,3,4$ ), משוואת השדה של איינשטיין מהווה בעצם מערכת של 16 משוואות. עם זאת, בשל הסימטריות האלכסונית של הטנזורים, מערכת זו מצטמצמת לעשר משוואות שונות. פתרון המשוואה נותן את רכיבי הטנזור לכל נקודה במרחב-זמן - על פני כל המרחב הארבעה-ממדי. מאחר שאלו הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות, הכוללות מספר משתנים בלתי-תלויים, ואי-לינאריות^[46] ממעלה שנייה - אין להן פתרון כללי, והן פתירות רק בעבור מקרים פרטיים, או מסוימים ומוגדרים. דוגמה לפתרון שכזה היא מטריקת שוורצשילד - הפתרון המדויק הראשון למשוואות, שהציע האסטרונום קארל שוורצשילד.

כאמור, משוואות איינשטיין מתארות את הקשר הכללי בין פיזור ותנועת אנרגיה לבין מבנה המרחב-זמן, ועל כן מגלמות בתוכן תיאור של כלל המקרים הפרטיים של תצורות המרחב-זמן. למשל: רכיבי הטנזור במשוואות השדה של איינשטיין קרובים לרכיבי הטנזור של מרחב-זמן תורת היחסות הפרטית, במקרים שבהם שדות הכבידה חלשים, ושאין שינוי גדול בתנועת מקורות השדה (מצבים התלויים בנתונים הכלולים בטנזור המאמץ-אנרגיה) - מצב זה קרוב למצב של תנועה קבועה ושל היעדר שינויים גדולים ברכיבי הטנזור המטרי; לעומת זאת, קירבה לתאוריה הניוטונית של הכבידה מתקיימת כאשר שדות הכבידה חלשים, ועל כן אינם יוצרים שינויים דרסטיים בעקמומיות המרחב וכאשר המהירויות נמוכות - המקרה בו האפקטים היחסותיים הפרטיים זניחים^[47].

מסלולי תנועה גיאודזיים

לפי תורת היחסות הכללית, נוכחות של מסה ותנועתה מעוותת את המרחב-זמן ויוצרת בו עקמומיות. עקרון ההתמדה קובע, כי גופים "שואפים" להתמיד בתנועתם, ולכן, כמנוסח בחוק הראשון של ניוטון, במצב של תנועה במהירות קבועה ובהיעדר השפעת כוחות נוספים, גופים נעים בקו ישר. עקרונות תנועה אלו נשמרים בתורת היחסות הכללית: גופים חופשיים נעים "תמיד בקווים ישרים במרחב-זמן ארבעה-ממדי", אך בשל עקמומיות המרחב הם נראים "כאילו הם [נעים] בקווים עקומים במרחב התלת ממדי שלנו"^[48]^[49]. לפיכך, תנועת גופים במרחב-זמן של תורת היחסות מתוארת באמצעות מסלולים גיאודזים: קו גיאודזי או מסילה גאודזית הוא המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות במרחב עקום; במרחב שטוח קו גיאודזי הוא ישר, ואילו במרחב תלת-ממדי עקום, זהו מסלול גאודזי. למשל: על פני כדור, המסילות הגאודזיות הן המעגלים הגדולים שהרדיוס שלהם שווה לרדיוס הכדור.
לפי תורת היחסות במרחב-זמן הארבעה-ממדי, גוף "מנסה" להתמיד בתנועה ישרה, אך נתיב תנועתו מתעקם בשל עקמומיות המרחב, ולכן הוא נע במסלול הקצר ביותר האפשרי לו - כלומר, במסילה גיאודזית. מבחינה זו, עקמומיות המרחב מייצגת למעשה את האילוצים הנכפים על גופים על ידי שדות הכבידה הכלליים^[50]. לכן, בהינתן הגאומטריה של המרחב ועקמומיותו, ניתן לחשב את מסלולי התנועה של גופים בו. ניבויים אלו של תורת היחסות הוכחו מספר שנים לאחר ניסוח תורת היחסות הכללית. משוואות התנועה הקו-ואריאנטיות של איינשטיין מאפשרות חישוב מסלולים שכאלה. כמשוואת השדה, גם משוואות אלו הן משוואות דיפרנציאליות סבוכות, העושות שימוש בחשבון טנזורים ובאנליזה על יריעות.

תמונת היקום

ערכים מורחבים – המפץ הגדול, משוואות פרידמן

אופיה הכללי של תורת היחסות הכללית מאפשר להסיק מספר מסקנות באשר למבנה הגאומטרי של היקום. מאחר שהידע המצוי בידנו אינו מלא, מסקנות אלו מוגבלות, וחלקן אינו אלא קירוב גס. איינשטיין עצמו ניסח מספר מסקנות באשר לטיבו של מבנה היקום^[51]. לפי איינשטיין, מכך שהכבידה משפיעה על התנהגות המרחב והזמן ויוצרת אפקטים יחסותיים, ניתן לשלול את האפשרות שגאומטריית היקום היא אוקלידית, אך ניתן גם להניח כי אין היא נבדלת אלא במעט מהגאומטרייה האוקלידית, מאחר שהשפעת הכבידה (גם של מסות מסדר גודל של השמש) על מארג המרחב-זמן ניכרת רק בסביבה הקרובה אליה, ובאזור קטן יחסית. היקום על פי איינשטיין גם אינו פסאודו-אוקלידי (כמרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית), מאחר שמסות גדולות יוצרות בו עקמומויות חריגות. על אף שפיזור החומר ביקום אינו אחיד, הרי שבהתבוננות ביקום בקנה מידה התואם את ממדיו, נראה כי בקירוב, החומר בו מחולק בצורה הומגנית שהסטיות ממנה הן זעירות ביותר. בשל כך, לצורך התייחסות למבנה הכללי של גאומטריית היקום, ניתן להניח כי המרחב-זמן הכללי הוא הומוגני ואיזוטרופי. מהנחה זו משתמע כי הצפיפות הממוצעת של החומר ביקום שווה בכל אזור, אך לא בהכרח קבועה בזמן^[52]. על סמך נתונים והנחות אלו אפשר לקבוע כי גאומטרית המרחב-זמן הכללי (מבנה היקום) נוהגת כיריעה שעקמומיותה קבועה באופן כללי, ואשר רק באזורים פרטיים שלה מתקיימות חריגות. מסקנה זו היא כללית ביותר ואינה מתארת את צורתו של היקום או עונה על השאלה אם מבנה היקום יציב, או שהוא מתפתח, ובאיזה אופן. מראית היקום למעשה תלויה בצפיפותו.

ישנן כמה אפשרויות בסיסיות המתאפיינות בסימטריות מרחב-זמן שונות^[53]:

יקום ספירי - אלפטי או כדורי - זהו יקום סגור, בו קרן אור יכולה להקיפו ולחזור לנקודת המוצא
יקום פרבולי – יקום שטוח, פתוח ובעל נפח אינסופי, הקרוב לתפיסה הקלאסית
יקום היפרבולי – יקום דמוי אוכף, פתוח ואינסופי

משוואות תורת היחסות הכללית הצביעו על כך שהיקום אינו סטטי, אך עד לגילוי העדויות להתפשטות היקום, דבק איינשטיין במודל של יקום סטטי כדי להסביר את היציבות היחסית לה אנו עדים, והוא אף ניסה (ללא הצלחה) לתקן את משוואות השדה, כך שתשקפנה מערכת כללית יציבה, באמצעות הוספת הקבוע הקוסמולוגי^[54].

תצפיות אסטרונומיות הוכיחו זה מכבר כי היקום מתפשט, וכי הגלקסיות מתרחקות זו מזו, התפשטות המבוטאת בחוק האבל. תגליות אלו ואחרות חיזקו תאוריות הטוענות להתפשטות היקום. בהתייחס להתפשטות קיימים כמה מודלים של יקום התואמים מידע זה, שחלקם הוצעו על ידי אלכסנדר פרידמן^[55]:

יקום סגור שהתפשטותו מוגבלת ונועדת לקרוס
יקום פתוח המתפשט לנצח
יקום פתוח המתפשט לאינסוף אך במהירות יורדת והולכת, שלבסוף תיעצר ותגיעה למצב סטטי

כל אחד מפתרונות אלו הוא תוצר של חישוב בעבור צפיפות ומידת התפשטות התחלתית שונה, אך לשלושתם תכונה משותפת - כולם מצביעים על כך שהיקום מתפשט ושבעבר הרחוק המרחק בין הגלקסיות היה אפסי, ושצפיפות היקום ועיקום המרחב-זמן אז היו בשיעור אינסופי^[56]. נקודת זמן זו קרויה המפץ הגדול ומציינת ייחודיות קיצונית, בה כל חוקי הפיסיקה המוכרים קורסים. תאוריית המפץ הגדול - התאוריה המקובלת בתחום כיום - גורסת כי היקום החל את דרכו ממצב דחוס ומכווץ מאד, בהתפשטות מהירה, כעין מפץ, שמהירותה פוחתת עם השנים ושעתידה בזמן כלשהו להתהפך ולהתחיל תהליך של התכווצות. לפי תאוריה זו, גם המרחב-זמן עצמו נוצר בעת המפץ הבראשתי^[57]. כמו כן, מקובלת ההשערה כי בשל עוצמת הכבידה, המרחב-זמן מתכופף סביב עצמו, ולכן היקום הוא סגור וסופי אך בה בעת חסר גבולות^[58]. אמיתות השערה זו תלויה בצפיפות היקום, ערך שאינו ודאי^[59]^[60].

מרחב-זמן קוונטי

מספר תאוריות הוצעו כדי לנסות לאחד בין תורת הקוונטים לבין תורת היחסות הכללית, ולמצוא את המבנה היסודי המעמיד תאוריה שתשמר את התכונות הקוונטיות ותספק תיאור של התנהגות חלקיקי החומר, ובה בעת תתיישב עם תורת הכבידה היחסותית. במרכז מחקר זה עומד הניסיון להציע מודל תת-קוונטי, פיזיקלי-מתמטי, הנענה להתנהגות המוכרת המדידה של החומר והאנרגיה ביקום, לפי החשיבה הפיזיקלית, ועולה בקנה אחד עימה. תאוריות שונות אלו, המכונות בשם הכולל תורת כבידה קוונטית, נאלצות להתמודד עם קשיים שונים הנובעים מההתנהלות השונה של המרחב והחומר-אנרגיה, כפי שאנו מכירים אותם, ברמת המיקרו והמקרו. חלק מתאוריות הכבידה הקוונטית עוסקות בחקירת מאפייני המרחב-זמן ברמה הקטנה ביותר, המכונה סקלת פלאנק ( $10^{-35}$ מטר בקירוב).

כיום (2017) אין עדיין תאוריה משביעת-רצון, ומבנה המרחב-זמן הקוונטי עדיין אינו ברור או מוסכם, למעט החיזוי כי הוא בדיד. אישושן של תורות הכבידה הקוונטית, ברמת המיקרו, עדיין אינו אפשרי באמצעות צפייה ישירה, ולכן התפתחות המחקר כולו נעשה מתוך בחינה של התאמתו של כל מודל לתוצאות הניסויים, בעיקר אלה של חלקיקי יסוד וכוחות היסוד.

העיסוק בסדרי גודל מיקרוסקופיים, הופך את המרחב-זמן הקוונטי לרלוונטי גם להתייחסות לנקודות סינגולריות^[61] - המתארות מצב בו המרחקים בין חלקיקי החומר הם קטנים ביותר, שעל פי תורת היחסות עצמה, לא ניתן לטפל בהם במסגרתה^[62]. המחקר של נקודות סינגולריות, כגון חורים שחורים, מעמיד על כן אופציות נוספות - מופעי ואופני התנהגות רלוונטיים מדידים ומוכרים יותר, לבחינת תקופתן של תורות הכבידה הקוונטית.

כלל התאוריות הקיימות מצביעות עד כה כי ברמה התת-אטומית, קורסים הגבולות וההגדרות המוכרים לנו, של ישויות ומבנים פיזיקליים שונים, בהם חומר-אנרגיה ומרחב. ההתייחסות לישויות פיזיקליות אלו ואחרות ברמת המיקרו דורשת על כן העמקה במשמעותם ומעלה שאלות חדשות אודות הרכבו של המרחב-זמן.

הדרישות והקשיים הייחודיים המרכזיים שעימם צריכה להתמודד תורת כבידה קוונטית הם:

לפי עקרון האי-ודאות של הייזנברג, לא ניתן לדעת את מיקומם ואת התנע של חלקיקים אלמנטריים ביחד. גדלים אלו, לפי תורת היחסות, הם אשר קובעים את מבנה המרחב-זמן. משמעות הדבר היא כי במסגרת תורת כבידה קוונטית, מתקבל חוסר וודאות על מבנה היקום - כלומר המרחקים והיחסים גאומטריים במרחב-זמן^[63].
תורת הקוונטים, מעצם טבעה, עוסקת בגדלים בדידים. על כן, תורת כבידה קוונטית צריכה להתמודד עם גדלים בדידים ואולי אף עם מרחב-זמן בדיד - כלומר מרחב שאינו רציף - ולהעמיד מודל ממנו ניתן יהיה להגיע למרחב הרציף של תורת היחסות ולמשוואות הלא-קוונטיות.
בהתייחס לרמה התת-אטומית, השפעת המסה-אנרגיה על עקמומיות המרחב היא מזערית, דבר המקשה על שמירת עקרון תורת היחסות שלפיו המרחב-זמן אינו ישות בסיסית, אלא מבנה התלוי בחומר-אנרגיה המאכלסים אותו.

בשל הבדלים אלו ואחרים, התאוריות המתייחסות למרחב-זמן הקוונטי נדרשות על פי רוב לגישה מתמטית שונה מזו המשמשת ביחסות הכללית, ועושות שימוש בגאומטריות שונות (גאומטריה קוונטית). תאוריות הכבידה הקוונטית המובילות כיום בקרב החוקרים הן תורת המיתרים, ותורת הכבידה הקוונטית הלולאתית. הן מציגות גישות שונות ביסודן להתייחסות למרחב-זמן בסקלה הקוונטית.

תורת המיתרים

כל תורות המיתרים גורסות, כי בצד שלושת ממדי המרחב המוכרים לנו, קיימים ממדי מרחב נוספים, מכורבלים (קומפקטיים), ומספר הממדים משתנה מתאוריה לתאוריה. באופן כללי, תורות המיתרים השונות אינן מציעות מודל של מרחב-זמן קוונטי, אלא מניחות את קיום המרחב-זמן כרקע להתרחשות התופעות ברמה הקוונטית; לתפיסתן, תנודת המיתרים או הממברנות (צורות היסוד של החלקיקים), אינה משפיעה על עקמומיות המרחב ומהווה בו רק הפרעה זניחה (ראו למשל: תורת ההפרעות). מרחב הרקע, לפי תורות המיתרים, מתעקם רק תחת השפעת אירועים מסקלה גדולה או בהשפעת אפקטים הפרעתיים (אוסף גדול של מיתרים או חלקיקים ייחודיים). פתרון משוואות תורת המיתרים נעשה על כן בשני חלקים; חלק בו נכתבות משוואות תורת המיתרים המתייחסות לתנודות המיתרים, וחלק בו מטריקת המרחב מחושבת לפי משוואות תורת היחסות. בחיבור שני חלקים אלו, צירוף ה"הפרעות" בתוך הרקע, מתקבל הפתרון השלם^[64]. בהנחת קיומו של מרחב-זמן המהווה רקע - כלומר, מרחב קלאסי, לא קוונטי, וקבוע מראש - בעצם מציגה תורת המיתרים סתירה לתורת היחסות הכללית, הגורסת כי המרחב-זמן מהווה ישות דינמית, שהמטריקה שלו (עקמומיותו) היא תוצר של תנועת החומר-אנרגיה^[65]. למרות זאת, תורת המתרים מרמזת כי המרחב-זמן אף הוא בדיד, כך שלמעשה עולה ממנה כי למיתרים ישנם גדלי יסוד מזעריים שהם גבוליים - כלומר, בדידים^[66].

כבידה קוונטית לולאתית

תורת הלולאות הקוונטיות נוקטת גישה שונה וגורסת כי יש לבצע קוונטיזציה של הכבידה באופן חסר-רקע - כלומר, לתאר את הכבידה, עיקום המרחב, כפועל יוצא של מבנה קוונטי יסודי, חסר רקע (המתקיים על יריעה עירומה)^[67]. מאחר שהמטריקה - עקמומיות המרחב - מהווה חלק יסודי בחישובים של תורת השדות הקוונטיים, תורת הלולאות נדרשה לנסח מחדש את תורת השדות הקוונטיים בעבור יריעה עירומה - ללא רקע.

באופן בסיסי, תורת הלולאות מניחה שהמרחב אינו רציף, ובמקום להציע פתרון למשוואות תורת היחסות הכללית לכל נקודה במרחב, היא מציעה פתרון רק לאורך לולאות במרחב. לפי תורת הלולאות הקוונטית, הלולאות עצמן הן הישויות היסודיות, שהיחסים ביניהן קובעים את עקמומיות המרחב. המבנה המתמטי באמצעותו מיוצגות הלולאות נקרא רשת ספין - מבנה שהוצע על ידי המתמטיקאי רוג'ר פנרוז, כבסיס לתאוריה של כבידה קוונטית. מבנה זה מהווה למעשה שיטה גרפית לרישום כלל המצבים הקוואנטים במרחב. בתורת הלולאות, רשת הספין מורכבת מצמתים ומקשתות, כשהצמתים ברשת תואמים יחידות נפח, ואילו הקשתות המחברות אותן תואמות יחידות שטח. לפי תורת הלולאות הקוונטית, המרחב מחולק ליחידות בדידות של נפח ושטח, כשרשת הלולאות מהווה את המרקם הדינאמי ממנו הוא מורכב. לפי תורה זו, חלקיקים קוונטיים, או שדות אלקטרומגנטיים, יכולים להתקיים רק בצמתים, ותנועתם במרחב מתבצעת בצעדים בדידים - מצומת לצומת, לאורך הקשתות - ובזמן בדיד. תכונות הרשת – מצבי התקשורת בין הצמתים - מגדירים את המצבים הקוונטים השונים ואת יחסיהם. בהינתן רשת ספין, ישנה אפשרות לחשב את עקמומיות המרחב, ועל כן את הכבידה שעיקום זה יוצר. שינוי במרחב, אירוע, משמעו שינוי רשת הספין. תנועת החלקיקים והשדות הקוונטים במרחב כרוכה בסחרורם; תנועה זו משנה את תכונותיהם הקוונטיות, כמו גם את הגאומטריה של המרחב - כלומר, משנה את מערך רשת הספין ואת יחסי המרחק^[68]. בהוספת מימד הזמן - השינויים במרחב - מתקבלת תמונת המרחב-זמן, המרחב הארבע-ממדי, המבוטא באמצעות "קצף הספין". מושג זה מייצג את המעברים בהם משתנות רשתות ספין - שינוי הקישוריות של רשתות הספין המרחביות - ומיוצג על ידי צמתים שקשתותיהם נפגשות בקצף. לשיטת תורת הלולאות, כל חתך במרחב-זמן, הוא רגע בקצף ספין, ומהווה רשת ספין. המרחב-זמן הקוונטי, לפי תורת הלולאות, הוא לפיכך לא חלק ולא רציף. זהו מבנה מורכב, שיסודותיו בדידים, המתואר באמצעות רשתות הספין וקצף הספין - מערכי רשתות הספין ודרכי שינויים^[68].

ראו גם

לקריאה נוספת

בראיין גרין, מארג היקום - מרחב, זמן ומרקם המציאות, הוצאת מטר, 2006.
רוברט פ' קריז, המשוואות הגדולות, הוצאת כתר, 2011, פרק 8.
פרופ' קירש יורם, בן-יעקב מיכל, ‏יסודות הפיזיקה ב (כרך 7), האוניברסיטה הפתוחה, 1998

Paul Ehrenfest (1920), "How do the fundamental laws of physics make manifest that Space has 3 dimensions?", Annalen der Physik 366: 440.
George F. Ellis and Ruth M. Williams (1992), Flat and curved space–times, Oxford University Press, ISBN 0-19-851164-7
Isenberg J. A. (1981), "Wheeler–Einstein–Mach spacetimes", Phys. journal ,Rev. D, volume 24, issue 2, pages 251–256
Immanuel Kant (1929), "Thoughts on the true estimation of living forces". in J. Handyside, trans., Kant's Inaugural Dissertation and Early Writings on Space, University of Chicago Press.
Hendrik Lorentz, Albert Einstein, Hermann Minkowski, and Hermann Weyl (1952), The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs. Dover.
Lucas, John Randolph (1973) A Treatise on Time and Space. London: Methuen.
Roger Penrose (2004), The Road to Reality, Oxford University Press, ISBN 0-679-45443-8 Chpts. 17–18.
Robb A. A. (1936), Geometry of Time and Space, Cambridge University Press.
Erwin Schrödinger (1950), Space–time structure, Cambridge University Press.
Schutz J. W. (1997), Independent axioms for Minkowski Space–time, Addison-Wesley Longman Press, ISBN 0-582-31760-6.
Tangherlini F. R (1936)., "Schwarzschild Field in n Dimensions and the Dimensionality of Space Problem", Nuovo Cimento journal, volume 14, issue 27, page 636.
Taylor E. F. and John A. Wheeler (1936), Spacetime Physics, W. H. Freeman Press, ISBN 0-7167-2327-1.

קישורים חיצוניים

Richard Phillips Feynman, Six Not So Easy Pieces, Published by 'Basic Books', a member of the Perseus Books Group. (מהרצאות פיינמן על פיזיקה).
Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Space and Time: Inertial Frames" by Robert DiSalle.

במהדורה ה-13 של אנציקלופדיה בריטניקה משנת 1926 הציג איינשטיין מאמר הנושא את הכותרת "מרחב-זמן": "Space–Time".
יואב בן-דב, כבידה ועיקום - תורת היחסות הכללית, בספר 'מבוא לפיזיקה: היסטוריה, תאוריות ומושגים'.
מאגר ידע, תורת היחסות - חלק 4, במדור "מאגר המדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 6 אפריל 2010
טרנספורמציות לורנץ במרחב מינקובסקי בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"
The fundamentals of space-time - סרטוני הסבר על יסודות המרחב-זמן: חלק 1, חלק 2 וחלק 3

הערות שוליים

^ בספרות המדעית העברית מכונה לעתים בשם "חלל-זמן".
^ עמוס הרפז, מושגים בתורת היחסות, הוצאת ספריית פועלים והוצאת הקיבוץ המאוחד, פרק ה', עמוד 51
^ Allen Catherine J., "When Utensils Revolt: Mind, Matter, and Modes of Being in the Pre-Columbian", 'Anthropology and Aesthetics journal', 1998, issue 33, pages 18–27
^ Joseph Louis Lagrange, "Theory of Analytic Functions" (1797, 1813)
^ "נאמר שלזמן יש ממד אחד בלבד ולמרחב שלושה ממדים... הקווטרניון המתמטי מערב את שני האלמנטים; אם משתמשים במונחים טכניים ניתן לכנות זאת 'זמן ומרחב', או 'מרחב וזמן': ובמובן זה לקווטרניון יש ארבעה ממדים, או שהוא לפחות מתייחס לארבעה-ממדים. כמו גם לצורה בה הממד האחד של הזמן והשלושה של המרחב, עשויים להיות חגורים בשרשרת הסימנים." מדברי המילטון, ראו: Geometric methods and applications: for computer science and" engineering",Jean H. Gallier, 2001, Chapter 8, page 249.
^ יובל נאמן, הפיזיקה של המאה העשרים, הוצאת משרד הביטחון, סדרת אוניברסיטה משודרת, 1984, עמוד 29, הערה 9
^ journal, Minkowski,"Raum und Zeit", Physikalische Zeitschrift, volume 10, pages 75–88
^ שקולות - כבמקרה של צירי האורך, רוחב וגובה הפורשים את המרחב התלת-ממדי הקרטזיאני.
^ ראו, סטיבן הוקינג עמוד 36-38
^ Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory (1920), chapter 17 באתר Bartleby.com
^ סטיבן הוקינג, קיצור תולדות הזמן, ספריית מעריב, עמוד 28-32
^ כהגדרה, מרחב שטוח הוא מרחב שניתן לתארו באמצעות מערכת קרטזית יישרת זווית, שמספר ציריה זהה למספר ממדי המרחב.
^ בהתקיים תכונה זו, לבחירה של ראשית הצירים וכיוונם אין משמעות מעבר לנוחות.
^ או יחידות cti כבמרחב מינקובסקי המקורי. ראו הסבר בהמשך, בהתייחסות לריבוע האינטרוול.
^ אחד הפוסטולטים המונחים בבסיס תורת היחסות הפרטית הוא פוסטולט 'אינוואריאנטיות מהירות האור', הקובע כי מהירות האור היא גודל גבולי וקבוע בכל מערכות הייחוס. את חוק הטבע הזה ביטאה התאוריה האלקטרומגנטית של מקסוול שנוסחה במאה ה-19, והוא הוכח מאוחר יותר בניסוי מייכלסון-מורלי. ראו, עמוס הרפז, עמוד 54.
^ הדיאגרמה מתארת תנועה על ציר מרחבי יחיד, תנועה חד-ממדית, ללא שינוי בצירי y ו- z, אך התיאור שהיא מציגה נותר כללי עבור כל תנועה מרחבית בקו ישר. ראו, עמוס הרפז 51
^ ראו, יובל נאמן, עמוד 24
^ מערכת ייחוס שבה מתקיימים שלושת חוקי התנועה של ניוטון, או בהגדרה אחרת, מערכת ייחוס שאינה מאיצה יחסית למערכת אינרציאלית אחרת
^ "אינווריאנטיות של תכונות גאומטריות של וקטורים מייצגת אינווריאנטיות של תכונות פיזיקליות של עצמים שאותן מייצגים הווקטורים". ראו, עמוס הרפז, עמוד 26
^ r הוא המרחק המרחבי המשוקלל.
^ במרחב מינקובסקי המקורי נעשה שימוש בציר זמן שיחידותיו הן $\ cti$ , כך שריבוע האורך של וקטור במרחב-זמן זה מייצג באופן טבעי את ריבוע האינטרוול. $\ i$ הוא המספר המדומה, שורשו של 1-.
^ $\ {\Delta S^{2}}$ יכול לקבל סימן פלוס או מינוס ולתאר אותה מערכת פיזיקלית בדיוק, כל עוד משתמשים באותה תוצרת סימון באופן עקבי. בחירת הסימון קובעת את סימני האינטרוולים דמויי המרחב והזמן - ראו, התייחסות בסעיפים הבאים.
^ עמוס הרפז, עמוד 48
^ ראו, עמוס הרפז (1988), עמוד 56
^ הטנזור המטרי מעניק למרחקים ולגדלים הפיזיקליים משמעות. הוא אשר קובע את יחסי המרחק במרחב עליו הוא מתייחס ומגדירו כמרחב מטרי. ראו, שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003
^ עמוס הרפז, עמוד 60
^ יובל נאמן, עמוד 28-9
^ עמוס הרפז, עמוד 68
^ קבוצת האיברים $\ ({\Delta r^{2}}+r^{2}{\Delta \theta ^{2}}+{\Delta z^{2}})$ מזוהה עם ריבוע המרחק במערכת גלילית תלת ממדית, ועל כן הרכיב שציינו הוא אשר מבטא את תוספת השינוי הזוויתי ביחס לזמן
^ מסלול זה נקרא גיאודזיה, ראו הסבר בהמשך
^ באופן דומה, האורך של גופים המונחים על פני הדיסקה ישתנה ביחס למערכת החיצונית, כתלות במיקומו. לדוגמה, אורכו של גוף המונח על פני הדיסקה במקביל לכיוון התנועה יתכווץ ביחס לאורכו במערכת החיצונית, כתלות במיקומו (זאת מאחר שמהירות זוויתית משמעה מהירות שונה לכל רדיוס); בעוד אורכו של גוף המונח בכיוון רדיאלי לתנועה יוותר זהה.
^ אם נתייחס לכך שמהירות קווית במערכת הדיסקה, ניתנת לביטוי כמכפלת המהירות הזוויתית במרחק ( $v=\omega r$ ), נמצא כי: $(1-r^{2}\omega ^{2}/c^{2})=1-v^{2}/c^{2}=1/\gamma ^{2}$ ; כאשר $\gamma$ הוא פקטור לורנץ אך במקרה זה אינו מהווה קבוע.
^ תוספת רכיבים מחוץ לאלכסון הראשי, משמעה שצירי המערכת אינם תמיד ניצבים זה לזה.
^ עמוס הרפז, עמודים 63-5
^ עמוס הרפז, עמוד 110
^ יובל נאמן, עמוד 30-31
^ שדה מעין זה קיים בקירוב באזורים קטנים במרחב; במובן זה, עקרון השקילות הוא עקרון מקומי.
^ לפני ניסוח תורת היחסות הכללית, ניסח ארנסט מאך טענה דומה בגרסו כי הכוחות האינרציאלים וכוחות הכבידה הם שניהם סוג של אינטראקציות בין מסות.
^ בהתאם לעקרון השקילות, כוחות הכבידה של מסות והכוחות הפועלים על גוף הנמצא במערכת מואצת, מהווים בתורת היחסות הכללית כוחות כבידה כלליים - שהם ביטוי לעקמומיות המרחב-זמן
^ הוקינג, עמוד 40
^ עמוס הרפז, עמוד 93
^ מעבר זה משימוש בקואורדינטות ברות החלפה, להתייחסות לגאומטריה הכללית (מכלול היחסים בין נקודות במרחב), מהווה צורה של יישום עקרון הקווריאנטיות.
^ "[היריעה] היא אוסף מסודר של נקודות אך ללא מידת מרחק פנימית. המשמעות היא שניתן לומר על נקודה א' שהיא משמאל לנקודה ב', אבל אין אפשרות למדוד את המרחק ביניהן. כדי לקבל מרחב בעל משמעות פיזיקלית יש להוסיף ליריעה מידע על יחסי המרחק בין הנקודות. המבנה המתמטי הנושא מידע זה נקרא המטריקה או הטנסור המטרי." שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003
^ צורה זו אינה מכילה את הקבוע הקוסמולוגי, $\Lambda$ , שאינו תלוי בחומר אלא במרחב בלבד. התצורה המכילה את הקבוע היא: $R_{uv}-{\frac {1}{2}}g_{uv}R+g_{uv}\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{uv}$
^ לפיתוח המשוואה נעזר איינשטיין בתורת המשטחים של גאוס ובעבודתו של רימן בתחום. כלל משוואות תורת היחסות עושות שימוש בחשבון טנזורים ואנליזה על יריעות
^ דו הסיטריות של המשוואה ואופיה מייצרים אי לינאריות, שכן שינוי באגף האחד עשוי להתבטא בשינוי גדול באגף השני. למעשה המשוואה תקפה לתיאור מכלול של אפשרויות ושל מעבר בניהן.
^ עמוס הרפז, עמוד 116
^ סטיבן הוקינג, 'קיצור תולדות הזמן', עמוד 37.
^ ניתן להתבונן בהשפעת הכבידה כבעיקום של ממש במרחב-על חמישה-ממדי, או רק כבשינוי יחסי הנקודות במרחב הארבעה-ממדי.
^ עמוס הרפז, עמודים 91-93
^ ראו Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory (1920), chapter 32 באתר bartleby.com
^ עמוס הרפז, עמוד 147
^ יובל נאמן, עמוד 34
^ יובל נאמן, עמוד 36
^ עמוס הרפז, עמודים 153, 156
^ סטיבן הוקינג, עמוד 53
^ והשווה להערתו של הרמב"ם: "והזמן עצמו גם כן מכלל הנבראים" (מורה נבוכים, חלק ב', פרק י"ג), וכוונתו שביחד עם "העולם", כלומר המרחב הפיזי, נברא גם הזמן עצמו, שעד לבריאה לא היה קיים כלל; ועל כן אין משמעות לשאלה "מה היה לפני הבריאה".
^ האפשרות כי המרחב והזמן עשויים להיות סופיים ובה בעת חסרי גבולות, נשענת על מיזוג תורת היחסות הכללית ועקרון אי הוודאות של הייזנברג (מעקרונות תורת הקוונטים). סטיבן הוקינג, עמוד 52
^ בהקשר זה, ראו למשל חומר אפל
^ סטיבן הוקינג, עמוד 49-52
^ כגון, חורים שחורים- המהווים מופע של סינגולריות מקומית -, ושל היקום זמן קצר אחר המפץ הגדול, בעת שממדיו היו זעירים ביותר – מופע של סינגולריות גלובלית.
^ טנזור רימן, עקמומיות ומסה אינסופית הם הגדלים ההופכים בעייתיים במקרה של נקודות סינגולריות, בייצרן גדלים אינסופיים. ראו, שחר דולב, 'גלילאו' 56, אפריל 2003; אליהו זערור (עורך), 'הפיזיקה של המילניום', עמוד 169.
^ אליהו עוזרר, עמוד 171
^ שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003
^ Carlo Rovelli Quantum spacetime: what do we know, 1999, p. 8
^ שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003
^ Carlo Rovelli Quantum spacetime: what do we know, 1999, p. 8
^ ¹ ² לי סמולין, אטומים של מרחב וזמן, באתר סיינטיפיק אמריקן ישראל

[1] בספרות המדעית העברית מכונה לעתים בשם "חלל-זמן".

[2] עמוס הרפז, מושגים בתורת היחסות, הוצאת ספריית פועלים והוצאת הקיבוץ המאוחד, פרק ה', עמוד 51

[3] Allen Catherine J., "When Utensils Revolt: Mind, Matter, and Modes of Being in the Pre-Columbian", 'Anthropology and Aesthetics journal', 1998, issue 33, pages 18–27

[4] Joseph Louis Lagrange, "Theory of Analytic Functions" (1797, 1813)

[5] "נאמר שלזמן יש ממד אחד בלבד ולמרחב שלושה ממדים... הקווטרניון המתמטי מערב את שני האלמנטים; אם משתמשים במונחים טכניים ניתן לכנות זאת 'זמן ומרחב', או 'מרחב וזמן': ובמובן זה לקווטרניון יש ארבעה ממדים, או שהוא לפחות מתייחס לארבעה-ממדים. כמו גם לצורה בה הממד האחד של הזמן והשלושה של המרחב, עשויים להיות חגורים בשרשרת הסימנים." מדברי המילטון, ראו: Geometric methods and applications: for computer science and" engineering",Jean H. Gallier, 2001, Chapter 8, page 249.

[6] יובל נאמן, הפיזיקה של המאה העשרים, הוצאת משרד הביטחון, סדרת אוניברסיטה משודרת, 1984, עמוד 29, הערה 9

[7] urnal, Minkowski,"Raum und Zeit", Physikalische Zeitschrift, volume 10, pages 75–88

[8] שקולות - כבמקרה של צירי האורך, רוחב וגובה הפורשים את המרחב התלת-ממדי הקרטזיאני.

[9] ראו, סטיבן הוקינג עמוד 36-38

[10] Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory (1920), chapter 17 באתר Bartleby.com

[11] סטיבן הוקינג, קיצור תולדות הזמן, ספריית מעריב, עמוד 28-32

[12] כהגדרה, מרחב שטוח הוא מרחב שניתן לתארו באמצעות מערכת קרטזית יישרת זווית, שמספר ציריה זהה למספר ממדי המרחב.

[13] בהתקיים תכונה זו, לבחירה של ראשית הצירים וכיוונם אין משמעות מעבר לנוחות.

[14] או יחידות cti כבמרחב מינקובסקי המקורי. ראו הסבר בהמשך, בהתייחסות לריבוע האינטרוול.

[15] אחד הפוסטולטים המונחים בבסיס תורת היחסות הפרטית הוא פוסטולט 'אינוואריאנטיות מהירות האור', הקובע כי מהירות האור היא גודל גבולי וקבוע בכל מערכות הייחוס. את חוק הטבע הזה ביטאה התאוריה האלקטרומגנטית של מקסוול שנוסחה במאה ה-19, והוא הוכח מאוחר יותר בניסוי מייכלסון-מורלי. ראו, עמוס הרפז, עמוד 54.

[16] הדיאגרמה מתארת תנועה על ציר מרחבי יחיד, תנועה חד-ממדית, ללא שינוי בצירי y ו- z, אך התיאור שהיא מציגה נותר כללי עבור כל תנועה מרחבית בקו ישר. ראו, עמוס הרפז 51

[17] ראו, יובל נאמן, עמוד 24

[18] מערכת ייחוס שבה מתקיימים שלושת חוקי התנועה של ניוטון, או בהגדרה אחרת, מערכת ייחוס שאינה מאיצה יחסית למערכת אינרציאלית אחרת

[19] "אינווריאנטיות של תכונות גאומטריות של וקטורים מייצגת אינווריאנטיות של תכונות פיזיקליות של עצמים שאותן מייצגים הווקטורים". ראו, עמוס הרפז, עמוד 26

[20] r הוא המרחק המרחבי המשוקלל.

[21] במרחב מינקובסקי המקורי נעשה שימוש בציר זמן שיחידותיו הן $\ cti$ , כך שריבוע האורך של וקטור במרחב-זמן זה מייצג באופן טבעי את ריבוע האינטרוול. $\ i$ הוא המספר המדומה, שורשו של 1-.

[22] $\ {\Delta S^{2}}$ יכול לקבל סימן פלוס או מינוס ולתאר אותה מערכת פיזיקלית בדיוק, כל עוד משתמשים באותה תוצרת סימון באופן עקבי. בחירת הסימון קובעת את סימני האינטרוולים דמויי המרחב והזמן - ראו, התייחסות בסעיפים הבאים.

[23] עמוס הרפז, עמוד 48

[24] ראו, עמוס הרפז (1988), עמוד 56

[25] הטנזור המטרי מעניק למרחקים ולגדלים הפיזיקליים משמעות. הוא אשר קובע את יחסי המרחק במרחב עליו הוא מתייחס ומגדירו כמרחב מטרי. ראו, שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003

[26] עמוס הרפז, עמוד 60

[27] יובל נאמן, עמוד 28-9

[28] עמוס הרפז, עמוד 68

[29] קבוצת האיברים $\ ({\Delta r^{2}}+r^{2}{\Delta \theta ^{2}}+{\Delta z^{2}})$ מזוהה עם ריבוע המרחק במערכת גלילית תלת ממדית, ועל כן הרכיב שציינו הוא אשר מבטא את תוספת השינוי הזוויתי ביחס לזמן

[30] מסלול זה נקרא גיאודזיה, ראו הסבר בהמשך

[31] באופן דומה, האורך של גופים המונחים על פני הדיסקה ישתנה ביחס למערכת החיצונית, כתלות במיקומו. לדוגמה, אורכו של גוף המונח על פני הדיסקה במקביל לכיוון התנועה יתכווץ ביחס לאורכו במערכת החיצונית, כתלות במיקומו (זאת מאחר שמהירות זוויתית משמעה מהירות שונה לכל רדיוס); בעוד אורכו של גוף המונח בכיוון רדיאלי לתנועה יוותר זהה.

[32] אם נתייחס לכך שמהירות קווית במערכת הדיסקה, ניתנת לביטוי כמכפלת המהירות הזוויתית במרחק ( $v=\omega r$ ), נמצא כי: $(1-r^{2}\omega ^{2}/c^{2})=1-v^{2}/c^{2}=1/\gamma ^{2}$ ; כאשר $\gamma$ הוא פקטור לורנץ אך במקרה זה אינו מהווה קבוע.

[33] תוספת רכיבים מחוץ לאלכסון הראשי, משמעה שצירי המערכת אינם תמיד ניצבים זה לזה.

[34] עמוס הרפז, עמודים 63-5

[35] עמוס הרפז, עמוד 110

[36] יובל נאמן, עמוד 30-31

[37] שדה מעין זה קיים בקירוב באזורים קטנים במרחב; במובן זה, עקרון השקילות הוא עקרון מקומי.

[38] לפני ניסוח תורת היחסות הכללית, ניסח ארנסט מאך טענה דומה בגרסו כי הכוחות האינרציאלים וכוחות הכבידה הם שניהם סוג של אינטראקציות בין מסות.

[39] בהתאם לעקרון השקילות, כוחות הכבידה של מסות והכוחות הפועלים על גוף הנמצא במערכת מואצת, מהווים בתורת היחסות הכללית כוחות כבידה כלליים - שהם ביטוי לעקמומיות המרחב-זמן

[40] הוקינג, עמוד 40

[41] עמוס הרפז, עמוד 93

[42] מעבר זה משימוש בקואורדינטות ברות החלפה, להתייחסות לגאומטריה הכללית (מכלול היחסים בין נקודות במרחב), מהווה צורה של יישום עקרון הקווריאנטיות.

[43] "[היריעה] היא אוסף מסודר של נקודות אך ללא מידת מרחק פנימית. המשמעות היא שניתן לומר על נקודה א' שהיא משמאל לנקודה ב', אבל אין אפשרות למדוד את המרחק ביניהן. כדי לקבל מרחב בעל משמעות פיזיקלית יש להוסיף ליריעה מידע על יחסי המרחק בין הנקודות. המבנה המתמטי הנושא מידע זה נקרא המטריקה או הטנסור המטרי." שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003

[44] צורה זו אינה מכילה את הקבוע הקוסמולוגי, $\Lambda$ , שאינו תלוי בחומר אלא במרחב בלבד. התצורה המכילה את הקבוע היא: $R_{uv}-{\frac {1}{2}}g_{uv}R+g_{uv}\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{uv}$

[45] לפיתוח המשוואה נעזר איינשטיין בתורת המשטחים של גאוס ובעבודתו של רימן בתחום. כלל משוואות תורת היחסות עושות שימוש בחשבון טנזורים ואנליזה על יריעות

[46] דו הסיטריות של המשוואה ואופיה מייצרים אי לינאריות, שכן שינוי באגף האחד עשוי להתבטא בשינוי גדול באגף השני. למעשה המשוואה תקפה לתיאור מכלול של אפשרויות ושל מעבר בניהן.

[47] עמוס הרפז, עמוד 116

[48] סטיבן הוקינג, 'קיצור תולדות הזמן', עמוד 37.

[49] ניתן להתבונן בהשפעת הכבידה כבעיקום של ממש במרחב-על חמישה-ממדי, או רק כבשינוי יחסי הנקודות במרחב הארבעה-ממדי.

[50] עמוס הרפז, עמודים 91-93

[51] ראו Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory (1920), chapter 32 באתר bartleby.com

[52] עמוס הרפז, עמוד 147

[53] יובל נאמן, עמוד 34

[54] יובל נאמן, עמוד 36

[55] עמוס הרפז, עמודים 153, 156

[56] סטיבן הוקינג, עמוד 53

[57] והשווה להערתו של הרמב"ם: "והזמן עצמו גם כן מכלל הנבראים" (מורה נבוכים, חלק ב', פרק י"ג), וכוונתו שביחד עם "העולם", כלומר המרחב הפיזי, נברא גם הזמן עצמו, שעד לבריאה לא היה קיים כלל; ועל כן אין משמעות לשאלה "מה היה לפני הבריאה".

[58] האפשרות כי המרחב והזמן עשויים להיות סופיים ובה בעת חסרי גבולות, נשענת על מיזוג תורת היחסות הכללית ועקרון אי הוודאות של הייזנברג (מעקרונות תורת הקוונטים). סטיבן הוקינג, עמוד 52

[59] בהקשר זה, ראו למשל חומר אפל

[60] סטיבן הוקינג, עמוד 49-52

[61] כגון, חורים שחורים- המהווים מופע של סינגולריות מקומית -, ושל היקום זמן קצר אחר המפץ הגדול, בעת שממדיו היו זעירים ביותר – מופע של סינגולריות גלובלית.

[62] טנזור רימן, עקמומיות ומסה אינסופית הם הגדלים ההופכים בעייתיים במקרה של נקודות סינגולריות, בייצרן גדלים אינסופיים. ראו, שחר דולב, 'גלילאו' 56, אפריל 2003; אליהו זערור (עורך), 'הפיזיקה של המילניום', עמוד 169.

[63] אליהו עוזרר, עמוד 171

[64] שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003

[65] Carlo Rovelli Quantum spacetime: what do we know, 1999, p. 8

[66] שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003

[67] Carlo Rovelli Quantum spacetime: what do we know, 1999, p. 8

[סמולין-68] ¹ ² לי סמולין, אטומים של מרחב וזמן, באתר סיינטיפיק אמריקן ישראל

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]