תבנית:תרשים זרימה להוכחות משפט דיריכלה

\#\{p\vert p=a\mod m\}=\infty

משפט דיריכלה:

\#\{p\vert p=a\mod m\}=\infty

גרסה כמותית של משפט דיריכלה:

\quad \sum \limits _{p=a\mod m}{\frac {1}{p}}=\infty

גרסה כמותית של משפט דיריכלה:

\quad \sum \limits _{p=a\mod m}{\frac {1}{p}}=\infty

הצגת הפונקציה האופיינית של סדרה חשבונית כקומבינציה של קרקטרים:

1_{a+m\mathbb {N} }={\frac {1}{\varphi (m)}}\sum \limits _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}}{\bar {\chi }}(a)\chi

הצגת הפונקציה האופיינית של סדרה חשבונית כקומבינציה של קרקטרים:

1_{a+m\mathbb {N} }={\frac {1}{\varphi (m)}}\sum \limits _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}}{\bar {\chi }}(a)\chi

{\begin{aligned}P(s,1_{a+m\mathbb {N} }):&=\sum \limits _{p}{\frac {1_{a+m\mathbb {N} }(p)}{p^{s}}}\\&={\frac {1}{\varphi (m)}}\sum \limits _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}}{\bar {\chi }}(a)P(s,\chi )\end{aligned}}

{\begin{aligned}P(s,1_{a+m\mathbb {N} }):&=\sum \limits _{p}{\frac {1_{a+m\mathbb {N} }(p)}{p^{s}}}\\&={\frac {1}{\varphi (m)}}\sum \limits _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}}{\bar {\chi }}(a)P(s,\chi )\end{aligned}}

א

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

\left\vert \sum \limits _{p}{\frac {\chi (p)}{p}}\right\vert <\infty

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

\left\vert \sum \limits _{p}{\frac {\chi (p)}{p}}\right\vert <\infty

התבדרות טור ההופכיים של הראשוניים:

\quad \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}=\infty

התבדרות טור ההופכיים של הראשוניים:

\quad \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}=\infty

התמרת פורייה לחבורות אבליות סופיות:

f:G\to \mathbb {C}

\Downarrow

f=\sum \limits _{\chi \in {\hat {G}}}\langle \chi ,f\rangle \chi ,

כאשר:

\langle h,f\rangle :=\sum \limits _{g\in G}{\overline {h(g)}}f(g)

התמרת פורייה לחבורות אבליות סופיות:

f:G\to \mathbb {C}

\Downarrow

f=\sum \limits _{\chi \in {\hat {G}}}\langle \chi ,f\rangle \chi ,

כאשר:

\langle h,f\rangle :=\sum \limits _{g\in G}{\overline {h(g)}}f(g)

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

0<\vert L(1,\chi )\vert <\infty

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

0<\vert L(1,\chi )\vert <\infty

{\begin{aligned}P(s,\chi ):&=\sum \limits _{p}{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\\&=\ln(L(s,\chi ))+O(1)\end{aligned}}

כאשר:

L(s,\chi ):=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}

{\begin{aligned}P(s,\chi ):&=\sum \limits _{p}{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\\&=\ln(L(s,\chi ))+O(1)\end{aligned}}

כאשר:

L(s,\chi ):=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}

ב

התבדרות הטור ההרמוני:

\quad \sum \limits _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n}}=\infty

התבדרות הטור ההרמוני:

\quad \sum \limits _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n}}=\infty

ו

התכנסות פונקציית L ב-

1

:

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

\vert L(1,\chi )\vert <\infty

התכנסות פונקציית L ב-

1

:

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

\vert L(1,\chi )\vert <\infty

מכפלת אוילר:

{\begin{aligned}\quad L(s,\chi ):&=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}\\&=\prod \limits _{p}(1+\chi (p)p^{-s})^{-1}\end{aligned}}

מכפלת אוילר:

{\begin{aligned}\quad L(s,\chi ):&=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}\\&=\prod \limits _{p}(1+\chi (p)p^{-s})^{-1}\end{aligned}}

קירוב טיילור של לוגריתם:

\quad \ln(1+x)=x+O(x^{2})

קירוב טיילור של לוגריתם:

\quad \ln(1+x)=x+O(x^{2})

סכום הקרקטרים מתאפס בכל איבר לא טריוויאלי:

g\in G\smallsetminus 1

\Downarrow

\sum \limits _{\chi \in {\hat {G}}}\chi (g)=0

סכום הקרקטרים מתאפס בכל איבר לא טריוויאלי:

g\in G\smallsetminus 1

\Downarrow

\sum \limits _{\chi \in {\hat {G}}}\chi (g)=0

מבחן דיריכלה:

a_{n+1}\leq a_{n};\,a_{n}\to 0;\,\sup \limits _{N}\left\vert \sum _{n=1}^{N}b_{n}\right\vert <\infty

\Downarrow

\exists \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}

מבחן דיריכלה:

a_{n+1}\leq a_{n};\,a_{n}\to 0;\,\sup \limits _{N}\left\vert \sum _{n=1}^{N}b_{n}\right\vert <\infty

\Downarrow

\exists \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}

המשפט היסודי של האריתמטיקה:

n\in \mathbb {N}

\Downarrow

\exists !p_{1},\dots ,p_{k}{\text{ s.t. }}n=p_{1}\cdots p_{k}

המשפט היסודי של האריתמטיקה:

n\in \mathbb {N}

\Downarrow

\exists !p_{1},\dots ,p_{k}{\text{ s.t. }}n=p_{1}\cdots p_{k}

טור הנדסי:

\quad \vert a\vert <1

\Downarrow

\sum \limits _{n=0}^{\infty }a^{n}={\frac {1}{1-a}}

טור הנדסי:

\quad \vert a\vert <1

\Downarrow

\sum \limits _{n=0}^{\infty }a^{n}={\frac {1}{1-a}}

c_{n}\geq 0;\quad c_{n^{k}}\geq 1

\Downarrow

\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-1/2}=\infty

c_{n}\geq 0;\quad c_{n^{k}}\geq 1

\Downarrow

\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-1/2}=\infty

ה

g\in G\smallsetminus 1

\Downarrow

\exists \chi \in {\hat {G}}{\text{ s.t. }}\chi (g)\neq 1

g\in G\smallsetminus 1

\Downarrow

\exists \chi \in {\hat {G}}{\text{ s.t. }}\chi (g)\neq 1

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

\sup _{N}\sum _{n=1}^{N}{\chi (n)}<\infty

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

\sup _{N}\sum _{n=1}^{N}{\chi (n)}<\infty

נוסחת מספר המחלקה של דדקינד:

$\lim \limits _{s\to 1}(s-1)\prod _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}}L(s,\chi )=$
$={\frac {2^{r_{1}(K}\cdot (2\pi )^{r_{2}(K)}\cdot \operatorname {Reg} (K)\cdot h(K)}{|\mu _{\infty }(K)|\cdot {\sqrt {|D(K)|}}}}$
כאשר: $K:=\mathbb {Q} \langle {\sqrt[{m}]{1}}\rangle$

נוסחת מספר המחלקה של דדקינד:

$\lim \limits _{s\to 1}(s-1)\prod _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}}L(s,\chi )=$
$={\frac {2^{r_{1}(K}\cdot (2\pi )^{r_{2}(K)}\cdot \operatorname {Reg} (K)\cdot h(K)}{|\mu _{\infty }(K)|\cdot {\sqrt {|D(K)|}}}}$
כאשר: $K:=\mathbb {Q} \langle {\sqrt[{m}]{1}}\rangle$

אי-התאפסות פונקציית L ב-1:

\quad \chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

L(1,\chi )\neq 0

אי-התאפסות פונקציית L ב-1:

\quad \chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

L(1,\chi )\neq 0

\prod _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}}L(s,\chi )=:\sum \limits _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-s}

c_{n}\geq 0;\quad c_{n^{m}}>1

\prod _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}}L(s,\chi )=:\sum \limits _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-s}

c_{n}\geq 0;\quad c_{n^{m}}>1

ניתן להרחיב קרקטר מתת-חבורה:

H<G,\chi \in {\hat {H}}

\Downarrow

\exists {\tilde {\chi }}\in {\hat {G}}{\text{ s.t. }}{\tilde {\chi }}\vert _{H}=\chi

ניתן להרחיב קרקטר מתת-חבורה:

H<G,\chi \in {\hat {H}}

\Downarrow

\exists {\tilde {\chi }}\in {\hat {G}}{\text{ s.t. }}{\tilde {\chi }}\vert _{H}=\chi

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

\sum _{n=a}^{b}{\frac {\chi (n)}{\left({\frac {n}{m}}\right)^{s}}}=\sum _{n=a}^{b}\left({\frac {\chi (n)}{\left({\frac {n}{m}}\right)^{s}}}-{\frac {\chi (n)}{\left[{\frac {n}{m}}\right]^{s}}}\right)

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

\sum _{n=a}^{b}{\frac {\chi (n)}{\left({\frac {n}{m}}\right)^{s}}}=\sum _{n=a}^{b}\left({\frac {\chi (n)}{\left({\frac {n}{m}}\right)^{s}}}-{\frac {\chi (n)}{\left[{\frac {n}{m}}\right]^{s}}}\right)

המקרה הממשי:

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1,\chi ={\bar {\chi }}

\Downarrow

L(1,\chi )\neq 0

המקרה הממשי:

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1,\chi ={\bar {\chi }}

\Downarrow

L(1,\chi )\neq 0

המקרה הלא ממשי:

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1,\chi \neq {\bar {\chi }}

\Downarrow

L(1,\chi )\neq 0

המקרה הלא ממשי:

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1,\chi \neq {\bar {\chi }}

\Downarrow

L(1,\chi )\neq 0

הלמה של לנדאו:

$c_{n}\geq 0;$
$\exists f\in An(\mathbb {C} _{>0}){\text{ s.t. }}$
$f(s)=\sum c_{n}n^{-s}<\infty {\text{ for }}s>>0$
$\Downarrow$
$\sum c_{n}n^{-s}<\infty {\text{ for }}s>0$

הלמה של לנדאו:

$c_{n}\geq 0;$
$\exists f\in An(\mathbb {C} _{>0}){\text{ s.t. }}$
$f(s)=\sum c_{n}n^{-s}<\infty {\text{ for }}s>>0$
$\Downarrow$
$\sum c_{n}n^{-s}<\infty {\text{ for }}s>0$

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

\sum _{n=1}^{m}{\chi (n)}=0

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

\sum _{n=1}^{m}{\chi (n)}=0

נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה:

h(d)={\dfrac {w(d){\sqrt {|d|}}}{2\pi ^{\frac {1-sign(d)}{2}}R(d)}}L\left(1,\left({\frac {d}{\bullet }}\right)\right)

נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה:

h(d)={\dfrac {w(d){\sqrt {|d|}}}{2\pi ^{\frac {1-sign(d)}{2}}R(d)}}L\left(1,\left({\frac {d}{\bullet }}\right)\right)

פונקציית L לא יכולה להתאפס ב-1 עבור שני קרקטרים שונים:

\chi _{1},\chi _{2}\in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1,\chi _{1}\neq \chi _{1}

\Downarrow

\vert L(1,\chi _{1})\vert +\vert L(1,\chi _{2})\vert \neq 0

פונקציית L לא יכולה להתאפס ב-1 עבור שני קרקטרים שונים:

\chi _{1},\chi _{2}\in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1,\chi _{1}\neq \chi _{1}

\Downarrow

\vert L(1,\chi _{1})\vert +\vert L(1,\chi _{2})\vert \neq 0

ניתן להמשיך אנליטית את

\zeta (s)

לחצי המישור

\Re (s)>0

ניתן להמשיך אנליטית את

\zeta (s)

לחצי המישור

\Re (s)>0

ג

סכום של קרקטר (לא טריוויאלי) על כל האיברים מתאפס:

\chi \in {\hat {G}}\smallsetminus 1

\Downarrow

\sum \limits _{g\in G}\chi (g)=0

סכום של קרקטר (לא טריוויאלי) על כל האיברים מתאפס:

\chi \in {\hat {G}}\smallsetminus 1

\Downarrow

\sum \limits _{g\in G}\chi (g)=0

הדדיות ריבועית:

\left({\frac {a}{b}}\right)\left({\frac {b}{a}}\right)=(-1)^{{\frac {a-1}{2}}{\frac {b-1}{2}}}

הדדיות ריבועית:

\left({\frac {a}{b}}\right)\left({\frac {b}{a}}\right)=(-1)^{{\frac {a-1}{2}}{\frac {b-1}{2}}}

\lim \limits _{s\to 1}\prod _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}}L(s,\chi )\neq 0

\lim \limits _{s\to 1}\prod _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}}L(s,\chi )\neq 0

הטור

L(s,\chi )

מתכנס ומגדיר פונקציה אנליטית בחצי המישור

\Re (s)>0

הטור

L(s,\chi )

מתכנס ומגדיר פונקציה אנליטית בחצי המישור

\Re (s)>0

ד

מיון קרקטרים ממשיים:

??

מיון קרקטרים ממשיים:

??

א, ב

\zeta (s)L(s,\chi )=:\sum c_{n}n^{-s};

c_{n}\geq 0;\quad c_{n^{2}}>1

\zeta (s)L(s,\chi )=:\sum c_{n}n^{-s};

c_{n}\geq 0;\quad c_{n^{2}}>1

גזירות של פונקציית L בנקודה 1:

\exists L'(1,\chi )

גזירות של פונקציית L בנקודה 1:

\exists L'(1,\chi )

ו

ג, ד, ה

\lim \limits _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)<\infty

\lim \limits _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)<\infty

c_{n}\geq 0;\quad c_{n^{2}}\geq 1

\Downarrow

\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-1/2}=\infty

c_{n}\geq 0;\quad c_{n^{2}}\geq 1

\Downarrow

\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-1/2}=\infty

\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\int _{1}^{\infty }\left({\frac {1}{[x]^{s}}}-{\frac {1}{x^{s}}}\right)dx

\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\int _{1}^{\infty }\left({\frac {1}{[x]^{s}}}-{\frac {1}{x^{s}}}\right)dx

\sum c_{n}n^{-s}=\zeta (s)L(s,\chi )

\Downarrow

\sum _{n=1}^{x}c_{n}n^{-{\frac {1}{2}}}=2{\sqrt {x}}L(1,\chi )+O(1)

\sum c_{n}n^{-s}=\zeta (s)L(s,\chi )

\Downarrow

\sum _{n=1}^{x}c_{n}n^{-{\frac {1}{2}}}=2{\sqrt {x}}L(1,\chi )+O(1)

שיטת ההיפרבולה של דיריכלה:

\sum _{i=1}^{n^{2}}a_{i}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\sum _{j=1}^{{n^{2}}/{i}}b_{j}+\sum _{j=1}^{n}b_{j}\sum _{j=n+1}^{{n^{2}}/{i}}a_{i}

שיטת ההיפרבולה של דיריכלה:

\sum _{i=1}^{n^{2}}a_{i}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\sum _{j=1}^{{n^{2}}/{i}}b_{j}+\sum _{j=1}^{n}b_{j}\sum _{j=n+1}^{{n^{2}}/{i}}a_{i}

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

\sum _{n=a}^{b}\chi (n)n^{-s}=O(a^{-s})

\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} \vert _{m}^{\times }}}\smallsetminus 1

\Downarrow

\sum _{n=a}^{b}\chi (n)n^{-s}=O(a^{-s})

שיערוך טור באמצאות אינטגרל:

\exists \alpha {\text{ s.t.:}}

\sum _{n=1}^{x}n^{-{\frac {1}{2}}}=2{\sqrt {x}}+\alpha +O\left(x^{-{\frac {1}{2}}}\right)

שיערוך טור באמצאות אינטגרל:

\exists \alpha {\text{ s.t.:}}

\sum _{n=1}^{x}n^{-{\frac {1}{2}}}=2{\sqrt {x}}+\alpha +O\left(x^{-{\frac {1}{2}}}\right)

דפי משנה

/תרשים - כאן ניתן לערוך את התרשים עצמו בעריכה חזותית.
/מקרא - כאן ניתן לערוך את המקרא שמופיע בתוך התרשים בעריכה חזותית או בעריכת קוד מקור.
/הגדרות - כאן ניתן להגדיר את הצבעים, העיצובים והסמלים שמופיעים מספר פעמים בתרשים, באופן אחיד.