טורוס אלגברי

במתמטיקה ובפרט בגאומטריה אלגברית טורוס הוא חבורה אלגברית שלאחר הרחבת סקלרים לסגור האלגברי, היא חזקה של החבורה הכיפלית $\mathbb {G} _{m}$. תנאי זה שקול להיות החבורה חבורה אלגברית רדוקטיבית וחילופית (וקשירה). זה גם שקול לכך שכל הצגה אלגברית מתפרקת לסכום ישר של הצגות חד-ממדיות. לפי ההגדרה, טורוס הוא תמיד חבורה אלגברית ליניארית.

חזקה של החבורה הכיפלית נקראת טורוס מתפצל.

מעל שדה מושלם ניתן למיין טורוסים על ידי פעולות של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה ההגדרה על סריגים.

לטורסים תפקיד חשוב בתורת המבנה של חבורות רדוקטיביות. טורוס שהוא תת-חבורה של חבורה הרדוקטיבית $G$ נקרא טורס של $G$. ניתן לחקור חבורות רדוקטיביות באמצעות הטורוסים המקסימליים (ביחס להכלה) שלהם. אם שדה ההגדרה ממציין 0, אז הטורוס המקסמלי הוא יחיד עד-כדי הצמדה. טורוס מקסימלי נקרא גם תת-חבורת קרטאן.

קשר עם טורוס בטופולוגיה

עם שדה ההגדרה הוא $\mathbb {R}$ אז קיימת צורה $U_{1}$ של $G_{m}$ כך שחבורת הנקודות הממשיות $U_{1}(\mathbb {R} )$ של $U_{1}$ איזומרפית כחבורת לי למעגל היחידה במישור המרוכב (כאשר פעולת החבורה על מעגל היחידה היא כפל של מספרים מרוכבים). בהתאם חבורת הנקודות של הטורוס (האלגברי) $U_{1}^{n}$ איזומורפית לטורוס (הטופולוגי) ה-$n$-ממדי.

באופן כללי יותר, מעל $\mathbb {R}$, לכל חבורה רדוקטיבית יש צורה יחידה שקבוצת הנקודות שלה היא קופמפקטית. צורה זו נקראת הצורה הקומפקטית של החבורה. חבורת הנקודות של הצורה הקומפקטית של טורוס המוגדר מעל $\mathbb {R}$ היא טורוס טופולוגי.

ראו גם

• יריעה טורית

לקריאה נוספת

• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, MR 1642713
• Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, MR 1102012
• Humphreys, James E. (1975), Linear Algebraic Groups, Springer, ISBN 0-387-90108-6, MR 0396773
• Conrad, Brian (2014), "Reductive group schemes" (PDF), Autour des schémas en groupes, vol. 1, Paris: Société Mathématique de France, pp. 93–444, ISBN 978-2-85629-794-0, MR 3309122

קישורים חיצוניים

• De Medts, Tom (2019), Linear Algebraic Groups (course notes) (PDF), Ghent University

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.