משפט שבאלה על קבוצות ניתנות-לבנייה

משפט שבאלה הוא משפט בגאומטריה אלגברית הקובע כי תמונה של קבוצה ניתנת-לבנייה תחת מורפיזם של יריעות אלגבריות היא קבוצה ניתנת-לבנייה. בפרט, תמונה של מורפיזם בין יריעות אלגבריות היא תמיד ניתנת-לבנייה, על אף שאיננה בהכרח יריעה אלגברית. דוגמה לכך היא ההעתקה $\nu :\mathbb {A} ^{2}\rightarrow \mathbb {A} ^{2}$ המוגדרת על ידי $\nu (x,y)=\left(x,xy\right)$; קל לראות כי תמונתה $\nu (\mathbb {A} ^{2})=\left\{(0,0)\right\}\cup \left\{(x,y)\mid x\neq 0\right\}$ היא אכן איחוד של שתי קבוצות סגורות ובפרט היא ניתנת-לבנייה אולם היא איננה יריעה אלגברית בעצמה. למשפט זה יש השלכות הנוגעות למושג הממד של יריעות אלגבריות, לחבורות אלגבריות ואף שקול לכך שתורת השדות הסגורים אלגבריים היא בעלת חילוץ כמתים.

ניסוח המשפט

נקבע $\mathbb {K}$ שדה סגור אלגברית.

הגדרה. קבוצה במרחב טופולוגי $X$ נקראת ניתנת-לבנייה אם היא איחוד סופי של קבוצות סגורות מקומית (קבוצה נקראת סגורה מקומית אם היא בפתוחה בסגור שלה).

משפט. יהי $\nu :X\rightarrow Y$ מורפיזם בין יריעות אלגבריות. אז $\nu (X)\subseteq Y$ היא קבוצה ניתנת-לבנייה.

לעיתים המשפט מנוסח בצורה שהיא מעט כללית יותר אולם היא נובעת מהראשון בקלות רבה:

משפט. מורפיזם בין יריעות אלגבריות מעתיק קבוצה ניתנת-לבנייה לקבוצה ניתנת-לבנייה.

הניסוח הראשון הוא בסך הכל מקרה פרטי של הניסוח השני. את הניסוח השני ניתן להוכיח בקלות מהראשון מתוך ההבחנה שכל קבוצה סגורה מקומית בטופולגיית זריצקי היא תת-יריעה אלגברית ומהעובדה שאיחוד סופי של קבוצות ניתנות-לבנייה הוא בוודאי ניתן-לבניה בעצמו. כמו כן, מעובדה זו קל לראות כי מספיק להוכיח את המשפט תחת הנחת אפיניות ואי-פריקות של $X$ ושל $Y$.

הוכחת המשפט

כאמור אנו יכולים להניח ש- $X$ ו-$Y$ הן אפיניות ואי-פריקות. כמו כן, על ידי צמצום הטווח אנו יכולים להניח כי $\nu$ היא דומיננטית, כלומר ש-${\overline {\nu (X)}}=Y$. בהתאם לזאת, אנו מקבלים כי ההעתקה $\nu ^{*}:\mathbb {K} [Y]\rightarrow \mathbb {K} [X]$ היא שיכון. הוכחת המשפט מתבססת על הלמה הבאה:

למה. תחת הנחות אלו, קיימת קבוצה $\emptyset \neq U\subseteq \nu (X)$ הפתוחה ב-$Y$ כך ש-$\dim \nu ^{-1}(u)=\dim X-\dim Y$ לכל $u\in U$.

למה זו היא למעשה נקודת המפתח וממנה ניתן להוכיח את המשפט בקלות רבה: נרשום את $\nu (X)$ בתור איחוד של שתי קבוצות- $\nu (X)=U\cup \nu (X\backslash \nu ^{-1}U)$ כאשר $U\subseteq \nu (X)$ כמובטח לנו בלמה. באינדוקציה על מימד $X$ נסיק כי $\nu (X\backslash \nu ^{-1}U)$ היא ניתנת-לבנייה שכן $X\backslash \nu ^{-1}U$ היא קבוצה סגורה המוכלת ממש ב-$X$. $U$ היא וודאי סגורה מקומית שכן היא פתוחה וכתוצאה מכך $\nu (X)$ היא ניתנת-לבנייה, כנדרש.

הוכחת הלמה

רעיון ההוכחה הוא למצוא $\emptyset \neq U\subseteq Y$ פתוחה ו-$n\in \mathbb {N}$ כך ש-$\nu \mid _{\nu ^{-1}U}$ מתפקטרת על ידי מורפיזם סופי דרך $U\times \mathbb {A} ^{n}$. זאת אומרת, נראה שקיים מורפיזם סופי ועל $\mu :\nu ^{-1}U\twoheadrightarrow U\times \mathbb {A} ^{n}$ כך שהדיאגרמה הבאה מתחלפת (כאן $\pi _{U}:U\times \mathbb {A} ^{n}\rightarrow U$ היא ההטלה לרכיב הראשון).

ברגע שמצאנו $U$, $n$ ו-$\mu$ כאלה ההוכחה היא פשוטה: $U$ אכן צפופה ב-$Y$ שכן $Y$ היא אי-פריקה. מכיוון ש-$\mu$ היא סופית אז $\dim \nu ^{-1}\left(u\right)=\dim \pi _{U}^{-1}(u)=\dim \left\{u\right\}\times \mathbb {A} ^{n}=n$ לכל $u\in U$. נותר אם כן להבחין בכך ש-$\dim X=\dim \nu ^{-1}(U)=\dim U+n=\dim Y+n$ ולכן $\dim \nu ^{-1}(u)=\dim X-\dim Y$ לכל $u\in U$. 

העובדה שקיים פיקטור כזה מתבססת על משפט הנורמליזציה של נתר: השיכון $\nu ^{*}:\mathbb {K} [Y]\rightarrow \mathbb {K} [X]$ משרה על $A=\mathbb {K} [X]\otimes _{\mathbb {K} [Y]}\mathbb {K} (Y)$ מבנה של $\mathbb {K} (Y)$-אלגברה נוצרת סופית, וכתוצאה מכך $A$ היא מודול מטיפוס סופי מעל חוג פולינומים $B:=\mathbb {K} (Y)[X_{1},...,X_{n}]$ (עבור $n\in \mathbb {N}$ כלשהו). עובדה זו שקולה לכך שקיימים $a_{1},...,a_{m}\in A$ היוצרים את $A$ כמודול מעל $B$ כאשר כל $a_{i}$ מאפס פולינום מתוקן $f_{i}(y)$ עם מקדמים ב-$\mathbb {K} (Y)[X_{1},...,X_{n}]$. למעשה, אם $r\in \mathbb {K} [Y]$ הוא מחלק משותף של כל המקדמים הללו וכן של היוצרים, נקבל כי הם כולם שייכים לחוג מצומצם יותר -$\mathbb {K} [Y]_{r}[X_{1},...,X_{n}]$ (כאן $\mathbb {K} [Y]_{r}$ מסמן את הלוקליזציה של $\mathbb {K} [Y]$ ב-$r$). לפיכך, השיכון: $$\mathbb {K} [Y][X_{1},...,X_{n}]\hookrightarrow \mathbb {K} [X]$$ מתרחב לשיכון: $$\mathbb {K} [Y]_{r}[X_{1},...,X_{n}]\hookrightarrow \mathbb {K} [X]_{\nu *r}$$והוא בתורו משרה על $\mathbb {K} [X]_{\nu ^{*}r}$ מבנה של מודול מעל $\mathbb {K} [Y]_{r}[X_{1},..,X_{n}]$. כפי שראינו, היוצרים $a_{1},...,a_{n}$ הם שלמים מעל $\mathbb {K} [Y]_{r}[X_{1},..,X_{n}]$ ולכן מודול זה הוא מטיפוס סופי. לפיכך, אנו מקבלים את הדיאגרמה המתחלפת הבאה:

אם נבחר את $U$ להיות $U=D(r):=\left\{y\in Y\mid r(y)\neq 0\right\}\subseteq Y$ נקבל כי הדיאגרמה שאותה אנו מעוניינים לקבל היא בדיוק הדיאגרמה הדואלית לדיאגרמה זו.

מסקנות ומשפטים קשורים

למשפט שבאלה מספר מסקנות בעלות חשיבות למושג הממד של יריעות אלגבריות וכן לנושאים אחרים.

משפט: אם $\nu :X\rightarrow Y$ העתקה דומיננטית עם סיבים סופיים אז $\dim X=\dim Y$

משפט: הפונקציה $x\longmapsto \dim _{x}\nu ^{-1}\left(\nu \left(x\right)\right)$ היא רציפה מלעיל. יתר על כן, אם $X$ אי-פריקה אז רכיבי אי-הפריקות של $\nu ^{-1}\left(\nu (x)\right)$ הם מימד של לפחות $\dim X-\dim {\overline {\nu (X)}}$

משפט: התמונה של מורפיזם בין חבורות אלגבריות היא קבוצה סגורה.

משפט: תהא $G$ חבורה אלגברית הפועלת על יריעה אלגברית $X$. המסלול של כל $x\in X$ תחת הפעולה של $G$ הוא סגור מקומית.

חילוץ כמתים

משפט שבאלה למעשה שקול לכך שתורת השדות הסגורים אלגברית (ACF) היא תורה בעלת חילוץ כמתים. ליתר דיוק, ניתן להוכיח את אחד מהם מן השני בקלות רבה על סמך ההבחנה שהקבוצות הניתנות-לבנייה ביריעה אלגברית כלשהי הן בדיוק הקבוצות שהן גדירות ללא כמתים.

לקריאה נוספת

1. G.Kempf (1993), Algebraic Varieties, chapter 6.4 - Morphisms