היחס הפלסטי

היחס הפלסטי (באנגלית: plastic ratio), המספר הפלסטי ( plastic number) או הקבוע הפלסטי (plastic constant) הוא המספר האי-רציונלי ...1.324717957.

היחס הפלסטי מסומן באות היוונית ρ או באות $\psi$. היחס הוא אחד הפתרונות של המשוואה ממעלה שלישית

$x^{3}=x+1\,.$

היחס הוא אחד משלושת פתרונות המשוואה, והיחיד שהוא מספר ממשי:

$\psi ={\frac {{\sqrt[{3}]{108+12{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{108-12{\sqrt {69}}}}}{6}}\,\approx 1.324718...$

תכונות מתמטיות

היחס הפלסטי שווה לשורש החוזר

$\psi ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}\,.$

תכונות בסדרות שלמים

המספר הפלסטי הוא המספר אליו שואף היחס בין שני איברים עוקבים בסדרת פאדובן (...1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,49)

ובסדרת פרין (,...,0,2,3,2,5,5,7,10,12,17,22,29,39), ובכך הוא מקביל ליחס הזהב בסדרת פיבונאצ'י ובסדרות מקבילות.

בסדרת פרין כל איבר $P\left(n\right)\$, החל מהאיבר העשירי בערך, שואף ליחס הפלסטי בחזקת מספרו הסידורי של האיבר בסדרה:

$P\left(n\right)\approx {\psi ^{n}}$

כך למשל היחס הפלסטי בחזקת 16 קרוב מאוד לאיבר ה-16 בסדרת פרין, שערכו 90. בתכונה זו מזכיר היחס הפלסטי את תכונתו של יחס הזהב, שחזקות שלו הן קירוב טוב לסדרת מספרי לוקאס.

היחס הוא פתרון גם של המשוואה

$\psi ^{5}=\psi ^{2}+\psi +1$

היסטוריה

הנזיר ההולנדי האנס ואן דר לאן (Hans van der Laan) הוא שנתן ליחס הפלסטי את שמו ב-1928, אך הראשון שחקר את תכונותיו היה הצרפתי ז'ראר קורדונייה (Gérard Cordonnier) (1907-1977),ב-1924. ואן דר לאן (1904-1991), שהיה גם ארכיטקט, התייחס בעיקר לתכונותיו האסתטיות של המספר, וטען כי היחס, או הקירוב שלו, 4/3, הוא אחת מאמות המידה לתפיסה של גודלם השונה של עצמים תלת־ממדיים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא היחס הפלסטי בוויקישיתוף

• אתר קרן ואן דר לאן
• היחס הפלסטי, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת הספרות של היחס הפלסטי באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים