הלמה של לנדאו

באנליזה מרוכבת ובתורת המספרים האנליטית הלמה של לנדאו היא משפט הקושר בין אבסיסת ההתכנסות של טור דיריכלה לקטבים שלו. הלמה הוכחה על ידי אדמונד לנדאו בשנת 1905 כחלק מסדרת עבודותיו בתורת המספרים האנליטית. מאז הלמה הפכה לכלי שימושי מאוד בתורת המספרים האנליטית.

רקע

טור חזקות

ערך מורחב – טור חזקות

טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה $\ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ כאשר $\ a_{n}$ היא סדרה של מקדמים מרוכבים ו - $z$ הוא משתנה מרוכב.

אם $\ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ הוא טור חזקות, אז קיים $\ 0\leq r\leq \infty$ כך שאוסף הנקודות בהם הטור מתכנס בהחלט הוא העיגול $\{z||z|<r\}$ המספר $r$ נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור. תכונה חשובה של טורי חזקות היא שאי אפשר להמשיך אותם אנליטית לעיגולים בעלי רדיוס גדול יותר מרדיוס ההתכנסות שלהם. מנקודת מבט של טור טיילור של פונקציה אנליטית, תכונה זו אומרת שרדיוס ההתכנסות של טור טילור הוא המרחק לסינגולריות הקרובה ביתר. אותו הדבר נכון עבור כל פונקציית L של דיריכלה ביחס לקרקטר דיריכלה לא טריוויאלי.

טור דיריכלה

ערך מורחב – טור דיריכלה

טור דיריכלה הוא טור פונקציות מהצורה $$f(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.$$ כאשר $\ a_{n}$ היא סדרה של מקדמים מרוכבים ו - $s$ הוא משתנה מרוכב.

אם $f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$ הוא טור דיריכלה, אז קיים $-\infty \leq \sigma \leq \infty$ כך שאוסף הנקודות בהם הטור מתכנס בהחלט הוא חצי המישור $\{s|\Re (s)>\sigma \}$. המספר $\sigma$ נקרא אבסיסת ההתכנסות (Abscissa of convergence) של הטור.

בשונה מטורי חזקות, במקרים רבים, ניתן להמשיך אנליטית טורי דיריכלה לחצאי מישורים גדולים יותר מתחום ההתכנסות שלהם. לדוגמה, הטור $$L(s):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}$$ הוא דוגמה לפונקציית L של דיריכלה. אבסיסת ההתכנסות שלו היא 1 אולם ניתן להמשיך אותו אנליטית לכל המישור המרוכב.

הלמה של לנדאו אומרת שדבר כזה לא ייתכן אם מקדמי הטור חיוביים.

ניסוח

בהינתן:

• סדרת מספרים ממשיים חיוביים $a_{n}$
• שני מספרים ממשיים $\sigma _{1}<\sigma _{2}$

כך ש:

1. הטור $f(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$ מתכנס עבור כל $s$ המקיים $\Re (s)>\sigma _{2}$
2. לפונקציה $f(s)$ יש המשכה אנליטית לתחום $\{s|\Re (s)>\sigma _{2}\}$

אז הטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$ מתכנס לכל עבור כל $s$ המקיים $\Re (s)>\sigma _{1}$.

הוכחה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.

ההוכחה לא מסובכת והיא מבוססת על השוואה בין טור דיריכלה לטור טיילור של הפונקציה בנקודות שונות, ועל העובדה שטור טילור מתכנס בכל עיגול בה הפונקציה אנליטית.

שימושים

בתורת המספרים ובתחומים אחרים במתמטיקה, ניתן לעיתים לחקור בעיות ספירה מסוימות על ידי פונקציית זטא מתאימה. בהינתן בעיית ספירה, ניתן במקרים רבים לקודד את התשובה עליה על ידי סדרה $a_{n}$ של מספרים חיוביים.

סדרה כזו ניתן לחקור על ידי פונקציית זטא שהיא טור דיריכלה: $$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.$$ אבסיסת ההתכנסות של טור זה מספקת מידע רב על קצב הגידול של הסדרה $a_{n}$.

במקרים רבים, לפונקציה $\zeta$ יש המשכה מרומורפית מעבר לתחום ההתכנסות. אם המשכה זאת מספיק רחבה, אז הלמה של לנדאו גוררת שאבסיסת ההתכנסות שווה לחלק הממשי של הקוטב הימני ביותר של ההמשכה המרומורפית.

במקרים רבים קשר זה בין אבסיסת ההתכנסות לקטבים של הפונקציה מאפשר לקחת מידע חלקי על האבסיסה ועל הקטבים ולקבל ממנו מידע מדויק בהרבה על שניהם.

משפט דיריכלה

ערך מורחב – משפט דיריכלה

דוגמה קלאסית לשימוש של הלמה של לנדאו היא בהוכחתו של לנדאו לאי-ההתאפסות של פונקציית L של דיריכלה עבור קרקטר דיריכלה ממשי בנקודה $1$. טענה זאת מהווה חלק חשוב בהוכחת משפט דיריכלה על ראשוניים בסדרות חשבוניות. דיריכלה הוכיח את הטענה הזאת בשנת 1837 כחלק מהוכחתו למשפט דיריכלה. הוכחתו של דיריכלה הייתה ארוכה ומסובכת. לנדאו מצא, באמצעות הלמה שלו הוכחה קצרה ואלגנטית לטענה זו בתחילת המאה ה-20.

ההוכחה של לנדאו

יהיה $\chi$ קרקטר דיריכלה ממשי. תהיה $L(s,\chi )$ פונקציית L של דיריכלה המתאימה. ננח בשלילה ש $L(1,\chi )=0$. העובדות הבאות קלות יחיסת להוכחה: ל - $L(s,\chi )$ המשכה אנליטית לחצי המישור $\{s|\Re (s)>0\}$ לפונקציית זטא של רימן $\zeta (s)$ המשכה מרומורפית לחצי המישור $\{s|\Re (s)>0\}$ עם קוטב יחיד פשוט ב - 1. הפונקציה $\zeta _{\chi }(s):=\zeta (s)L(s,\chi )$ עבור $\Re (s)>1$ נתונה על ידי טור דיריכלה עם מקדמים חיוביים. טור דיריכלה זה מתבדר בנקודה $s={\frac {1}{2}}$. מעובדות 1,2 והנחת השלילה מסיקים של - $\zeta _{\chi }(s):=\zeta (s)L(s,\chi )$ המשכה אנליטית לחצי המישור $\{s|\Re (s)>0\}$. עובדה 3 יחד עם הלמה של לנדאו מראים שמכאן נובע שטור דיריכלה של $\zeta _{\chi }(s):=\zeta (s)L(s,\chi )$ מתכנס כאשר $\Re (s)>0$. זה עומד בסתירה לעובדה 4.

הוכחה זו קצרה משמעותית מהוכחתו המקורית של דיריכלה, אולם היא פחות אלמנטרית מכייון שהיא משתמשת באנליזה מרוכבת. כמו כן, בשונה מההוכחה המקורית של דיריכלה, הוכחת זו, לא נותנת שום מידע על הערך $L(1,\chi )=0$.

מקורות

• Narkiewicz, Władysław (2000), The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood