חוג ראשוני

בתורת החוגים, חוג ראשוני הוא חוג שבו המכפלה של כל שני אידיאלים שונים מאפס, שונה מאפס. מחלקת החוגים הראשוניים היא בעלת תפקיד מרכזי בתורת החוגים, משום שהיא רחבה מאוד, ואפשר להיעזר בה, דרך מנות ביחס לאידיאלים ראשוניים ומכפלות תת-ישרות, כדי לנתח חוגים כלליים.

בחוג ראשוני כל שני אידיאלים שונים מאפס נחתכים באופן לא טריוויאלי (הטענה נכונה גם כשאחד מהם הוא אידיאל חד-צדדי). לכן אלו הם בדיוק החוגים שאינם ניתנים לפירוק בעזרת משפט השאריות הסיני.

בין החוגים הקומוטטיביים, חוג הוא ראשוני אם ורק אם הוא תחום שלמות. באופן כללי יותר, המרכז של כל חוג ראשוני הוא תחום שלמות.

הקשר למחלקות אחרות של חוגים

חוג מטריצות מעל חוג ראשוני הוא חוג ראשוני. חוג הפולינומים מעל חוג ראשוני הוא ראשוני. מכפלה טנזורית של אלגברות שהן חוגים ראשוניים היא ראשונית, וכך גם מכפלה חופשית.

כל חוג פרימיטיבי (וממילא, כל חוג פשוט) הוא ראשוני; חוג הפולינומים מעל שדה הוא חוג ראשוני שאינו פרימיטיבי. כל תחום (כלומר, חוג לאו דווקא קומוטטיבי ללא מחלקי אפס) הוא חוג ראשוני, אך לא להפך: חוגי מטריצות מעל שדה הם פשוטים ולכן ראשוניים, אך מכילים מחלקי אפס. חוג ראשוני שאינו מכיל איברים נילפוטנטיים לא טריוויאליים הוא תחום.

אלגברה מדורגת היא ראשונית אם ורק אם המכפלה של שני אידיאלים הומוגניים שונים מאפס, שונה מאפס. אלגברה מונומיאלית היא ראשונית אם ורק אם לכל שני מונומים $u,v\neq 0$ ישנו מונום $w$ כך ש-$uwv\neq 0$.

כל אלגברה 'כמעט סוף-ממדית' (אינסוף-ממדית מעל שדה, שכל תמונה הומומורפית אמיתית שלה היא סוף-ממדית) היא ראשונית.

לפי משפט פוזנר, חוג ראשוני המקיים זהות פולינומית ניתן לשיכון בחוג מטריצות מעל אלגברת חילוק מממד סופי מעל המרכז שלה, שהוא שדה השברים של המרכז של החוג המקורי. הלמה של רואן מבטיחה כי בחוג ראשוני למחצה המקיים זהות פולינומית, כל אידיאל שונה מאפס חותך באופן לא טריוויאלי את המרכז. מכאן שבחוג ראשוני למחצה עם זהויות פולינומיות, ראשונית המרכז שקולה לראשוניות החוג כולו.

אידיאלים ראשוניים

בכל חוג R, אידיאל P הוא אידיאל ראשוני אם ורק אם חוג המנה $\ R/P$ ראשוני. לכן אידיאל האפס הוא אידיאל ראשוני של R אם ורק אם R ראשוני בעצמו. יש כמה תכונות שקולות לכך שאידיאל הוא ראשוני: אם P מכיל מכפלה של שני אידיאלים, הוא מוכרח להכיל אחד מהם; אם P מכיל מכפלה של שני אידיאלים שמאליים, הוא מוכרח להכיל אחד מהם; אם P מוכל ממש בשני אידיאלים אז הוא אינו מכיל את מכפלתם.

אידיאל המתקבל מחיתוך אידיאלים ראשוניים הוא ראשוני למחצה. לחלופין, אידיאל הוא ראשוני למחצה אם חוג המנה ביחס אליו הוא ראשוני למחצה.

קישורים חיצוניים

• חוג ראשוני, באתר MathWorld (באנגלית)