משפט נגטה-היגמן

באלגברה, משפט נגטה-היגמן הוא משפט הקובע שכל אלגברה אסוציאטיבית (בלי יחידה) $A$ מעל שדה ממאפיין 0, שהיא נילית מדרגה חסומה, היא נילפוטנטית. במילים אחרות ^[1] לכל $n$ קיים קבוע $c(n)$ כך שאם $a^{n}=0$ לכל $a\in A$ , אז לכל $a_{1},\dots ,a_{c(n)}\in A$ , המכפלה $a_{1}\cdots a_{c(n)}$ שווה לאפס. הקבוע $c(n)$ נמצא בטווח ${\frac {n(n+1)}{2}}\leq c(n)\leq n^{2}$ , ומשערים שהוא שווה לחסם התחתון, אבל ערכו המדויק אינו ידוע.

מאפיין חיובי

המשפט, כפי שנוסח כאן, נכון גם כאשר המאפיין חיובי וגדול מ- $n$ , אבל במקרה הכללי הוא ידוע רק כאשר $A$ נוצרת סופית. למעשה מתקיים העידון הבא: לכל $n$ ולכל $d$ יש קבוע $c_{d}(n)$ כך שכל אלגברה עם $d$ יוצרים, מעל שדה ממאפיין $0<p\leq n$ , שכל אבריה נילפוטנטיים מדרגה $n$ לכל היותר, היא נילפוטנטית מדרגה $c_{d}(n)$ לכל היותר. גם כאן הערך המדויק של $c_{d}(n)$ אינו ידוע; ל- $d$ קבוע קיים תת-מעריכי מהצורה $c_{d}(n)=O(e^{\log(n)^{2}})$ , ואם מגבילים את המאפיין לטווח ${\frac {n}{2}}<p\leq n$ , ידוע גם חסם פולינומי ב- $n$ (אך דרגת הפולינום תלויה - לוגריתמית - ב- $d$ )^[2].

מעל שדה אינסופי (ממאפיין שרירותי) ישנו חסם פולינומי שניתן על ידי דומוקוש^[3]: $c_{d}(n)\leq (m+2)n^{4}$ . אם המאפיין גדול מ- $n^{2}+1$ (או 0), אזי $c_{d}(n)\leq n^{2}$ .

היסטוריה

את המשפט הוכיחו ב-1943 Dubnov ו-Ivanov, אלא שמן הגרסה שלהם, שהתפרסמה באמצע המלחמה בכתב-עת רוסי, התעלמו עד שהתגלתה מחדש כארבעים שנה מאוחר יותר. ב-1952 ^[4] הוכיח Nagata את קיומו של חסם עליון, עצום בגדלו, למספרים $c(n)$ , ובכך הוכיח את המשפט. הוא הראה גם שהמשפט אינו נכון, כלשונו, במאפיין חיובי. מעט אחר-כך, ב-1956 ^[5] הוכיח גרהם היגמן את המשפט למאפיין חיובי גדול מ- $n$ , ומצא חסם עליון טוב יותר, מעריכי, וגם חסם תחתון ריבועי.

ב-1975 שיפר Kuzmin את החסם התחתון ל- $c(n)\geq {\frac {n(n+1)}{2}}$ , ושער שזהו שוויון (במאפיין אפס). השערה זו נבדקה ונמצאה נכונה עבור $n=1,2,3,4$ .

בשפה של תורת הזהויות, המשפט קובע (במאפיין אפס) שלכל $n$ קיים $c(n)$ כך ש- $x_{1}\cdots x_{c(n)}$ נמצא ב-T-אידיאל של $x_{1}^{n}$ ; כלומר, $x_{1}\cdots x_{c(n)}$ שייך לאידיאל של האלגברה החופשית $F\langle x_{1},x_{2},\dots \rangle$ הנוצר על ידי כל החזקות $f^{n}$ . תרגום הבעיה לשפת המטריצות הגנריות אִפשר ל-Razmyslov להוכיח את החסם $c(n)\leq n^{2}$ , שהוא הטוב ביותר הידוע כיום.

הערות שוליים

^ הטענה השנייה חזקה יותר לכאורה משום שהיא מספקת חסם אחיד לכל האלגברות, אבל אין בזה חידוש משום שהחסם של האלגברה החופשית מתאים לכולן
^ [1]
^ Mátyás Domokos, Polynomial bound for the nilpotency index of finitely generated nil algebras, Algebra and Number Theory, Vol. 12 (2018), No. 5, 1233–1242
^ M. Nagata, On the nilpotency of nil-algebras, J. Math. Soc. Japan 4 (1952), 296-301
^ G. Higman, On a conjecture of Nagata, Proc. Camb. Phil. Soc. 52 (1956), 1-4.

[1] הטענה השנייה חזקה יותר לכאורה משום שהיא מספקת חסם אחיד לכל האלגברות, אבל אין בזה חידוש משום שהחסם של האלגברה החופשית מתאים לכולן

[2] [1]

[3] Mátyás Domokos, Polynomial bound for the nilpotency index of finitely generated nil algebras, Algebra and Number Theory, Vol. 12 (2018), No. 5, 1233–1242

[4] M. Nagata, On the nilpotency of nil-algebras, J. Math. Soc. Japan 4 (1952), 296-301

[5] G. Higman, On a conjecture of Nagata, Proc. Camb. Phil. Soc. 52 (1956), 1-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]