תרמודינמיקה סופית בזמן

תרמודינמיקה סופית בזמן (Finite–Time Thermodynamics) היא ענף של התרמודינמיקה, העוסקת בניתוח תהליכים תרמודינמיים שזמן ביצועם סופי וכן בתהליכים שאינם הפיכים, וזאת בניגוד לתרמודינמיקה הקלאסית העוסקת בעיקר בתהליכים שזמן התרחשותם אינסופי (דהיינו נמצאים בשווי משקל תרמודינמי) וכן בתהליכים הפיכים.

הפורמליזם החדש של התרמודינמיקה הסופית בזמן מסייע להבין את תפקודן של מערכות תרמודינמיות אמיתיות, כאלו שאינן מצויות בתנאי מעבדה, וכן מספק חסמים מלעיל הדוקים יותר לנצילות של אותן מערכות (וזאת בניגוד לנצילות קרנו, אשר בדרך כלל גבוהה בהרבה מהנצילות האמיתית של המערכת).

היסטוריה

סאדי קרנו

בשנת 1825 סאדי קרנו, פיזיקאי ומהנדס צרפתי, פרסם את מאמרו "הרהורים על כוחה המניע של האש", מאמר אשר הוביל לפיתוח תחום חדש בפיזיקה – תרמודינמיקה. אחת התוצאות המהפכניות של עבודתו זו, היא העובדה כי לא קיים מנוע, אשר נצילותו גדולה יותר מנצילותו של מנוע קרנו, שהיא:

$\eta =1-{\frac {T_{2}}{T_{1}}}$

כאשר $T_{1}$ היא הטמפרטורה של המאגר החם ו- $T_{2}$ היא הטמפרטורה של המאגר הקר.

באופן מעשי, לא ניתן ואף לא רצוי לבנות מנוע אשר עובד לאט באופן אינסופי, בלי לספק עבודה, ולפיכך היה ברור כי יש למצוא תורה כללית יותר, שתוכל לנבא באופן מדויק יותר את נצילותם של מנועים מעשיים.

הדחיפה ההיסטורית המשמעותית ביותר שגרמה לצמיחתה של התרמודינמיקה הסופית – בזמן, הוא משבר האנרגיה העולמי של 1973, שבמהלכו מחירי הנפט עלו עד פי 4 ממחירם המקורי, כתוצאה מהחרם של ארגון אופ"ק על מדינות המערב. כך היה ברור לכל כי יש צורך ממשי לייעל מנועים המבוססים על נפט, על מנת להוריד מחירים.

בשנת 1975 פ.ל. קורזון ו ב. הלברון היו הראשונים אשר הכלילו את המנוע הקלאסי של קרנו – למנוע קרנו אשר אינו נמצא בבידוד מושלם מסביבתו, וכן מנוע אשר מספק הספק עבודה מקסימלי.

עבודתם של קורזון והלברון הייתה פורצת דרך בתחום והובילה לפיתוח מואץ של התחום, בעיקר על ידי פיטר סלומון, ר. סטפן ברי ובז'ארן אנדרסון – אבות התרמודינמיקה הסופית בזמן.

למרות התוצאה המהפכנית של קורזון והלברון, הנחות המודל שעליו התבססו עדיין היו די בסיסיות, ולא תיארו בצורה מדויקת את הנצילות של מנועים תעשייתיים.

מנוע קרנו קלאסי

עם הזמן, בקרב הקהילה המדעית הובן כי לא יהיה פרודוקטיבי, ואף פעמים רבות לא אפשרי, להגיע לביטויים סגורים עבור ההספק המקסימלי שניתן להפיק מכל סוגי המנועים. לפיכך, הייתה דרושה דרך כללית להגדלת ההספק של כל סוגי המנועים.

בשנת 1983 סלומון וברי הציעו דרך חילופית להשגת המטרה – במקום מציאת אקסטרמום להספק המנוע כפונקציה של טמפרטורת המנוע והסביבה (כפי שקורזון והלברון עשו), ניתן להשתמש בעובדה כי בתהליך לא הפיך, העבודה שהמערכת מבצעת היא לא פונקציית מצב, דהיינו – העבודה תלויה בדרך שהמנוע עבר במרחב התרמודינמי. לפיכך – כדי למצוא את העבודה המקסימלית, ניתן למצוא את הדרך שמחזירה מקסימום עבודה. לכן, האתגר המרכזי כעת יהיה לחפש את הדרך הזו.

לצורך כך, הם הגדירו את אחד המושגים החשובים ביותר בתרמודינמיקה סופית בזמן – זמינות אנרגיה סופית בזמן. בעזרת הגדרה זו, וכן בעזרת החוק השני של התרמודינמיקה, הצליחו סלמון וברי למצוא חסם תחתון לזמינות האנרגיה במערכת, ובכך להקטין את מלאכת החיפוש עבור התהליך שמחזיר את העבודה המקסימלית.

המודל של קורזון והלברון

מנוע קורזון הלברון

כאמור, קורזון והלברון היו הראשונים אשר הצליחו למצוא חסם עליון הדוק לנצילות של מנוע קרנו המספק הספק מקסימלי, אשר אינו מבודד באופן מושלם מסביבתו.

הנחות המודל שפיתחו:

1. המנוע הוא מנוע קרנו, כלומר מנוע שעובר בכל מחזור ארבעה תהליכים: התפשטות איזותרמית, התפשטות אידאבטית, דחיסה איזותרמית ודחיסה אדיאבטית. מכך נובע שכל התהליכים המתרחשים במנוע הפיכים.
2. עוצמת זרימת החום (heat flux) בין המנוע לסביבה אינו אינסופי, וגם אינו משתנה בזמן.
3. המנוע פועל כך, שהוא מספק הספק עבודה מקסימלי.
   לפיכך, בתהליך ההתפשטות האיזותרמית נקבל:

$\phi =\alpha (T_{1}-T_{1w})$

כאשר:

• $\phi$ היא עוצמת זרימת החום (heat flux).
• $\alpha$ הוא קבוע התלוי בעוצמת הבידוד בין המנוע לסביבתו בתהליך הנ"ל.
• $T_{1}$ הוא הטמפרטורה של מקור החום
• $T_{1w}$ הוא הטמפרטורה של הסביבה

בגלל שהנחנו שעוצמת זרימת החום אינה משתנה בזמן, נוכל לכתוב כי האנרגיה שהתקבלה בתהליך ההתפשטות האיזותרמית היא:

$W_{1}=\alpha t_{1}(T_{1}-T_{1w})$

כך ש $t_{1}$ הוא משך הזמן שבו התרחש התהליך, ו $W_{1}$ היא האנרגיה הנכנסת למערכת.

באותה דרך, בדחיסה האיזותרמית נקבל כי:

$W_{2}=\beta t_{2}(T_{2w}-T_{2})$

מכיוון שהנחנו שכל התהליכים המתרחשים במנוע הפיכים, מתקבל כי:

${\frac {W_{1}}{T_{1w}}}={\frac {W_{2}}{T_{2w}}}$

כעת, הספק המנוע, על פני מחזור שלם, הוא:

$P={\frac {W_{1}-W_{2}}{\gamma (t_{1}+t_{2})}}$

כך שמשך פעולת המנוע במחזור שלם הוא $\gamma (t_{1}+t_{2})$.

לאחר הצבת הביטויים הקודמים, מתקבל:

$P={\frac {\alpha \beta xy(T_{1}-T_{2}-x-y)}{\gamma (\beta T_{1}y+\alpha T_{2}x+xy(\alpha -\beta ))}}$

כך שהגדרנו: $x\equiv T_{1}-T_{1w},y\equiv T_{2w}-T_{2}$.

כעת, נרצה למקסם את ההספק לפי הטמפרטורה האפקטיבית, כלומר לטמפרטורה של המאגרים פחות הטמפרטורה של הסביבה, שהם x,y.

לפיכך נדרוש:

${\frac {\partial P}{\partial x}}={\frac {\partial P}{\partial y}}=0$

בסופו של דבר, מתקבל:

${\tilde {\eta }}=1-{\sqrt {\frac {T_{2}}{T_{1}}}}$

$P_{max}={\frac {\alpha \beta }{\alpha +\beta }}({\sqrt {T_{1}}}-{\sqrt {T_{2}}})^{2}$

בנצילות המנוע החדשה שנמצאה קיימות שתי תוצאות תאורטיות חשובות:

1. הנצילות אינה תלויה בזמני התהליכים $t_{1},t_{2}$.
2. הנצילות אינה תלויה בקיבולי החום $\alpha ,\beta$.

תחנות כוח, טמפרטורות המאגרים הקרים והחמים שלהם, והנצילות המעשית שלהם. ניתן לשים לב שנצילות קורזון - הלברון קרובה הרבה יותר לערך המעשי מאשר נצילות קרנו

$\eta _{observed}$	${\tilde {\eta }}$	$\eta _{carnot}$	$T_{1}(K)$	$T_{2}(K)$	תחנת הכוח
0.36	0.4	0.64	838	298	תחנת הכוח במערב וורווק (אנגליה) המבוססת על פחם
0.32	0.28	0.48	573	298	תחנת הכוח הגרעינית CANDU בקנדה
0.16	0.175	0.32	523	353	תחנת הכוח בלרדלרו (איטליה) המבוססת על אנרגיה גאותרמית

מנוע קורזון - הלברון עם דליפת חום

מנוע קורזון הלברון עם דליפת חום

במנועי חום אמיתיים, בדרך כלל מתרחשת דליפת חום במנוע, דבר הגורם להקטנת נצילות המנוע.

הנצילות החדשה תחושב ע"י:

$\eta ={\frac {W_{out}}{Q_{H}+Q_{Leak}}}$

אם נניח כי החום שדלף, מתנהג לפי חוק הקירור של ניוטון, נבין כי החום שדלף פרופורציוני להפרשי הטמפרטורות. ולפיכך:

$Q_{Leak}=\delta \cdot t_{tot}(T_{1}-T_{2})$

כך ש:

• $\delta$ קבוע התלוי בעוצמת הבידוד בין המאגר החם למאגר הקר.
• $t_{tot}$ הוא הזמן שבו התרחשה פעולת המנוע.

לכן, נקבל:

$\eta ={\frac {W_{out}}{Q_{H}+\delta \cdot t_{tot}(T_{1}-T_{2})}}$

נשים לב כי הנצילות של מנוע עם דליפת חום תלויה באורך התהליך, וגם בקבועים התלויים בקיבול החום של המנוע.

תוצאה זו עוזרת להבין את הסיבה כי במרבית תחנות הכוח, נצילות קורזון-הלברון גבוהה במעט מהנצילות שנמדדה בפועל.

צימוד מנועי קורזון - הלברון

צימוד של שני מנועי קורזון הלברון

עד כה הדיון סבב סביב מנוע ק.ה. יחיד, אך לעיתים יש צורך הנדסי בצימוד של שני מנועי ק.ה., ואולי אף יותר במערכת אחת.

כך למשל בתחנות כוח רבות משתמשים בחום הנפלט במחזורי חום חמים יותר, כקלט במחזורי חום קרים יותר.

מנוע קורזון - הלבורן המוצמד ה $n$ מוגדר כך שהוא עובד בין הטמפרטורות ${T_{1}}_{n},{T_{1w}}_{n}$ לבין ${T_{2}}_{n},{T_{2w}}_{n}$, והחום הנכנס אליו הוא ${Q_{H}}_{n}$ והחום היוצא ממנו הוא ${Q_{C}}_{n}$, כך ש:

${Q_{H}}_{n}={Q_{C}}_{n-1},{T_{1}}_{n}={T_{2}}_{n-1},{T_{1w}}_{n}={T_{2w}}_{n-1}$

עבור $n$ טבעי, גדול מאחד.

בשנת 1988 מורטון ה. רובין ובז'ארן אנדרסון הצליחו להראות כי הנצילות של שני מנועי ק.ה. מצומדים – היא אותה נצילות של מנוע ק.ה. יחיד בעל אותם תנאים התחלתיים.

מכך באופן אינדוקטיבי ניתן להסיק כי נצילות של $n$ מנועי ק.ה. מצומדים היא אותה נצילות כמו של מנוע ק.ה. בודד.

בשנת 2001 ג'ינחאן חן הראה כי גם נצילות של שני מנועי ק.ה. עם דליפת חום שווה לנצילות של מנוע ק.ה. בודד עם דליפת חום.

עבודתם של סלמון וברי

כאמור, ההישג המרכזי של עבודתם של סלמון וברי הוא מציאת חסם לזמינות האנרגיה במערכת, וכך לייעל את עבודת מהנדסי המנועים במציאת הדרך שמחזירה את העבודה המקסימלית.

עבודתם התבססה על צורת תולמן פיין של החוק השני של התרמודינמיקה, כך שעבור תהליך כללי שנמשך מזמן $t_{i}$ עד ל $t_{f}$, העבודה המתקבלת ממנו היא:

$W=-\triangle A-T_{0}\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\dot {S}}_{tot}dt$

כאשר:

• ${\dot {S}}_{tot}$ הוא גודל אי-שלילי המתאר את השינוי בזמן של האנטרופיה של המנוע והסביבה ביחד.
• $T_{0}$ היא טמפרטורת המערכת.
• כך ש $\triangle A$ היא זמינות האנרגיה הסופית בזמן, ומוגדרת כך: $\triangle A\equiv A|_{t_{f}}-A|_{t_{i}}$

כך ש $A$ זו זמינות האנרגיה הקלאסית, ומוגדרת כך: $A\equiv U-T_{0}S+P_{0}V-\sum _{j}\mu _{0_{j}}N_{j}$

נשים לב שעבור תהליך הפיך, מתקיים ${\dot {S}}_{tot}=0$ ולכן כצפוי מתקבל $W=-\triangle A$.

מכיוון שאנו מעוניינים בעבודה המקסימלית שהמנוע מסוגל לספק, נדרוש:

${\displaystyle W_{max}=\max\{-\triangle A-T_{0}\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\dot {S}}_{tot}dt}\}$

בדרך כלל, כאשר מתכננים מנוע, מקבעים את $-\triangle A$ להיות ערך קבוע, ואז, בעזרת שיקולים הנדסיים מבצעים מינימניזציה ל ${\dot {S}}_{tot}$ (למשל על ידי הארכת זמני התהליכים, שיפור תנאי הבידוד של מאגרי החום מהסביבה, ועוד).

לפיכך, נבין כי עדיף לבחור ב $-\triangle A$ מקסימלי.

באופן קלאסי, ניתן לחסום את $-\triangle A$ מלרע על ידי 0 (שהרי עבור תהליך הפיך העבודה השימושית שמייצר המנוע היא תמיד אי שלילית).

בעזרת שימוש בעבודתו של ווינהולד, הצליחו סלמון וברי למצוא חסם תחתון גבוה יותר לזמינות האנרגיה.

מטריצת ווינהולד מוגדרת באופן הבא:

$M_{U_{ij}}\equiv {\frac {\partial ^{2}U}{\partial X_{i}\partial X_{j}}}$

כאשר $X$ היא קבוצת כל המשתנים האקסטנסיביים של המערכת, ו - $U=U(X_{1},...,X_{n})$ היא האנרגיה של המערכת, התלויה רק במשתנים האקסטנסיביים.

ווינהולד הצליח להראות כי המטריצה הזו מקיימת את כל התכונות המאפיינות מטריקה, ולפיכך המטריצה מהווה מרחב מטרי, ולכן היא מהווה הצגה שקולה לכל חוקי התרמודינמיקה.

כך למשל, עבור גז אידיאלי:

$U(S,V)=\psi V^{-{\frac {k}{C_{v}}}}e^{\frac {S}{C_{v}}}$

מתקיים:

$M_{U}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial ^{2}S}}&{\frac {\partial ^{2}U}{\partial S\partial V}}\\{\frac {\partial ^{2}U}{\partial V\partial S}}&{\frac {\partial ^{2}U}{\partial ^{2}V}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {T}{C_{V}}}&-{\frac {P}{C_{V}}}\\-{\frac {P}{C_{V}}}&(1+{\frac {k}{C_{v}}}){\frac {P}{V}}\end{pmatrix}}$

בעזרת המטריקה של ווינהולד, ניתן לחשב גודל בשם "האורך התרמודינמי" (Thermodynamic length), כך:

$L\equiv \int _{\gamma }(\sum _{ij}M_{U_{ij}}dX_{i}dX_{j})^{\frac {1}{2}}=\int _{\xi _{i}}^{\xi _{f}}({\frac {d\mathbf {X} ^{t}}{d\xi }}\mathbf {M_{U}} {\frac {d\mathbf {X} }{d\xi }})^{\frac {1}{2}}d\xi$

כך ש $\gamma$ הוא מסלול במרחב התרמודינמי, ו- $\xi$ הוא פרמטר פיזיקלי רציף במרחב התרמודינמי (למשל הזמן).

במאמרם, הצליחו סלמון וברי להראות כי:

$-\triangle A=\int _{t_{i}}^{t_{f}}({\frac {d\mathbf {X} ^{t}}{dt}}\mathbf {M_{U}} {\frac {d\mathbf {X} }{dt}}\varepsilon )dt$

כך ש $\varepsilon$ הוא זמן הפיגור (Lag time) של המערכת.

כעת, בעזרת אי שוויון קושי שוורץ לאינטגרלים:

$-\triangle A={\bar {\varepsilon }}\int _{t_{i}}^{t_{f}}({\dot {\mathbf {X} }}^{t}\mathbf {M} {\dot {\mathbf {X} }})dt\geq {\bar {\varepsilon }}{\frac {(\int _{t_{i}}^{t_{f}}({\dot {\mathbf {X} }}^{t}\mathbf {M} {\dot {\mathbf {X} }})^{\frac {1}{2}}dt)^{2}}{t_{f}-t_{i}}}={\bar {\varepsilon }}{\frac {L^{2}}{t_{f}-t_{i}}}$

כך ש ${\bar {\varepsilon }}$ הוא זמן הפיגור הממוצע (Mean lag time).

לבסוף: $-\triangle A\geq {\bar {\varepsilon }}{\frac {L^{2}}{t_{f}-t_{i}}}$

לסיכום, עבור כל תהליך תרמודינמי ניתן לחשב שלושה גדלים - האורך התרמודינמי, זמן הפיגור הממוצע, וכן משך זמן התהליך, וכך למצוא חסם תחתון לנצילות האנרגיה הסופית בזמן.

ראו גם

• היסטוריה של התרמודינמיקה
• שיווי משקל תרמודינמי
• תרמודינמיקה לא בשיווי משקל

לקריאה נוספת

• התקדמויות אחרונות בתרמודינמיקה סופית בזמן
• מקבץ מאמרים אודות תרמודינמיקה סופית בזמן