בתורת החוגים, לוקליזציה (לעיתים רחוקות מכונה בעברית מיקום) היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג
ותת קבוצה של איברי החוג,
, רוצים לבנות חוג חדש
והעתקת חוגים מ-
ל-
כך שכל אחד מאיברי
יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב-
. יתר על כן, דורשים כי
יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש-*R הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי
, או אם
, כאשר
הוא אידיאל ראשוני, על ידי
.
יהי
חוג קומוטטיבי, ותהי תת-קבוצה
ללא האפס וסגורה כפלית, כלומר, אם
אז
, וכמו כן נניח כי
. על הקבוצה
נחשוב כעל קבוצת שברים
. נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי
אם קיים
כך ש
. אם R תחום שלמות דרישה זו שקולה ל-
, בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה
ואיבר היחידה יהיה
. (חוגים בלי יחידה, ניתן להגדיר את היחידה והאפס למשל כך -
, עם
).
על קבוצת המנה
נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי:
.
על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב
מקבלת מבנה של חוג, הנקרא הלוקליזציה של
.
ההעתקה
הנתונה על ידי
היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב-S לאיבר הפיך.
אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג ה'מינימלי' בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג
אחר עם מונומורפיזם
וכך שתמונות איברי
הפיכים ב
, אז בהכרח קיים מונומורפיזם
. כך ש-
, כאשר
הוגדרה לעיל.
הוכחה: נגדיר ישירות את
על פי הכלל:
. קל לבדוק כי הוא מוגדר היטב, מהווה מונומורפיזם חוגים, והדיאגרמה אכן קומוטטיבית -
.
פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים
. יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים
, ולמעשה אומר שבנינו הוא אובייקט אוניברסלי, ולכן גם יחיד עד כדי איזומורפיזם.
הלוקליזציה מקבלת בירושה תכונות של חוג הבסיס.
ראשית, אם
אידיאל, גם
אידיאל. בכיוון ההפוך, אם
אידיאל, אז
עבור
. כלומר, יש התאמה בין אידיאלים של החוג לאידיאלים של הלוקליזציה. למעשה, ההתאמה חזקה יותר - נשים לב שאם
אידיאל ו-
, אז
(כי יש בו איבר הפיך).
אם
חוג נותרי או ארטיני, כך גם
.
ישנה גם התאמה מלאה בין הספקטרום של חוג לזה של הלוקליזציה שלו - מתקיים
אם ורק אם
. אם נשכח מכל האידיאלים שחותכים את
, נקבל שיש התאמה חד-חד-ערכית
.
התוצאה החשובה ביותר היא שהחוג
הוא חוג מקומי - חוג בו יש אידיאל מקסימלי יחיד. במקרה הזה, קבוצת כל האיברים הלא הפיכים מהווה אידיאל מקסימלי יחיד. לכן גם סכום של אי-הפיכים הוא לא הפיך.
במקרה שבו
עם אידיאל ראשוני
, מתקבל החוג
. האידיאל המקסימלי הוא
.
- יהי
תחום שלמות, ותהי
. במקרה זה
הוא שדה השברים של R.
- אם
תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של
(חוג הפולינומים) מכיל עותק של
, ושווה לשדה השברים של
.
- אם
ו-
כאשר
ראשוני, נקבל כי
, והאידיאל המקסימלי שלו הוא
.
- אם
חוג שלם מעל
(כלומר, כל איבר של
הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ-
) אז
שלם מעל
לכל
כנ"ל.