תחום בזו

בתורת החוגים, תחום בֶּזוּ הוא תחום שלמות שהוא חוג בזו, כלומר, כל אידיאל נוצר סופית שלו הוא אידיאל ראשי. תחום שלמות הוא חוג ראשי אם ורק אם הוא חוג בזו נתרי. החוגים נקראים כך על-שם המתמטיקאי הצרפתי Étienne Bézout ‏(1730-1783).

את ההגדרה אפשר לנסח גם כך: תחום שלמות הוא חוג בזו, אם לכל שני איברים יש מחלק משותף מקסימלי שניתן להציג כצירוף ליניארי של שני האיברים. בפרט, כל תחום בזו הוא תחום gcd.

מבוא

בתחילת דרכה של תורת החוגים, המושג "חוג" התייחס לקבוצות מיוחדות של מספרים אלגבריים, והאידיאלים כונו "מספרים אידיאליים". במונחים המודרניים, אותן קבוצות של מספרים הן תחומי שלמות, וההתאמה בין אידיאלים ומספרים היא התאמה מושלמת רק בסוג מיוחד של תחומי שלמות: חוגים ראשיים. באלו, כל אידיאל נוצר על ידי איבר של החוג, דהיינו, עבור a מתאים, האידיאל כולל בדיוק את הכפולות של a.

את התכונה הזו של חוגים ראשיים אפשר לפרק לשניים (בדומה לפירוק של תכונת הקומפקטיות לקומפקטיות מנייתית ותכונת לינדלוף): ראשית, נדרוש שכל אידיאל יהיה נוצר סופית; ושנית, שכל אידיאל נוצר סופית יהיה נוצר על ידי איבר אחד. התכונה הראשונה נקראת "תכונת נתר", והשנייה - תכונת בזו. כלומר, תחום שלמות הוא ראשי בדיוק כאשר הוא נותרי ומקיים את תכונת בזו.

באינדוקציה אפשר להוכיח שתחום שלמות $R$ הוא תחום בזו, אם לכל $a,b\in R$ קיים $d\in R$ כך ש- $Ra+Rb=Rd$.

תכונות של חוגי בזו

מחלק משותף מקסימלי

בתחום שלמות, אומרים שאיבר $d$ הוא "מחלק משותף מקסימלי" של זוג איברים $a,b$ אם איבר x של החוג מחלק את $a$ ואת $b$ אם ורק אם הוא מחלק את $d$. תחום שבו יש לכל שני איברים מחלק משותף מקסימלי נקרא "תחום gcd"; בתחום כזה יש לכל שני איברים גם "כפולה משותפת מינימלית" (איבר $m$ שתכונתו היא שאיבר $y$ מתחלק ב-$a$ וב-$b$ אם ורק אם הוא מתחלק ב-$m$).

כל תחום בזו הוא תחום gcd, משום שאם $Ra+Rb=Rd$, אז $d$ הוא מחלק משותף מקסימלי של $a$ ו-$b$ (ו-${\frac {ab}{d}}$ הוא כפולה משותפת מינימלית שלהם). בתחום בזו, הכפולה המשותפת המינימלית של $a$ ו-$b$ היא היוצר של האידיאל $Ra\cap Rb$. מאידך, חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה, $F[x,y]$, הוא חוג gcd שאינו חוג בזו.

כל חוג $R$ שהוא חוג gcd ניתן ל"שיכון בעל אינרציה" בחוג בזו $B(R)$. שיכון הוא בעל אינרציה, אם אין בו פירוקים חדשים, דהיינו, אם $a=a_{1}a_{2}\in R$ עבור $a_{1},a_{2}\in B(R)$, אז הגורמים $a_{1},a_{2}\in R$.

הקשר לשדה השברים

אם $R$ תחום בזו ו-$F$ שדה השברים שלו, אז כל חוג-ביניים $\ R\subseteq T\subseteq F$ הוא חוג בזו; יתרה מזו, כל חוג כזה הוא מיקום של $R$, מהצורה $\ S^{-1}R$ עבור מונואיד $S$ של איברים ב-$R$.

תחום בזו (כמו כל תחום gcd) הוא תחום שלם אלגברית, או "תחום נורמלי" - כל איבר של $F$ שהוא שלם אלגברי מעל $R$, שייך ל-$R$.

תחומי בזו מקומיים

תחום שלמות הוא תחום הערכה אם ורק אם הוא חוג בזו מקומי.

חוגי פרופר

כל תחום בזו הוא תחום פרופר (Prüfer domain); זוהי הכללה של תחומי דדקינד, ולמעשה תחום דדקינד אינו אלא תחום פרופר נתרי. בדומה לזה תחום בזו אינו אלא תחום פרופר שהוא גם חוג gcd. מאידך, תחום שלמות הוא ראשי אם ורק אם הוא תחום בזו נתרי (או לחלופין תחום פריקות יחידה שהוא גם חוג דדקינד (ולכן נתרי)).

דוגמאות

החוגים $R=F[x,x^{1/2},x^{1/3},\dots ]$ ו-$T=\mathbb {Z} +x\mathbb {Q} [x]$ הם תחומי בזו שאינם נותריים, ולכן אינם ראשיים. הראשון הוא איחוד של תת-חוגים ראשיים, והשני אינו כזה.

תחומי בזו וטיפוסי חוגים אחרים

תחום בזו הוא תחום ראשי אם ורק אם הוא אטומי.

חוג $R$ הוא תחום בזו אם ורק אם הוא חוג gcd וגם חוג קדם-בזו (תחום שלמות שבו כל שני איברים זרים הם גם מקסימליים הדדית).

נניח ש-$R$ תחום שלמות ו-$R=\cap v_{i}$ כאשר ה-$v_{i}$ חוגי הערכה המוכלים בשדה השברים של $R$. אז כל $v_{i}$ הוא מהצורה $R_{P}$ עבור $P\vartriangleleft R$ ראשוני ו-$R$ הוא תחום בזו. אם, בנוסף, חוגי ההערכה אינם מוכלים זה בזה, אז ה-$P$-ים הללו הם בדיוק האידיאלים המקסימלים של $R$.

יהי $R$ חוג דדקינד, $K$ שדה השברים שלו, $L$ הסגור האלגברי של $K$ ו-$T$ הסגור השלם של $R$ ב-$L$. נניח שבכל הרחבה אלגברית סופית של $K$, לחוג השלמים יש חבורת מחלקות מפותלת. אז $T$ הוא חוג בזו. בפרט (אם בוחרים $\ R=\mathbb {Z} ,K=\mathbb {Q} ,L={\overline {\mathbb {Q} }}$), חוג השלמים האלגבריים הוא תחום בזו.

לקריאה נוספת

• Fuchs, Laszlo - Modules Over Valuation Domains (Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics) 1985

• Iirving Kaplansky, Commutative Rings, Allyn and Bacon, Boston, 1970

• P.M.Cohn, Bezout rings and their subrings, Proc. Camb. Phil. Soc. (1968), 64, 251