מרחב פסאודו-מטרי

בטופולוגיה, מרחב פסאודו-מטרי הוא קבוצה עם פונקציית מרחק שבה ייתכן מרחק 0 בין שני איברים השונים זה מזה. פונקציית מרחק כזו נקראת .פסאודו-מטריקה. מרחב פסאודו-מטרי מהווה הרחבה של המרחב המטרי.

להגדיר פסאודו-מטריקה על קבוצה $X$ שקול ללתת יחס שקילות $\sim$ על $X$ ולהגדיר מטריקה על מרחב המנה $X/\sim$ (ראו להלן). כך שהמושג מרחב פסאודו-מטרי לא מספק אובייקטים מתמטיים השונים באופן מהותי ממרחבים מטריים. עם זאת, המושג נוח כאשר טבעי יותר לדבר על אברי הקבוצה $X$ מאשר על מחלקות השקילות בה (ראו דוגמאות להלן).

מרחבים פסאודו-מטרים הוגדרו לראשונה על ידי המתמטיקאי הסרבי דורו קורפה בשנת 1934.

הגדרה מתמטית

בהינתן קבוצה $M$ ופונקציה $d:M\times M\to \mathbb {R} _{\geq 0}$, כאשר $\mathbb {R} _{\geq 0}$ היא קבוצת המספרים הממשיים האי-שליליים, הפונקציה $d$ תקרא פסאודו-מטריקה אם ורק אם היא מקיימת את התנאים הבאים:

1. לכל $x\in M$ מתקיים $d(x,x)=0$
2. לכל $x,y\in M$ מתקיים $d(x,y)=d(y,x)$ (כלומר, $d$ פונקציה סימטרית)
3. לכל $x,y,z\in M$ מתקיים $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (כלומר, $d$ מקיימת את אי השוויון המשולש)

הזוג $(M,d)$ נקרא "מרחב פסאודו-מטרי". הגדרה זו זהה להגדרה של מרחב מטרי למעט התנאי הראשון, בו עבור מרחבי מטרי מתקיים ש-$d(x,y)=0$ אם ורק אם $x=y$. על כן, כל מרחב מטרי הוא מרחב פסאודו-מטרי.

טופולוגיה

בצורה דומה למרחבים מטריים, ניתן להגדיר מרחב טופולוגי באמצעות הפסאודו-מטריקה על ידי לקיחת כל הכדורים הפתוחים $B_{r}(x_{0}):=\{x\in M\mid d(x,x_{0})<r\}$ ולהשתמש בהם כבסיס לטופולוגיה. בטופולוגיה זו, הפסאודו-מטריקה $d$ היא בהכרח פונקציה רציפה בשני המשתנים שלה.

ניתן להוכיח כי המרחב הטופולוגי הנוצר באמצעות הפסאודו-מטריקה יהיה בהכרח מרחב רגולרי לחלוטין. כמו כן, ניתן להראות כי אם הטופולוגיה מקיימת את אקסיומת ההפרדה $T_{0}$ אז בהכרח הפסאודו-מטריקה היא בעצם מטריקה.

זיהוי מטרי

בהינתן מרחב פסאודו-מטרי $(M,d)$, ניתן להגדיר על $M$ יחס שקילות $\sim$ כך ש-$x\sim y$ אם ורק אם $d(x,y)=0$. ניתן להראות כי אם $x_{1}\sim x_{2}$ ו-$y_{1}\sim y_{2}$ אז בהכרח $d(x_{1},y_{1})=d(x_{2},y_{2})$. מסיבה זו ניתן להגדיר פונקציה $d^{*}:(M/\sim )\times (M/\sim )\to \mathbb {R} _{\geq 0}$ כך שלכל $[x],[y]\in M/\sim$ מתקיים $d^{*}([x],[y]):=d(x,y)$. פונקציה זו מוגדרת היטב מכיוון שערך המרחק בין מחלקות שקילות אינו תלוי בנציג.

ניתן להוכיח כי $d^{*}$ היא מטריקה ולכן $(M/\sim ,d^{*})$ הוא מרחב מטרי. $d^{*}$ תקרא מטריקת הזיהוי. כלומר, על-ידי זיהוי נקודות בעלות מרחק 0 זו מזו כאותה נקודה ניתן להפוך את המרחב הפסאודו-מטרי למרחב מטרי.

הטופולוגיה על מרחב מטרי זה מהווה את אותה הטופולוגיה של המרחב הפסאודו-מטרי המקורי עד כדי זיהוי נקודות. כלומר, אם $U\subseteq M$ היא קבוצה פתוחה לפי הטופולוגיה של הפסאודו-מטריקה, אז $U':=\{[x]\mid x\in U\}$ היא קבוצה פתוחה לפי מטריקת הזיהוי.

דוגמאות

• בהינתן מרחב מטרי $(M,d)$ ניתן להגדיר מרחב $(P(M),h)$ כאשר $P(M)$ היא קבוצת כל התת-קבוצות של $M$ (לאו דווקא פתוחות או סגורות) ו-$h$ הוא מרחק האוסדורף המוגדר כך שלכל $X,Y\in P(M)$ מתקיים ש-$h(X,Y):=\sup _{m\in M}{|\inf _{x\in X}{d(x,m)}-\inf _{y\in Y}{d(y,m)}|}$. המרחב $(P(M),h)$ הוא מרחב פסאודו-מטרי.
• בהינתן מרחב וקטורי $V$ ונורמה למחצה עליו $\rho$, ניתן להגדיר פסואודו-מטריקה $d$ על $V$ כך ש-$d(v,u):=\rho (v-u)$.
• בהינתן מרחב מידה $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ניתן להגדיר פסאודו-מטריקה $d$ על ${\mathcal {A}}$ כך שלכל $A,B\in {\mathcal {A}}$ מתקיים ש-$d(A,B):=\mu (A\vartriangle B)$.

ראו גם

• מרחב מטרי
• נורמה למחצה