אידיאל נילי

בתורת החוגים, אידיאל נילי הוא אידיאל שכל איבריו נילפוטנטיים. מכיוון שסכום של אידיאלים ניליים גם הוא נילי, סכום כל האידיאלים הניליים בחוג הוא אידיאל נילי, המכונה הרדיקל הנילי העליון.

הגדרות

איבר $a$ של חוג הוא נילפוטנטי אם קיים $n$ כך ש- $a^{n}=0$ .

תת-קבוצה $S$ של חוג $R$ , שכל איבריה נילפוטנטיים, נקראת קבוצה נילית. אם קיים $n$ כך שהמכפלה $s_{1}\dots s_{n}$ מתאפסת לכל $s_{1},\dots ,s_{n}\in S$ אז $S$ היא קבוצה נילפוטנטית. קל לראות שהאידיאל השמאלי $Ra$ הוא נילי אם ורק אם האידיאל הימני $aR$ הוא כזה.

אידיאל הוא נילפוטנטי מקומית, אם תת-החוג הנוצר על ידי מספר יוצרים סופי מאברי האידיאל הוא תמיד נילפוטנטי (אם כי דרגת הנילפוטנטיות עשויה להיות תלויה בבחירת היוצרים). כל אידיאל נילפוטנטי הוא נילפוטנטי מקומית, וכל אידיאל נילפוטנטי מקומית הוא נילי; הטענות ההפוכות אינן נכונות בדרך כלל. עם זאת, בחוגים נותריים, כל אידיאל שמאלי נילי הוא אידיאל נילפוטנטי^[1]. חוג ראשוני שאין בו אידיאלים ניליים נקרא strongly prime.

חוגים ניליים

ההגדרות עבור אידיאלים חלות גם על חוגים בלי יחידה: חוג נילי הוא חוג שבו כל האיברים ניליים (ולכן אין בו אידמפוטנטים). חוג שכל המנות הראשוניות שלו הן ניליות הוא בעצמו נילי.

סכום של אידיאלים ניליים

איברים נילפוטנטיים נראים ממבט ראשון "קרובים לאפס", אבל זווית ראייה זו אינה מועילה, משום שהסכום או המכפלה של איברים נילפוטנטיים אינם בהכרח כאלה ^[2]. לעומת זאת, ההנחה שאיבר שייך לאידיאל נילי היא חזקה ביותר. כל האיברים מסוג זה מרכיבים יחדיו את האידיאל הנילי הגדול ביותר, שהוא רדיקל הנקרא הרדיקל הנילי העליון של החוג. אידיאל זה שווה לחיתוך של כל האידיאלים הראשוניים. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל הנילי כולל את כל האיברים הנילפוטנטיים, ושווה לרדיקל של אידיאל האפס בחוג.

בדומה לזה, רדיקל לויצקי הוא האידיאל השמאלי הנילפוטנטי-מקומית הגדול ביותר, והוא אידיאל דו-צדדי. קיומם של רדיקלים אלה מוכיח שסכום (כלשהו) של אידיאלים ניליים הוא תמיד נילי, והסכום של אידיאלים נילפוטנטיים-מקומית הוא תמיד נילפוטנטי-מקומית. אפילו הסכום של אידיאלים שמאליים נילפוטנטיים-מקומית הוא נילפוטנטי-מקומית, והסכום של תת-חוג נילפוטנטי מקומית עם תת-חוג נילפוטנטי הוא נילפוטנטי מקומית^[3]. לעומת זאת, לא ידוע האם סכום של אידיאלים שמאליים ניליים הוא תמיד נילי (ראו להלן).

כאשר מדובר באידיאלים נילפוטנטיים התמונה שונה: הסכום של מספר סופי של אידיאלים (שמאליים) נילפוטנטיים, הוא נילפוטנטי, אבל סכום של מספר כלשהו של אידיאלים נילפוטנטיים אינו בהכרח כזה. סכום כל האידיאלים הנילפוטנטיים בחוג הוא נילי, אבל בדרך כלל אינו נילפוטנטי.

בעיות פתוחות

השערת קתה, שהיא אחת ההשערות הפתוחות המרכזיות בתורת החוגים, שואלת האם סכום של אידיאלים שמאליים ניליים הוא תמיד נילי^[4]. ידוע שקיים חוג נילי אפיני שאינו נילפוטנטי (Golod ו-Shafarevitch), אך לא ידוע האם חוג נילי מוצג סופית הוא בהכרח מממד סופי.

ראו גם

הערות שוליים

^ Ring Theory, L. Rowen, Theorem 2.6.23; A theorem of Levitzki, I.E. Herstein, Proc AMS, 1961
^ לדוגמה, הסכום או המכפלה של יחידות המטריצות $\ e_{12},e_{21}$ אינם נילפוטנטיים.
^ Ferrero and Puczylowski, On rings which are sums of two subrings, Arch. Math. 53, 4--10, (1989).
^ בין הגרסאות השקולות: האם סכום של תת-חוג נילפוטנטי ותת-חוג נילי, הוא נילי. ידוע שיש סכומים של שני תת-חוגים נילפוטנטיים מקומית שאינם ניליים.

[1] Ring Theory, L. Rowen, Theorem 2.6.23; A theorem of Levitzki, I.E. Herstein, Proc AMS, 1961

[2] לדוגמה, הסכום או המכפלה של יחידות המטריצות $\ e_{12},e_{21}$ אינם נילפוטנטיים.

[3] Ferrero and Puczylowski, On rings which are sums of two subrings, Arch. Math. 53, 4--10, (1989).

[4] בין הגרסאות השקולות: האם סכום של תת-חוג נילפוטנטי ותת-חוג נילי, הוא נילי. ידוע שיש סכומים של שני תת-חוגים נילפוטנטיים מקומית שאינם ניליים.

[1]

[2]

[3]

[4]