סדרת פאדובן

סידור משולשים על פי סדרת פאדובן

במתמטיקה, סדרת פאדובן היא הסדרה שאיבריה הראשונים הם:

...,1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,49

הסדרה, שאת איבריה מקובל לסמן באות $\ P$, מוגדרת ברקורסיה על ידי נוסחת נסיגה

$P(n)=P(n-2)+P(n-3).$

והתנאי ההתחלתי:

$P(0)=P(1)=P(2)=1,$

שלושת האיברים הראשונים הם 1 וכל איבר החל מהרביעי שווה לסכום שני האיברים שקודמים לאיבר שלפניו.

אפשרות נוספת להצגת איברי הסדרה היא

$P(n)=P(n-1)+P(n-5)$

הסדרה קרויה על שם הארכיטקט הבריטי ריצ'רד פאדובן ושמה ניתן לה על ידי המתמטיקאי איאן סטיוארט במאמר בכתב העת סיינטיפיק אמריקן ב-1996 . פאדובן כתב על הסדרה במאמר שהוקדש לנזיר ההולנדי האנס ואן דר לאן ( Hans van der Laan ), מגלה היחס הפלסטי.

היחס המקורב בין כל שני איברים עוקבים של הסדרה הוא "היחס הפלסטי" ...1.3247

שהוא גם אחד מפתרונות המשוואה ממעלה שלישית:

$x^{3}-x-1=0.$

קשר לסדרת פרין

תנאי הסדרה, למעט התנאי ההתחלתי, מתקיימים גם בסדרה אחרת, סדרת פרין, ,...,0,2,3,2,5,5,7,10,12,17,22,29,39, שאיבריה מובעים גם על ידי

$\mathrm {Perrin} (n)=P(n+1)+P(n-10).\,$, כלומר, האיבר ה-nי בסדרת פרין שווה לסכומם של איבר פאדובן ה-n+1 ואיבר פאדובן ה-n-10. לדוגמה, האיבר ה-12 בסדרת פרין הוא 29, והוא שווה לאיבר ה-13 בסדרת פאדובן (28) ועוד האיבר השני בסדרה (1).

קישורים חיצוניים

• סדרת פאדובן באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
• סדרת פאדובן, באתר MathWorld (באנגלית)

• סדרת פרין באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים