פונקציית קסי של רימן

פונקציית קסי של רימן במישור המרוכב.

במתמטיקה, פונקציית קסי של רימן (מסומנת באות $\xi$) היא וואריאנט של פונקציית זטא של רימן המקיימת משוואה פונקציונלית פשוטה. הפונקציה נקראת על שם ברנהרד רימן.

הגדרת הפונקציה

בעקבות אדמונד לנדאו, פונקציית קסי מוגדרת על ידי:

$\xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)$

עבור $s\in \mathbb {C}$, כאשר $\Gamma$ היא פונקציית גמא ו-$\zeta$ היא פונקציית זטא של רימן. לפי הגדרה זו,

$\xi (1-s)=\xi (s)$.

ההגדרה המקורית, שכיום מסומנת ב-$\Xi$, היא:

$\Xi (z)=\xi ({\frac {1}{2}}+zi)$

ומקיימת את המשוואה הפונקציונלית

$\Xi (-z)=\Xi (z)$.

מאפייני הפונקציה

• $\xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!$

כאשר $B_{n}$ מציין את מספר ברנולי ה-$n$-י'. אפשר לראות כי $\xi (2)={\pi \over 6}$.

• ${\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}$

כאשר

• $\lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]$

כאשר ρ מוגדרת להיות השורשים הלא-טריוויאליים של פונקציית זטא של רימן. הטור למעלה חשוב מאוד לקריטריון לי, אשר אומר שהשערת רימן שקולה לכך ש-$\lambda _{n}>0$ לכל $n$ חיובי.

• $\Xi (s)=\Xi (0)\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {s}{\alpha }}\right)$

כאשר $\alpha$ מוגדרת להיות השורשים של $\xi$.

קישורים חיצוניים

• פונקציית קסי של רימן, באתר MathWorld (באנגלית)