שיחה:שדה (מבנה אלגברי)

כדאי לתקן:

1. הוספת הסבר על משמעות המושג "שדה" מעבר להגדרה הפורמלית, שאינה שימושית לרוב הקוראים.

2. הוספת דוגמאות:

$GF(p),\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),\mathbb {R} (x)$

3. שכתוב של הפרק "שימושים". להוציא אינפי, להגלות אלגברה לינארית לסוף, ולהסביר על תורת גלואה ושדות סופיים (ושימושים בתורת הקודים לתיקון שגיאות), לפחות.

יפה הצעת, עכשיו כדאי שתעשה את המלאכה ותערוך את הערך בהתאם להצעתך. דוד שי 22:00, 9 ספט' 2004 (UTC)

אני לא אוהב את הפרק על "שימושים". בגרסתו הראשונה, ואף עכשיו, הוא יותר מדי נשמע (נקרא) כמו רשימה שנעשתה מזווית הראייה של סטודנט בתחילת דרכו. שדות מופיעים במקומות רבים במאוד במתמטיקה הגבוהה (מה למשל עם תורת המספרים האלגברית?). לא ראיתי שאנחנו מתיימרים לתת רשימת "שימושים" דומה למושגים אחרים במתמטיקה. עד שלא יימצא בינינו מתמטיקאי פעיל שמסוגל לכתוב רשימה מקיפה במידה סבירה, הרשימה שלנו היא בעיניי קצת חובבנית. --Harel 20:44, 10 אוק' 2004 (UTC)

אני לא מסכים. יש דברים שנראים לי תמוהים בלשון המעטה (אינפי?) אבל יש דברים שמתאימים. לא לכתוב על תורת גלואה, למשל, זה טיפה מוזר. הדרך הטובה לטפל בכתיבה חובבנית היא שמקצוען יבוא ויתקן. אין טעם למחוק משהו שמכיל מידע שהוא בסה"כ נכון רק בגלל הרושם ה"חובבני" שהוא יוצר. גדי אלכסנדרוביץ' 20:48, 10 אוק' 2004 (UTC)

כל שדה הוא תחום שלמות.

לא כל כך ברורה לי הקביעה שכל שדה הוא תחום שלמות (2 פסקות לפני הסוף ב"הגדרה ודוגמאות" הקביעה הזאת נכונה גם לגבי שדות לא קומוטטיבים? במידה וכן, אני אבקש לראות הוכחה.

שדה הוא בהגדרה קומוטטיבי. הגרסה הלא קומוטטיבית של שדה נקראת חוג עם חילוק. לירן (שיחה,תרומות) 01:19, 14 באפריל 2012 (IDT)

יש מקורות שבהם "שדה" מתפרש גם במשמעות הלא קומוטטיבית, אבל גם אז בשדה אין מחלקי אפס: כל חוג עם חילוק הוא תחום. עוזי ו. - שיחה 22:29, 14 באפריל 2012 (IDT)

חוג פשוט

מה זה בדיוק? דניאל • תרמו ערך 00:11, 16 באפריל 2012 (IDT)

אולי זה? שדדשכ • שיחה • כ"ד בניסן ה'תשע"ב • 00:15, 16 באפריל 2012 (IDT)

תודה. מסיבה כלשהי לא מצאתי את הערך בעצמי. כנראה היתה לי תקלדה בחיפוש. הייתי צריך לנחש מה זה, באנלוגיה לחבורה פשוטה. דניאל • תרמו ערך 00:18, 16 באפריל 2012 (IDT)

הגדרה

ניתן לשפר מראה של הגדרה:

• לעשות שורות יותר קצרות
• להוסיף דוגמאות מסבירות

הצעה:

- - - - -

הגדרה:

שדה הוא מבנה אלגברי הכולל קבוצה $\ F$ ומקיים שתי פעולות בינאריות כפל וחיבור (המסומנות בדרך כלל: "$\cdot$" , "+") , כך שמתקיימות התכונות הבאות:

• חיבור

1. סגירות: לכל $\ a,b\in \mathbb {F}$ מתקיים $(a+b)\in \mathbb {F}$
2. קומוטטיביות (חילוץ): לכל $\ a,b\in \mathbb {F}$ מתקיים $(a+b)=(b+a)$
3. אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל $\ a,b,c\in \mathbb {F}$ מתקיים $(a+b)+c=a+(b+c)$
4. קיום ניטרלי לחיבור: קיים איבר $0_{F}\in \mathbb {F}$ כך שלכל $a\in \mathbb {F}$ מתקיים $a+0_{F}=a$
5. קיום איבר נגדי לכל איבר אחר: לכל $a\in \mathbb {F}$ קיים איבר $-a$ כך ש- $a+(-a)=0_{F}$

• כפל

1. סגירות: לכל $\ a,b\in \mathbb {F}$ מתקיים $(a\cdot b)\in \mathbb {F}$
2. קומוטטיביות (חילוץ): לכל $\ a,b\in \mathbb {F}$ מתקיים $(a\cdot b)=(b\cdot a)$
3. אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל $\ a,b,c\in \mathbb {F}$ מתקיים $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
4. קיום ניטרלי לכפל: קיים איבר $1_{F}\in \mathbb {F}$ כך שלכל $a\in \mathbb {F}$ מתקיים $a\cdot 1_{F}=a$
5. קיום איבר הפכי לכל איבר אחר: לכל $a\in \mathbb {F} \setminus \{0_{F}\}$ קיים איבר $a^{-1}$ כך ש- $a\cdot a^{-1}=1_{F}$

• בנוסף

1. דיסטריבוטיביות (פילוג): לכל $\ a,b,c\in \mathbb {F}$ מתקיים $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$
2. $1_{F}\neq 0_{F}$

- - - - -

Flyelog - שיחה 11:57, 22 באפריל 2014 (IDT)

אלו העצים; איפה היער? עוזי ו. - שיחה 13:22, 22 באפריל 2014 (IDT)

זאת הגדרה מלאה. משהוא חסר? או אולי צריך לשנות ניסוח? אני אשמח לביקורת בונה וממוקדת. אתה בעד השינוי הזה? Flyelog - שיחה 13:53, 22 באפריל 2014 (IDT)

לא, אני נגד השינוי הזה. הוא מציף את הקורא בפרטים טכניים ומפריע לו לראות את ההגדרה. עוזי ו. - שיחה 20:39, 28 באפריל 2014 (IDT)

תכונות בסיסיות

מציע להחליף פסקה אחרונה של גרסה נוחחית של הגדרה ע"י פסקה חדשה:

תכונות בסיסיות:

מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמאות:

• לכל $a\in \mathbb {F}$ מתקיים $a\cdot 0_{F}=0_{F}$
• קיים ניטרלי לכפל יחיד
• קיים ניטרלי לחיבור יחיד
• אין מחלקי $0_{F}$
• לכל $a,b\in \mathbb {F}$ מתקיים $(-a)\cdot b=-(a\cdot b)$
• יחידות הנגדי וההפכי

Flyelog - שיחה 12:02, 22 באפריל 2014 (IDT)

נדרשת הרחבת הערך

• הערך באנגלית רחב יותר וכנראה גם ברור יותר.
• הערך בעברית מציין כי יש הרבה דוגמאות אבל מביא רק מספר מצומצם שלהם, ומקשה על הקורא להבין מה הרעיון של שדה במובן המופשט יותר. חסרות גם דוגמאות נגדיות , מה הם דברים שדומים לשדות אבל אינם כאלה.
• לא ברור מה זה שדה סופי, וגם מהערך שאליו מפנים זה לא ממש ברור.
• אחת ה"מחלות" של ערכים במתמטיקה היא שכדי להבין ערך אחד , עליך לפנות תחילה להגדרות אחרות ולסימונים אחרים. ושם לטבוע בעוד מלל. ה"מחלה" הזאת מאפיינת גם מדריכים טכניים ישנים של חברת תוכנה גדולה - במקום לתת דוגמה פשוטה של מושג, עליך להבין קודם 30 מושגים אחרים שחלקם הגדול גם הוא מפנה אותך למושגים אחרים במקום לתת דוגמאות. לטעמי אנשים מבינים מדוגמאות ודוגמאות נגדיות יותר מאשר מהגדרה פומרלית. האזרח דרור - שיחה 11:04, 19 בדצמבר 2016 (IST)

הרחבת הערך

הרחבת הערך התבססה על תרגומו מאנגלית. Shani - שיחה 23:21, 30 באוגוסט 2021 (IDT)

‏	ערך זה נכתב במסגרת "כלים שלובים", מערכת לימודי הבחירה לתואר ראשון של אוניברסיטת תל אביב, בקורס "מווב 2.0 לווב 3.0, מוויקיפדיה לוויקידאטה" החל משנת 2018 (או בקורס "ויקיפדיה: מיומנויות של יצירת וצריכת ידע" בין השנים 2015–2017). בכל שאלה לגבי הערכים, נא לפנות אל שני אבנשטיין.

חוק הפילוג

לא אמורים להיות סוגריים גם בצד ימין?

דיסטריבוטיביות (פילוג): לכל $\ a,b,c\in \mathbb {F}$ מתקיים $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$

Shannen - שיחה 08:31, 31 ביולי 2022 (IDT)

חייבים לשים סוגריים בצד ימין היות ומדובר על הגררה פורמלית של השדה ועד אכסיומת הפילוג אין שום מילה על כך שיש קדימות בין שתי הפעולות הבינאריות, כלומר אין שום ידיעה על כך שהכפל עדיף על החיבור. אם לא נשים את הסוגריים, אזי אם נבצע את הביטוי משמאל לימין , מה שיתבצע בשלבים:

קודם נכפיל את A ו B

לתוצאה נוסיף את A

ואת התוצאה נכפיל ב C

וזה שגוי!

ההגדרה בויקי באנגלית כוללת סוגריים והיא הנכונה! 93.173.65.88 16:21, 31 ביולי 2022 (IDT)

סדר הפעולות הוא מוסכמה של השפה. אין צורך לכלול זאת בהגדרת השדה.

ישימו לב הטהרנים שלשיטתם צריך לדקדק עוד יותר: $(a\cdot (b+c))=((a\cdot b)+(a\cdot c))$ (מי התיר לנו להשמיט סוגריים בביטוי); ואולי בכלל $\cdot (a,+(b,c))=+(\cdot (a,b),\cdot (a,c))$ (מניין לנו הסימון המיוחד לפעולות בינאריות). עוזי ו. - שיחה 17:51, 31 ביולי 2022 (IDT)

אהבתי את נסיון להעליב : "הטהרנים"

הרשה נא לי הדל באלפי מנשה, לחלוק על דעתך. פה מדובר על הגדרה פורמלית ולא על מוסכמות של שפה.

קודם מגדירים הגדרה פורמלית מדויקת ורק לאחר מכן ניתן לעבור למוסכמות.

שהן במקרה שלנו שתיים:

1.מוסכם להשמיט את סימבול הכפל ולהצמיד את שני האופרנדים.

2.מוסכם לוותר על הסוגריים. כשאנחנו מגדירים שתמיד כפל עדיף על חיבור

ברצוני גם להזכיר שבהגדרה הפורמלית המושגים כפל וחיבור הם מושגים כלליים ולא קשורים

ישירות לכפל וחיבור הידועים למשל מהרציוניאלים, שם אכן כבר מוסכם שהכפל עדיף על חיבור.

ולגבי התוספת שלך של עוד זוג סוגריים זו התחכמות מתנשאת.

לגבי השימוש בפעילויות הבינאריות אזי הכפל והחילוק מופיעים בתחילת ההגדרה הפורמלית

והשימוש בהם מתאר ומוגדר כחלק מהאכסיומות.

הערה:

אם היו שואלים אותי (מה שבוודאי אתה לא), אני בכלל בהגדרה הפורמלית לא הייתי מזכיר בכלל את המושגים כפל וחיבור,

כדי בכוונה להרחיק את ההגדרה הפורמלית של שדה מהכפל והחיבור הידועים.

אבל זה לא המקום להרחיב.

השתדלתי מאוד לקצר. 93.173.65.88 18:56, 31 ביולי 2022 (IDT)

אני נוטה להסכים עם האלמוני. כך גם רשום בויקיאנגלית וגם כותב המקורי של הערך. בוודאי שאין זאת טעות, אז מדוע לא להסיר מכשול בפני עיוור? Shannen - שיחה 19:30, 31 ביולי 2022 (IDT)

משתמשים במושגים "חיבור" ו"כפל" עבור הפעולות בכל חוג, גם במקרים רחוקים מאד משדות המספרים המוכרים לנו. המוסכמות על סדר הפעולות, על השמטת סוגריים מיותרים, ובדרך כלל גם על השמטת סימן הכפל, מקובלות תמיד. אין צורך להיות פורמליסט קיצוני בהגדרות. עוזי ו. - שיחה 19:51, 31 ביולי 2022 (IDT)

1.תודה ל Shannen

2. אינני יודע מה הנוהג כאן לגבי שמות משתמש. ואם מישהו ירצה אעלה את שמי המלא

3. שוב, צר לי שעוזי ו. משתמש במושגים כגון " פורמליסט קיצוני"

4.ולגופו של עניין. ההגדרה הפורמלית של שדה צריכה להיות "טהורה" וללא שימוש בכלל במושגי כפל וחיבור. גם ללא הסתמכות על מוסכמות הנובעות ממוסכמות שבמערכות מספריות לסוגיהן. לדעתי כל ההסתמכות על המושגים כפל ןחילוק בהגדרת השדה, נובעת הסטורית מכך שהמבנה האלגברי הומצא על סמך ידע על הממשיים . לכן בהגדרה פורמלית של השדה, צריך להתעלם מההיסטוריה וללכת הפוך! (כמו שנאמר "הפוך גוטה הפוך!" ) כלומר, קודם להגדיר את מושג השדה ואחר כך להגדיר מופעים של שדות כהסתמכות על הגדרה פורמלית של שדה. לכן לדעתי אין להסתמך על שום מוסכמות לגבי שני האופרטורים בשדה. רק לאחר שמגדירים את אכסיומת הפילוג עם הסוגריים כמו שאני חושב שצריך, אפשר לדבר על מוסכמות: על השמטת סוגריים כאשר מדובר על סדר פעולות, בשל עדיפות של אחד האופרטורים . וכן על האפשרות להשמיט אופטור זה ולהצמיד את שני האופרנדים. מבחינתי ההגדרה הפורמלית של שדה היא: שלשה ובה משמאל לימין: קבוצה , מה שאני הקטן, מרשה לעצמי לקרוא "אופרטור בינרי בסיסי", ומה שאני קורא "אופרטור בינרי עדיף" .(אשמח לכינויים יותר מוצלחים), ולא כפל וחיבור. גם את האיברים הנטרליים לחיבור ולכפל לא הייתי מסמן ב 0,1

אלא I,O כמו בדוגמא של GF(2)

אבל נראה לי שזה רעיון מהפכני מדי למי שרגיל בהגדרה פורמלית של שדה, לדבר על חיבור וכפל. 0,1 93.173.65.88 11:02, 2 באוגוסט 2022 (IDT)

2. אם אתה רוצה להיות בר שיח קבוע, כדאי שתבחר כינוי קבוע.

4. אתה אכן מציג גישה פורמליסטית קיצונית. אפשר להגדיר שדה באופן הזה, בתור תרגיל בכתיבה לוגית פורמלית. בספרות (המיועדת לתלמידים של המקצוע), ובוודאי בכתיבה לקהל הרחב, מחפשים גישה יותר נוחה וקריאה. זה לא בא על חשבון הדיוק המתמטי. עוזי ו. - שיחה 15:04, 2 באוגוסט 2022 (IDT)

אם הצלחתי לקבל ולו רק "אפשר", אשרני. להזכירך, מדע המתטיקה הוא מדע מדויק, אם לא המדויק מכולם... מקווה שהייתי מקבל ציון טוב על התרגיל, אם כי את התואר שלי במתמטיקה סיימתי לפני 48 שנה. אינני מתכונן להיות בר שיח קבוע מסיבות שונות. תודה שהקדשת ממזמנך. 93.173.65.88 16:52, 3 באוגוסט 2022 (IDT)

מתמטיקה היא מדע מדוייק. כתיבה על מתמטיקה, ובוודאי לקהל הרחב - קצת פחות. עוזי ו. - שיחה 19:34, 3 באוגוסט 2022 (IDT)

משוב מ-18 בינואר 2024

התמונה בערך בעייתית כי מספרים טבעיים ושלמים הם לא שדה.. הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
2A02:14F:81:A125:31F4:EE5:863C:88BB‏ 01:05, 19 בינואר 2024 (IST)

ביטול גרסה

@עוזי ו., לא הבנתי מה הכוונה בביטול גרסה: חולק על הטענה ההסתברותית.. האם אתה לא מסכים שנהוג לסמן שדה ב$\mathbb {F}$ ולא בF רגילה? שלום אורי • שיחה • כ"ד באדר ב' ה'תשפ"ד • 10:25, 3 באפריל 2024 (IDT)

נהוג איפה? יש לי היכרות מסויימת עם הספרות בתחום. עוזי ו. ⁃ שיחה 11:27, 3 באפריל 2024 (IDT)

@עוזי ו. כנראה שיש לך ידע יותר מקצועי משלי (סטודנט לתואר ראשון), ולכן כתבתי בדרך שאלה. עד כה בתחומים שנתקלתי בהם בשדות ככה סימנו אותם, בעיקר ליניארית ואנליזה, ככה שאני מניח שזה הסימון הבסיסי ואם מסמנים בF רגילה אחר כך זה אולי מעצלנות. ככה גם הנחתי שקרה פה בערך ולכן שיניתי, תקן אותי אם אני טועה. לא הבנתי מילולית למה התכוונת ב'טענה הסתברותית'. שלום אורי • שיחה • כ"ד באדר ב' ה'תשפ"ד • 12:25, 3 באפריל 2024 (IDT)

טענה על מה שנהוג היא טענה הסתברותית (אולי סוציולוגית). עומדת לרשותנו היררכיה די מצומצמת לסימון של אובייקטים (אותיות יווניות קטנות וגדולות, אותיות לטיניות קטנות וגדולות, אותיות מודגשות, ושניים-שלושה מיני פונטים), והסימון תלוי בהקשר. אני לא רואה סיבה לרומם אובייקט די בסיסי כמו שדה לשלב במדרג שבו הוא ראוי להדגשות מיוחדות. עוזי ו. ⁃ שיחה 20:29, 3 באפריל 2024 (IDT)

אני חושב שאם יש לו סימון מיוחד זה דווקא מדגיש את החשיבות שלו, ואם הוא קיים נכון להשתמש בו. אולי נשאל את בעלי הידע במתמטיקהיונה בנדלאק, דניאל ב., hagay1000, פשוט, עוזי ו. (בנושאים מסוימים), דביר, איתי (לא בכל מה שקשור למתמטיקה), יואל, ruleroll (גאומטריה), רמי, Tshuva, בר, yotamsvoray, CodeGuru, Zardav, דוד שי, אכן, TergeoSoftware, MathKnight, מקף, E L Yekutiel, שגיא בוכבינדר שדור, YoavDvir, Meir2, Kivkiwi, Innaento, דימה, איתן, Vhinich, Shmoran הנוספים... שלום אורי • שיחה • כ"ה באדר ב' ה'תשפ"ד • 23:46, 3 באפריל 2024 (IDT)

אבל אין לשדה סימון מיוחד. במצבים שבהם שדה מופיע לצד אובייקטים אחרים שמסמנים אותם באות לטינית גדולה (כגון מטריצות), אפשר לייחד לשדה אות יוצאת דופן כדי לעזור לסטודנטים בתחילת דרכם. ויקיפדיה אינה טקסט מתמטי, ובערך הזה לא מופיעים אובייקטים כאלה. אין לי התנגדות להתייעץ עם כותבים אחרים, למרות שכנראה כתבתי יותר מאמרים על שדות מרובם. אפשר לסמן כל דבר איך שרוצים; אבל לא לנמק זאת בנימוקים שגויים בגוף הערך. עוזי ו. ⁃ שיחה 00:54, 4 באפריל 2024 (IDT)

אז אם נסמן בערך בסימון המיוחד ורק נמחק את המילים מהפתיח "בדרך כלל מסומן ב-" זה יהיה בסדר מבחינתך? לי זה עושה יותר נוח בעיניים, ואני מניח שלקוראים נוספים שהם אולי פחות מקצוענים בתחום... צריך לא לשכוח שזה ערך בסיסי שמגיעים אליו רבים גם פחות מומחים, מכיוון שתחומים כמו אלגברה ליניארית מבוססים עליו. שלום אורי • שיחה • כ"ה באדר ב' ה'תשפ"ד • 01:00, 4 באפריל 2024 (IDT)

וסטטיסטיקות הצפייה יעידו... מעטים הערכים המתמטיים שצוברים 1500 צפיות בחודש. [מהרצה שלי רק 250 ערכים תחת קט:מתמטיקה עברו החודש את ה-1000 (מתוך אלה שלא נכשלו בריצה, בערך מחצית מהדפים, 6300/13000) ורובם המוחלט בכלל לא מתמטיים. שיתפתי כי אלה נתונים מעניינים בלי קשר] שלום אורי • שיחה • כ"ה באדר ב' ה'תשפ"ד • 01:23, 4 באפריל 2024 (IDT)

אני לא רואה סיבה לסמן שדה באותיות מיוחדות. "כך עשה המרצה בכתה שלי" הוא נימוק שאין בו די פרספקטיבה. אם המטרה היא להקל על קורא שאינו מומחה, לכאורה עדיף שיהיו כמה שפחות סימונים לא שגרתיים. עוזי ו. ⁃ שיחה 11:50, 4 באפריל 2024 (IDT)

@עוזי ו., האם הניסוח הבא במקום כלשהו בערך מקובל עליך? "בשל חשיבותם של שדות בתחומי האנליזה המתמטית והאלגברה הליניארית, לעיתים הם מקבלים את הסימון המיוחד $\mathbb {F}$". מפריעה לי ההתעלמות המוחלטת מהסימון הזה, שעובדתית קיים במקומות כאלו ואחרים... שלום אורי • שיחה • י"ג בניסן ה'תשפ"ד • 14:56, 21 באפריל 2024 (IDT)

משפט מיותר שאינו מוסיף מידע - למחוק?

על כן, שדה הוא מבנה אלגברי בסיסי אשר נעשה בו שימוש נרחב באלגברה (במיוחד באלגברה מופשטת), תורת המספרים, ותחומים רבים אחרים במתמטיקה. Shmoran • שיחה 09:12, 22 באפריל 2024 (IDT)

עוד אמירה שלדעתי יש לסלק. אשמח להערות

"...במיוחד בתורת המספרים ובגאומטריה אלגברית." Shmoran • שיחה 07:18, 25 באפריל 2024 (IDT)

משפט לא ברור.

מה משמעות המשפט "שדות משמשים כרעיונות יסוד במספר תחומים מתמטיים"? מה זה "רעיון יסוד"? ולמה שדה הוא רעיון יסוד? Shmoran • שיחה 16:27, 25 ביוני 2024 (IDT)

@Shmoran, אני מנחש שהתכוונו לומר "מושג יסודי" או משהו כזה. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 17:49, 25 ביוני 2024 (IDT)

מסכים שמושג יסודי נשמע יותר טוב.מרעיון יסודי. Shmoran • שיחה 08:47, 26 ביוני 2024 (IDT)