מונואיד (מבנה אלגברי)

מונואיד הוא מבנה אלגברי הכולל קבוצה, פעולה בינארית אסוציאטיבית, ואיבר יחידה. למונואיד חסרה תכונה אחת כדי להפוך לחבורה: התכונה שכל האיברים הפיכים.

יש שני מונואידים (עד כדי איזומורפיזם) מסדר 2, 7 מסדר 3, 35 מסדר 4, 228 מסדר 5 ו-2237 מסדר 6 [1].

דוגמאות

דוגמאות למונואידים:

• קבוצת המספרים הטבעיים, היא מונואיד ביחס לחיבור (כולל 0), ומונואיד ביחס לכפל.
• אוסף המורפיזמים מאובייקט בקטגוריה לעצמו, עם פעולת ההרכבה, הוא מונואיד. למשל:
  • אוסף הפונקציות מקבוצה לעצמה, הוא מונואיד ביחס לפעולת ההרכבה.
  • אוסף ההומומורפיזמים מחבורה לעצמה, הוא מונואיד ביחס לפעולת ההרכבה.
  • אוסף ההומומורפיזמים מחוג לעצמו, הוא מונואיד ביחס לפעולת ההרכבה.
  • אוסף ההומיאומורפיזמים ממרחב טופולוגי לעצמו, הוא מונואיד ביחס לפעולת ההרכבה.
• אם $R$ הוא חוג, אז הוא מונואיד ביחס לפעולת הכפל.
• האוסף של מילים סופיות באלפבית $X$, ביחס לפעולת השרשור (זהו המונואיד החופשי על $X$, ראו חבורה חופשית).

איברים במונואיד

במונואיד, איבר $a$ הוא "הפיך מימין" אם קיים $c$ כך שמתקיים $ac=1$ (אז $c$ נקרא "הפכי מימין" של $a$), ו"הפיך משמאל" אם קיים $b$ כך שמתקיים $ba=1$ (אז $b$ "הפכי משמאל" של $a$). ייתכנו במונואיד איברים שהם הפיכים מימין אבל לא משמאל, או להפך. ההפכי מימין אינו בהכרח יחיד, וכן להפכי משמאל. לעומת זאת, איבר שהוא גם הפיך מימין וגם הפיך משמאל מוכרח להיות הפיך (כלומר, קיים $d$ כך שמתקיים $ad=da=1$), ואז יש לו הפכי יחיד מימין השווה להפכי היחיד משמאל; איבר זה נקרא ה'הפכי' של $a$ ומסומן ב-$a^{-1}$. מונואיד שבו כל האיברים הפיכים נקרא חבורה.

מבנים במונואיד

במונואיד אפשר להגדיר תת-מונואיד בדומה לתת-חבורה של חבורה: תת-קבוצה $S$, המכילה את איבר היחידה, מהווה תת-מונואיד אם היא סגורה לכפל (כלומר, לכל $a,b\in S$ גם $ab\in S$). אוסף האיברים ההפיכים במונואיד מהווה תת-מונואיד, שהוא גם חבורה (זו נקראת 'חבורת ההפיכים במונואיד'). בדומה להגדרה בחוגים, אפשר להגדיר במונואיד אידיאל (ימני, שמאלי, או דו-צדדי), וגם 'מונואיד מנה' ביחס לאידיאל. האידיאל המינימלי של מונואיד קומוטטיבי (כלומר, חיתוך כל האידיאלים של המונואיד), הוא חבורה.

מונואידים עם צמצום

הסרת האקסיומה על קיום הפכיים גורמת לכך שהמבנה של מונואידים הרבה יותר מסועף מזה של חבורות. לשם המחשה, ישנם 2237 מונואידים שונים בעלי שישה איברים (ורק שתי חבורות מסדר זה). באמצע הדרך בין המונואידים הכלליים לבין החבורות עומדים מונואידים עם צמצום: כאלה שבהם מ-$ax=ay$ נובע $x=y$ (זהו "צמצום משמאל"), ומ-$xa=ya$ נובע $x=y$ (צמצום מימין). לדוגמה, כל מונואיד המוכל בחבורה מקיים את תכונת הצמצום.

השיכון ההדוק ביותר הוא ב"חבורת שברים", היינו כזו שכל איבר שלה הוא מהצורה $a^{-1}b$, כאשר $a,b$ שייכים למונואיד; שיכון כזה קיים אם ורק אם המונואיד מקיים את תנאי אור (Ore's condition): לכל $a,b$ יש איברים $x,y$ כך ש-$xa=yb$. מונואיד עם צמצום המקיים איזושהי זהות (כגון $x_{1}x_{2}x_{2}x_{1}x_{2}x_{2}=x_{2}x_{2}x_{1}x_{2}x_{2}x_{1}$, ובפרט: כל מונואיד קומוטטיבי עם צמצום), או שיש לו גידול תת-אקספוננציאלי, מקיים את תנאי אור.

באופן כללי, השאלה האם מונואיד עם צמצום הנתון לפי הצגה סופית שלו ניתן לשיכון בחבורה, אינה כריעה. עבור מונואידים סופיים התשובה תמיד חיובית (די להניח צמצום משמאל. הוכחה: יהי $M$ מונואיד כזה. לכל $a\in M$, הפונקציה $f:M\rightarrow M$ המוגדרת על ידי $f(x)=ax$ היא פונקציה הפיכה (לפי הצמצום), ולפי הסופיות היא מוכרחה להיות על. בפרט קיים איבר $b\in M$ כך ש-$ab=f(b)=1$, ובמלים אחרות כל איבר $a$ הוא הפיך מימין. בפרט, האיבר $b$ המקיים $ab=1$ הפיך מימין, אבל השוויון מראה שהוא גם הפיך משמאל. כאיבר הפיך מימין ומשמאל הוא הפיך, ו-$a$ הוא ההפכי שלו. לכן גם $a$ הפיך, ו-$M$ הוא חבורה). ב-1960 נתן Adian קריטריון קומבינטורי על ההצגה, המבטיח שיכון כזה (אבל אינו הכרחי).

מאידך, יש מונואידים עם צמצום (מימין ומשמאל) שאינם ניתנים לשיכון בתוך חבורה (אפילו כזו שאינה חבורת שברים). מלצב נתן סדרה אינסופית של תנאים שמונויד המקיים אותם משוכן בחבורה, והראה שתת-קבוצה סופית של התנאים האלה אינה מספיקה.

מונואידים בתורת ההצגות

מונואידים מופיעים באופן טבעי בתורת ההצגות של חוגים, באופן הבא. יהי $R$ חוג. נתבונן במודולים מעל $R$ (עד כדי איזומורפיזם), עם פעולת החיבור שמגדיר הסכום הישר. זוהי פעולה אסוציאטיבית וקומוטטיבית, עם מודול האפס כאיבר יחידה. תורת ההצגות חוקרת בין השאר מנות של המונואיד הזה, כשהדוגמה החשובה ביותר היא חבורת גרותנדיק שלו, המגדירה את הפונקטור K0.

בהקשר זה הוגדרו כמה תכונות מופשטות של מונואידים, שמתקיימות במונואידים מתורת ההצגות אם מניחים די הנחות על החוג. להלן כמה דוגמאות.

• המונואיד הוא קוני (או מצומצם) אם מ-$x+y=0$ נובע $x=y=0$.
• למונואיד יש יחידת סדר אם יש בו איבר $u$, כך שלכל $x$ קיים $y$ כך ש-$x+y=nu$ עבור שלם מתאים $n$.
• המונואיד ניתן לעידון (refinement monoid) אם לכל שוויון $a_{1}+a_{2}=b_{1}+b_{2}$ קיימים $x_{ij}$ כך ש-$a_{i}=x_{i1}+x_{i2},\,b_{j}=x_{1j}+x_{2j}$.
• המונואיד מפריד (separative) אם מ-$x+x=x+y=y+y$ נובע $x=y$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מונואיד בוויקישיתוף

• מונואיד, באתר MathWorld (באנגלית)