משוואה ממעלה שביעית

גרף של פולינום ממעלה שביעית, עם שבעה שורשים ממשיים (חוצים את ציר x) ושש נקודות קריטיות. בהתאם למספר ולמיקום האנכי של המינימום והמקסימום, לפונקציה יכולים להיות שבעה, חמישה, שלושה או שורש ממשי אחד; מספר השורשים המרוכבים הלא ממשיים של הפונקציה הוא 7 פחות מספר השורשים האמיתיים.

באלגברה, משוואה ממעלה שביעית היא משוואה מהצורה $ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0$, כאשר $a\neq 0$. במילים אחרות, זהו פולינום ממעלה שביעית. אם $a=0$, אז $f$ היא פונקציה ממעלה שישית ($b\neq 0$), פונקציה ממעלה חמישית ($b=0,c\neq 0$) וכו'.

פונקציה ממעלה שביעית היא פונקציה מהצורה $f(x)=ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h\,$.

ניתן לקבל את המשוואה מהפונקציה על ידי הגדרת $f(x)=0$.

המקדמים $a,b,c,d,e,f,g$ יכולים להיות מספרים שלמים, רציונליים, ממשיים, מרוכבים או, באופן כללי יותר, איברים של כל שדה.

מכיוון שהן בעלות מעלה אי-זוגית, פונקציות ממעלה שביעית נראות דומות לפונקציות ממעלה חמישית או ממעלה שלישית כשהן מוצגות בגרף, אלא שהן עשויות להיות בעלות נקודות מקסימום ומינימום מקומיים רבות יותר (עד שלוש נקודות מקסימום ושלוש נקודות מינימום). הנגזרת של פונקציה ממעלה שביעית היא פונקציה ממעלה שישית.

פתרון

ניתן לפתור כמה משוואות מדרגה שביעית על ידי פתרון באמצעות רדיקלים, אבל את שאר המשוואות הללו לא ניתן לפתור. אווריסט גלואה פיתח טכניקות לקביעה ניתן לפתור על ידי רדיקלים משוואה נתונה, מה שהוליד את השדה של תורת גלואה. כדי לתת דוגמה לספיגה בלתי ניתנת להפחתה אך ניתנת לפתרון, אפשר להכליל את המשוואה ממעלה חמישית של דה מואבר, הניתנת לפתרון, כדי לקבל

$x^{7}+7\alpha x^{5}+14\alpha ^{2}x^{3}+7\alpha ^{3}x+\beta =0\,$,

כשמשוואת העזר היא

$y^{2}+\beta y-\alpha ^{7}=0\,$ .

מתקבלת על ידי ביטול $u$ ו-$v$ בין $x=u+v$, $uv+\alpha =0$ ו-$u^{7}+v^{7}+\beta =0$.

מכאן נובע ששבעת השורשים של המשוואה ניתנים על ידי

$x_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{7}]{y_{1}}}+\omega _{k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_{2}}}$

כאשר $\omega _{k}$ הוא כל אחד משבעת שורשי היחידה. חבורת גלואה של משוואה שביעית זו היא הקבוצה הניתנת לפתרון מקסימלי מסדר 42. זה מוכלל בקלות לכל דרגות אחרות $k$, לא בהכרח ראשוני.

משפחה פתירה נוספת היא

$x^{7}-2x^{6}+(\alpha +1)x^{5}+(\alpha -1)x^{4}-\alpha x^{3}-(\alpha +5)x^{2}-6x-4=0\,$

שחברותיה מופיעים במסד הנתונים של שדות המספרים של קלונר. הדיסקרימיננטה שלה היא

$\Delta =-4^{4}\left(4\alpha ^{3}+99\alpha ^{2}-34\alpha +467\right)^{3}\,$

חבורת הגלואה של המשוואות הללו היא החבורה הדיהדרלית מסדר 14.

ניתן לפתור את המשוואה הכללית עם חבורות גלואה של התמורות הזוגיות או חבורות גלואה סימטריות $A_{7}$ או $S_{7}$. משוואות כאלה דורשות פונקציות היפראליפטיות ופונקציות תטא קשורות מגנוס 3 לפתרון שלהן. עם זאת, משוואות אלו לא נחקרו במיוחד על ידי מתמטיקאים בני המאה ה-19 שחקרו את הפתרונות של משוואות אלגבריות, מכיוון שפתרונות של משוואות ממעלה שישית כבר היו בגבולות היכולות החישוביות שלהן ללא מחשבים.

משוואות ממעלה שביעית הן משוואות מהסדר הנמוך ביותר שעבורן לא מובן מאליו שניתן להשיג את הפתרונות שלהן על ידי הרכבת פונקציות רציפות של שני משתנים. הבעיה השלוש-עשרה של הילברט הייתה ההשערה שבמקרה הכללי של משוואות ממעלה שביעית, לא ניתן להציג פונקציה רציפה בשלושה משתנים כהרכבה של פונקציות רציפות בשני משתנים. ולדימיר ארנולד הרוסי פתר את הבעיה ב-1957, והוכיח שדבר כזה תמיד אפשרי.

חבורות גלואה

מישור פאנו

• למשוואות ממעלה שביעית הניתנות לפתרון באמצעות רדיקלים יש חבורות גלואה שהיא החבורה הציקלית מסדר 7, החבורה הדיהדרלית מסדר 14 או החבורה המטאציקלית מסדר 21 או 42.
• חבורת גלואה $L(3,2)$ (מסדר 168) נוצרת על ידי התמורות של שבעת הקדקודים של שבעת ה"קווים" במישור פאנו. משוואות ממעלה שביעית עם חבורת גלואה זו $L(3,2)$ דורשות פונקציות אליפטיות אך לא פונקציות היפראליפטיות לפתרון שלהן.

ריבועי שטחים של מצולעים

ריבוע השטח של מחומש הוא שורש של משוואה ממעלה שביעית שהמקדמים שלה הם פונקציות סימטריות של צלעות המחומש. הדבר נכון גם לגבי ריבוע השטח של משושה.