פונקציית זטא

בתורת המספרים ובתחומים אחרים במתמטיקה, פונקציית זטא הוא שם כללי לכמה פונקציות מרוכבות הלוקחות את השראתם מהדוגמה הראשונה והחשובה ביותר לפונקציה כזו - פונקציית זטא של רימן. המושג אינו מוגדר באופן מדויק ומשמעותו תלויה בהקשר. מאידך, ישנן פונקציות זטא רבות שאינן מקיימות תכונות אלו כלל.

הגדרה

ברמה הכללית ביותר פונקציית זטא יכולה להיות כל טור דיריכלה מוכלל עם מקדמים חיוביים. זאת אומרת פונקציה מרוכבת שיש לה פיתוח לטור מהצורה הבאה: $\zeta (s)=\sum a_{i}z_{i}^{s}$ כאשר $a_{i}$ ו - $z_{i}$ הם סדרות של מספרים ממשיים חיוביים. המקדמים $a_{i}$ (והמספרים $z_{i}$) מקודדים בדרך כלל מידע כמותי על אובייקט מתמטי כלשהו, ופונקציית זטא מאפשרת לחקור אובייקט זה באמצעות כלים של אנליזה מרוכבת.

במקרים רבים נהוג לדרוש מפונקציית זטא תכונות נוספות, בדרך כלל את ארבעת התכונות שדורשים מפונקציית L: פיתוח לטור דיריכלה (זאת אומרת שהספרים $z_{i}$ צריכים להיות שלמים), פיתוח למכפלת אוילר, המשכה מרומורפית לכל המישור, ומשוואה פונקציונלית.

ניתן להתייחס לפונקציות L כאל גרסאות מעוותות (twisted) של פונקציות זטא, בהם המקדמים $a_{i}$ אינם חיוביים (או ממשיים).

החיוביות של המקדמים $a_{i}$ מקלה על המחקר של פונקציות זטא (לעומת פונקציות L אחרות) למשל בזכות הלמה של לנדאו.

דוגמאות

• פונקציית זטא של רימן - הדוגמה האולטימטיבית. מקיימת את כל התכונות המקובלות של פונקציות זטא ופונקציות L.
• פונקציית זטא של דדקינד - מקיימת את כל התכונות המקובלות של פונקציות זטא ופונקציות L.
• פונקציית זטא של חבורה - חסרת המשכה מרומורפית (לכל המישור) ומשוואה פונקציונלית.
• פונקציית זטא הצגתית של חבורה - חסרת המשכה מרומורפית (לכל המישור) ומשוואה פונקציונלית.
• פונקציית זטא של סלברג - איננה טור דיריכלה רגיל אלה טור דירכלה מוכלל.

לקריאה נוספת

עיינו גם בפורטל פורטל המתמטיקה הוא שער לכל הנושאים הקשורים במתמטיקה. בין היתר, ניתן למצוא בו קישורים אל תחומי המשנה של ענף המתמטיקה, אל מושגי יסוד בתחום, אל ערכים העוסקים בהיסטוריה של המתמטיקה ואל ערכים לגבי מתמטיקאים חשובים.

• Mathematical Society of Japan's Encyclopedic Dictionary of Mathematics (pp 1372-1392), MIT Press, 1977.

קישורים חיצוניים

• פונקציית זטא, באתר MathWorld (באנגלית)
• a directory of all known zeta functions