נוסחת שלפלי

בגאומטריה לא-אוקלידית, "נוסחת שלפלי" (Schlafli) קושרת בין השינויים בזוויות הדיהדרליות של טטראדר ואורכי צלעותיו לשינוי הנפח שלו. הנוסחה נקראת על שם לודוויג שלֶפלי (Ludwig Schläfli), מתמטיקאי שווייצרי ואחד מיוצרי התאוריה של גאומטריה בממדים גבוהים, אשר גילה אותה במסגרת חקירותיו את הנפח של פאונים לא-אוקלידיים. שלֶפלי ניסח והוכיח את הנוסחה שלו למקרים פרטיים, וזמן רב לאחר מכן Hellmuth Kneser נתן הוכחות לנוסחה הן במקרה של גאומטריה היפרבולית והן במקרה של גאומטריה כדורית.

אחת המוטיבציות לנוסחה היא העובדה שבגאומטריה לא-אוקלידית קיים קשר בין הזוויות הפנימיות של סימפלקס כלשהו לנפח שלו; עובדה זאת עומדת בניגוד למצב בגאומטריה אוקלידית שם יש אפשרות לדמיון בין פאונים כך שאין קשר בין הזויות של הפאון לגודל (שנמדד בנפח) הפאון. למשל, בגאומטריה היפרבולית דו-ממדית קיים משולש שווה-צלעות יחידי (עד כדי איזומטריה).

ניסוח

במקרה של מרחב היפרבולי תלת-ממדי $H^{3}$, נוסחת שלפלי מקבלת את הצורה:

$K\cdot dV={\frac {1}{2}}\sum _{ij}l_{ij}d\alpha _{ij}$,

כאשר K היא העקמומיות הקבועה של המרחב ההיפרבולי, $l_{ij}$ היא אורך הצלע שמחברת את הקודקוד i עם הקודקוד j, ו-$d\alpha _{ij}$ הוא השינוי בזווית הדיהדרלית של הצלע ij. נוסחה זהה תקפה גם לגאומטריה כדורית (אלא שהעקמומיות K נעשית חיובית בגאומטריה זו). בעבור המקרה של גאומטריה לא אוקלידית בכל מספר שהוא של ממדים, הנוסחה היא:

$(n-1)K\cdot dV=\sum _{F}V_{n-2}(F)d\alpha _{F}$

כאשר n הוא ממד המרחב, הסימון $V_{n-2}(F)$ מייצג את הנפח ה- n-2 ממדי של "צלע מוכללת" F, ו- $d\alpha _{F}$ הוא השינוי בזווית הדיהדרלית המוכללת - דהיינו הזווית בין שתי פאות n-1 ממדיות סמוכות שהחיתוך שלהן הוא לאורך הצלע המוכללת F. במקרה הדו-ממדי (n = 2) עם עקמומיות קבועה, נוסחת שלפלי שקולה למשפט גאוס-בונה.