טרנסצנדנטיות של פאי

הקבוע המתמטי פאי ($\pi$) תופס מקום מרכזי בענפי מתמטיקה רבים. לאורך ההיסטוריה חקרו מתמטיקאים רבים את תכונותיו. בפרט התעורר עניין רב סביב השאלה האם הוא מספר טרנסצנדנטי – מספר שאינו פתרון של אף משוואה פולינומית עם מקדמים שלמים (או רציונליים).

היסטוריה

הראשון שעסק בסוגיה היה המתמטיקאי השווייצרי יוהאן היינריך למברט, שבשנת 1761 הוכיח לראשונה כי $\pi$ אי-רציונלי, ואף שיער כי הוא מספר טרנסצנדנטי. אולם, בתקופה זו לא היה ידוע האם קיימים בכלל מספרים טרנסצנדנטיים.

בשנת 1844 הוכיח ז'וזף ליוביל את משפט ליוביל, שהוכיח לראשונה את קיומם של המספרים הטרנסצנדנטיים ונתן דוגמה ראשונה למספר שכזה (קבוע ליוביל). בשנת 1874 הוכיח גאורג קנטור כי כמעט כל המספרים הממשיים הם טרנסצנדנטיים. על אף זאת ההוכחה כי מספר מסוים הוא טרנסצנדנטי נותרה בעיה סבוכה.

בשנת 1873 הוכיח המתמטיקאי הצרפתי שארל הרמיט את השערתו של למברט, ובכך היה e למספר הטרנסצנדנטי הראשון שהתגלה בלי שנבנה לשם כך מראש (בניגוד למספרי ליוביל).

פרדיננד לינדמן וקארל ויירשטראס הכלילו את תוצאתו של הרמיט והוכיחו את משפט לינדמן-ויירשטראס הקובע את הטרנסצנדנטיות ואת האי-תלות האלגברית של חזקות אלגבריות של ${\text{e}}$; ממשפט זה נובעת גם הטרנסצנדנטיות של פאי.

שיטת ההוכחה

השיטה בה מוכיחים כי $\pi$ טרנסצנדנטי שימושית במיוחד, ונעשה בה שימוש רב להוכחת הטרנסצנדנטיות והאי-רציונליות של מספרים רבים נוספים.

הרעיון הכללי הוא להניח בשלילה כי המספר מקיים את התכונה, ובאמצעות בניית פונקציות שתפורות לעניין היטב, מבצעים מניפולציות אנליטיות ומראים כי זה גורר שוויון מופרך בין מספר שלם שונה מאפס לבין מספר קטן בערכו המוחלט מ-1. גם ההוכחה הפשוטה יותר כי $\pi$ אי-רציונלי נעשית בדרך דומה. בשל השימושיות שלה בתחום זכתה השיטה לכינוי ההומוריסטי "המשפט היסודי של המספרים הטרנסצנדנטיים" (על משקל המשפטים היסודיים של האריתמטיקה, האלגברה, החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ודומיהם).