חבורה אלגברית פשוטה

בתורת החבורות האלגבריות, חבורות אלגבריות פשוטות מהוות מחלקה של חבורות אלגבריות. הן מהוות את חלק הארי מ"אבני הבניין של חבורות אלגבריות". למושג חבורות אלגבריות פשוטות יש שתי הגדרות לא שקולות אבל דומות. חבורות אלגבריות פשוטות (לפי ההגדרה המצומצמת יותר) הן אובייקטים פשוטים בקטגוריית החבורת האלגבריות. ההפך אינו נכון אך הפער אינו מהותי.

חבורות כמעט פשוטות

חבורה אלגברית נקראת כמעט פשוטה אם היא מקיימת את התנאים הבאים:

• היא איננה סופית
• היא איננה קומוטטיבית
• אין לה תת חבורה נורמלית נאותה אין-סופיות.

חבורות כמעט פשוטות הן קשירות.

לעיתים חבורות כמעט פשוטות מכונות "חבורות פשוטות" לפי טרמנולגיה זו מכנים חבורות פשוטות כ"חבורות פשוטות חסרות מרכז".

חבורות פשוטות

חבורה כמעט פשוטה נקראת פשוטה אם אין לה תתי-חבורות נורמליות נאותות לא טרוויאליות. חבורת המנה $Ad(G)$ של חבורה כמעט פשוטה $G$ על פי המרכז שלה היא פשוטה.

חבורות כמעט פשוטות פשוטות קשר

אם חבורה אלגברית $G$ היא מנה של חבורה אלגברית ${\tilde {G}}$ על-פי תת-חבורה סופית אז אומרים ש-${\tilde {G}}$ היא כיסוי של $G$. הכסוי נקרא טריוויאלי אם המנה היא על פי תת-חבורה טריוויאלית. אם ל - ${\tilde {G}}$ אין כיסוויים לא טריוויאליים אז אומרים ש ${\tilde {G}}$ פשוטת קשר.

קשר בין המושגים

לכל חבורה פשוטה יש מספר סופי של כיסויים. בדיוק אחד מהם הוא פשוט קשר. כך שיש בייקציה בין חבורות פשוטות ובין חבורת כמעט פשוטות פשוטות קשר. כל חבורה כמעת פשוטה $G$ "כלואה" בין חבורה כמעט פשוטה פשוטת קשר ${\tilde {G}}$ וחבורה פשוטה $Ad(G)$ במובן הבא: ישנן איזוגניות (זאת אומרת העתקות מנה בתת-חבורה סופית) $${\tilde {G}}\to G\to Ad(G)$$. החבורת ${\tilde {G}}$ ו - $Ad(G)$ מוגדרות ביחידות על ידי $G$. החבורה $Ad(G)$ היא המנה של $G$ על פי המרכז שלה ו - ${\tilde {G}}$ נקראת הכיסוי האוניברסלי של $G$.

קשר לחבורות פשוטות למחצה

כל חבורה כמעט פשוטה היא פשוטה למחצה ובפרט ליניארית. כמו כן, כל חבורה (קשירה) פשוטה למחצה היא מנה, על פי תת-חבורה מרכזית סופית, של מכפלה של חבורות כמעט פשוטות פשוטות קשר.

חבורות פשוטות מתפצלות

חבורה אלגברית רדוקטיבית נקראת חבורה מתפצלת אם יש לה טורוס מקסימלי שהוא טורוס מתפצל. מעל שדה סגור אלגברית, כל חבורה רדוקטיבית היא חבורה מתפצלת. החבורת הפשוטות המתפצלות (ובהתאם גם החבורות הכמעט פשוטות פשוטות קשר מתפצלות) ממוינות על ידי דיאגרמות דינקין. להלן המיון של חבורות כמעט פשוטות מתפצלות:

דיאגרמת דינקין	חבורה פשוטה	חבורה כמעט פשוטה פשוטת קשר	חבורות כמעת פשוטות
$A_{n}$	$PSL_{n+1}$	$SL_{n+1}$	כל מנה של $SL_{n+1}$ על פי תת-חבורה של המרכז שלה (החבורה הציקלית על $n+1$ איברים)
$B_{n}$	$PSO_{n,n}$	$Spin_{n,n}$	$Spin_{n,n}$, $PSO_{n,n}$, ו - $SO_{n,n}$
$C_{n}$	$PSP_{2n}$	$SP_{2n}$	$SP_{2n}$ ו - $PSP_{2n}$
$D_{n}$	$PSO_{n,n+1}$	$Spin_{n,n+1}$	$Spin_{n,n+1}$, $PSO_{n,n+1}$, ו - $SO_{n,n+1}$
$E_{6}$	$E_{6}$ הפשוטה	$E_{6}$ פשוטת הקשר	$E_{6}$ הפשוטה ו - $E_{6}$ פשוטת הקשר
$E_{7}$	$E_{7}$ הפשוטה	$E_{7}$ פשוטת הקשר	$E_{7}$ הפשוטה ו- $E_{7}$ פשוטת הקשר
$E_{8}$	$E_{8}$	$E_{8}$	$E_{8}$
$F_{4}$	$F_{4}$	$F_{4}$	$F_{4}$
$G_{2}$	$G_{2}$	$G_{2}$	$G_{2}$

חבורות פשוטות אבסולוטית

חבורה נקראת פשוטה אבסולוטית אם לאחר הרחבת סקלרים לסגור האלגברי היא נותרת חבורה פשוטה . לא כל חבורה פשוטה היא פשוטה אבסולוטית: לדוגמה צמצום סקלרים (תחת הרחבה ספרבילית סופית) של חבורה פשוטה היא פשוטה אך לא פשוטה אבסולוטית.

חבורה מתפצלת פשוטה תמיד פשוטה אבסלוטית. חבורה פשוטה אבסולוטית היא צורה של חבורה פשוטה מתפצלת.

באופן כללי יותר, חבורה פשוטה היא צורה של חזקה של חבורה פשוטה מתפצלת

כל הדברים בפרק זה תקפים גם כשמחליפים חבורת פשוטות לבחבורות כמעט פשוטות או בחבורות כמעט פשוטות פשוטות קשר.

קשר לאובייקטים פשוטים בקטגוריית החבורות האלגבריות

לפי ההגדרה אובייקט פשוט בקטגוריית החבורות האלגבריות היא חבורה אלגברית $G$ שיש לה בדיוק 2 תת-חבורות נורמליות: $G$ והחבורה הטריוויאלית. מנקודת מבט קטגורית, זה המושג המקביל לחבורה פשוטה רגילה. אולם מושג זה לא שקול למושג "חבורה אלגברית פשוטה". קל לראות שכל חבורה אלגברית פשוטה היא אובייקט פשוט בקטגוריית החבורות האלגבריות. אולם יש עוד 2 סוגים של אובייקטים פשוטים בקטגוריית החבורות האלגבריות שאינים חבורות פשוטות:

• חבורות אלגבריות סופיות פשוטות: מעל שדה סגור אלגברית אלו הן החבורת הפשוטות הסופיות. מעל שדה כללי הסיטואציה מעט יותר מורכבת אך דומה.
• במציין - 0, חבורות אוניפונטיות קמוטטיביות המהוות אובייקטים פשוטים. מעל שדה סגור אלגברית מדובר רק בחבורה החיבורית $\mathbb {G} _{a}$.

בתור אבני הבניין של חבורות אלגבריות

עבור חבורה רגילה נוצרת סופית, משפט ז'ורדן-הלדר מבטיח את קיומה של סדרה נורמלית שגורמים שלה הן חבורת פשוטות. טענה כזאת לא נכונה עבור חבורות אלגבריות, גם אם במקום חבורות פשוטות אנחנו מאפשרים גורמים שהם אובייקטים פשוטים. את זאת קל לראות מהתבוננות בחבורה הכפלית $\mathbb {G} _{m}$ למשל. היא איננה אובייקט פשוט (יש לה תתי חבורות סופיות נורמליות לרוב) אבל המנה שלה על פי כל חבורה נורמלית נאותה שלה איזומורפית ל - $\mathbb {G} _{m}$ בעצמה. כך שלא נוכל "להתקדם" לקראת הסדרה הנורמלית הנדרשת.

אולם, ניתן להראות שעבור חבורה אלגברית $G$ קיימת סדרה נורמלית שגורמיה הם מהצורה הבאה:

• חבורות אלגבריות פשוטות
• חבורות אלגבריות סופיות פשוטות
• חבורות אוניפונטיות קמוטטיביות אינסופיות שאין להן תת-חבורות נורמליות נאותות אינסופיות. מעל שדה סגור אלגברית מדובר רק בחבורה החיבורית $\mathbb {G} _{a}$.
• טורוסים כמעט פשוטים (זאת אומרת טורוסים ללא תתי-חבורות אינסופיות). מעל שדה סגור אלגברית מדובר ב - $\mathbb {G} _{m}$ בלבד.
• יריעות אבליות כמעט פשוטות (זאת אומרת יריעות אבליות ללא תתי-חבורות אינסופיות)

אוסף הגורמים של סדרה זו אינו מוגדר ביחידות (כפי שאפשר לראות מהדוגמה של $\mathbb {G} _{m}$ למעלה) אולם בהוספת דרישות מינימליות מתאימות ניתן להפוך את אוסף הגורמים של הסדרה להיות מוגדר ביחידות (כמו במשפט ז'ורדן-הולדר)

קשר לחבורות סופיות מטיפוס לי

בהינתן חבורה אלגברית רדוקטיבית $G$ (קשירה בדרך כלל) המוגדרת מעל שדה סופי $F$ חבורת הנקודות שלה $G(F)$ נקראת חבורה סופית מטיפוס לי. גם חבורות סופיות נוספות המתקבלות מחבורות אלה בפרוצדורות אלגבריות מסוימות נקראות חבורות סופיות מטיפוס לי. בדרך כלל מתמקדים בחבורות מטיפוס לי שמקורן בחבורה כמעט פשוטה $G$. ככלל חבורות לי כאלו אינן פשוטות (גם אם $G$ פשוטה) אך קל לקבל מהן חבורות פשוטות באופן הבא:

בהינתן חבורה אלגברית כמעט פשוטה $G$ המוגדרת מעל שדה סופי $F$ נתבונן בהעתקה ${\tilde {G}}\to Ad(G)$ שהוגדרה מעלה. העתקה זו משרה העתקה בין חבורת הנקודות ${\tilde {G}}(F)\to Ad(G)(F)$ נסמן את התמונה של העתקה זו ב - $\Gamma$.

משפט: למעט מספר סופי של מקרים $\Gamma$ היא חבורה פשוטה.

חבורות פשוטות המתקבלות כך נקראות חבורות פשוטות מטיפוס לי. חבורות פשוטות מטיפוס לי מהוות את עיקר החבורות הפשוטות. מלבדן יש רק עוד את חבורות התמורות הזוגיות ואת 26 החבורות הספורדיות.

הערות:

1. ישנן עוד 3 סדרות של חבורות פשוטות מטיפוס לי שאינן מתקבלות בדרך זו בדיוק. הן מתקבלות כחבורות נקודות שבת של אוטומורפיזמים (מסוימים) של חבורות כאלה. חבורת אלו נקראות חבורות רי (חבורת מאחת משלושת הסדרות האלה נקראות גם חבורות סוזוקי). גם כאן, למעט מספר סופי של מקרים, חבורת רי הן פשוטות. באחד מהמקרים בהם חבורת סוזוקי אינה פשוטה, החבורה הנגזרת שלה היא פשוטה, ולא ניתן לקבל אותה בצורות שתוארו מעלה. חבורה פשוטה זאת נקראת חבורת טיץ (Tits). גם היא נחשבת בדרך כלל לחבורה פשוטה מטיפוס לי.
2. לעיתים 2 חבורות פשוטות המתקבלות בדרך זו (עבור זוגות שונים של $G$ ו - $F$) אזומורפיות. דבר זה קורה במספר סופי של מקרים.
3. למרות שההעתקה ${\tilde {G}}\to Ad(G)$ היא על ההעתקה ${\tilde {G}}(F)\to Ad(G)(F)$ איננה על.
4. החבורות $G(F)$, ${\tilde {G}}(F)$, $Ad(G)(F)$ כולן בעלות אותו מספר איברים. למעשה גם יש להן את אותם גורמי ז'ורדן-הלדר. אולם הסדר של הגורמים שונה (ככלל): $\Gamma$ מופיעה כתת-חבורה ב - $Ad(G)(F)$, כחבורת מנה ב - ${\tilde {G}}(F)$ וכתת-מנה ב - ${\tilde {G}}(F)$. יתר גורמי ז'ורדן-הלדר של שלושת חבורות אלה הם קמוטטיביים.

לקריאה נוספת

• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, MR 1642713
• Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, MR 1102012
• Humphreys, James E. (1975), Linear Algebraic Groups, Springer, ISBN 0-387-90108-6, MR 0396773
• Conrad, Brian (2014), "Reductive group schemes" (PDF), Autour des schémas en groupes, vol. 1, Paris: Société Mathématique de France, pp. 93–444, ISBN 978-2-85629-794-0, MR 3309122

קישורים חיצוניים

• De Medts, Tom (2019), Linear Algebraic Groups (course notes) (PDF), Ghent University