פרדוקס סיבוב מטבעות
פרדוקס סיבוב המטבעות הוא בעיה מתמטית, הסותרת את האינטואיציה, המתארת מטבע המסתובב סביב שפת מטבע אחר בגודל שווה. המטבע הנע משלים שני סיבובים מלאים על ציר המטבע, ולא אחד, לאורך היקפו של המטבע הנייח וכאשר התצפית נעשית ממערכת חיצונית. ניתן להכליל את הבעיה גם למטבעות בעלי רדיוסים שונים.
תיאור
[עריכת קוד מקור | עריכה]התחל עם שני מטבעות זהים הנוגעים זה בזה כשצידי "ראשם" מוצגים ומקבילים. תוך שמירה על מטבע A נייח, סובב את מטבע B סביב A, תוך שמירה על נקודת מגע ללא החלקה. כאשר מטבע B יגיע לצד הנגדי, שני הראשים יהיו שוב מקבילים ובכך נראה כי מטבע B השלים סיבוב מלא סביב צירו. המשך תנועה של B יחזיר אותו לנקודת ההתחלה ובכך ישלים סיבוב שני סביב צירו. באופן פרדוקסלי, נראה שמטבע B עשה מרחק הכפול מהיקפו. [1] עם זאת, מכיוון ששני המטבעות בעלי היקף זהה, הרי בהגדרה מטבע B עבר דרך השווה להיקפו שלו. הסיבוב השני נובע מהעובדה שהנתיב שלאורכו הוא מתגלגל הוא מעגלי.
אחת הדרכים להמחיש את העניין היא למתוח קו ישר שאורכו שווה להיקף המטבע ולהסיע לאורכו את מטבע B. כך ניתן לראות שמטבע B מבצע רק סיבוב אחד סביב צירו לאורך הנתיב הישר. זהו "הסיבוב הראשון". באותה מידה, החלקת מטבע B סביב היקף מטבע A, במקום לגלגל אותו, תוך שמירה על נקודת המגע הנוכחית שלו, תקנה סיבוב נוסף המייצג את "הסיבוב השני" בתרחיש המקורי.
כאשר מטבע B מסתובב, כל נקודה בהיקפו מתארת עקומה קרדיואידית.
ניתוח ופתרון
[עריכת קוד מקור | עריכה]מתחילתו ועד סופו, מרכז המטבע הנע עובר במסלול מעגלי. היקף המטבע הנייח ומסלול המרכז יוצרים שני מעגלים קונצנטריים. רדיוס המעגל החיצוני הוא סכום הרדיוסים של המטבעות; לפיכך, היקף הנתיב של המרכז הנע הוא פי שניים מההיקף של כל אחד מהמטבעות. [2] מרכז המטבע המסתובב, מתקדם למרחק כפול מהיקפו. לכן, המטבע הנע מבצע שני סיבובים סביב צירו.[3]
רדיוסים לא שווים וצורות אחרות
[עריכת קוד מקור | עריכה]
מטבע ברדיוס r מתגלגל סביב מטבע ברדיוס R משלים Rr + 1 סיבובים. [4] הסיבה לכך היא שמרכז המטבע הנע עובר במסלול מעגלי עם רדיוס (או היקף) שלR + rr =Rr + 1 מהרדיוס שלו (או ההיקף). במקרה קצה, כאשר R = 0, המטבע עם רדיוס r יבצע 0r + 1 = סיבוב אחד.
הצורה שסביבה מגלגלים את המטבע לא חייבת להיות עיגול: סיבוב אחד מתווסף ליחס היקפים של שתי הצורות כאשר מדובר בכל מצולע פשוט או עקומה סגורה שאינה חותכת את עצמה. אם הצורה מורכבת, מספר הסיבובים שנוסף (או נגרע, אם המטבע מתגלגל בתוך העקומה) הוא הערך המוחלט של אינדקס הליפוף שלו.
יישומים
[עריכת קוד מקור | עריכה]יממה כוכבית
[עריכת קוד מקור | עריכה]הפרדוקס קשור ליממה כוכבית שהוא הזמן שלוקח לכדור הארץ להסתובב עד שכוכב מרוחק חוזר לאותו מיקום בשמיים, בעוד שיממה שמשית הוא הזמן שבו השמש חוזרת לאותו מיקום. בשנה יש בערך 365.25 ימי שמש, אבל 366.25 יממות כוכביות כדי לחשב סיבוב אחד סביב השמש. [5] מכיוון שליממה שמשית יש 24 שעות, ליממה כוכבית יש בערך 365.25366.25 × 24 שעות = 23 שעות, 56 דקות ו-4.1 שניות.
תורת החבורות
[עריכת קוד מקור | עריכה]גרסה של הפרדוקס קיימת גם בתורת החבורות, במיוחד הניתוח של חבורת לי. אחת ההרכבות של קבוצה זו מתבססת על העובדה שכדור המתגלגל סביב כדור אחר, אשר לו רדיוס גדול פי שלושה, יבצע ארבעה סיבובים מלאים, ולא שלושה. [6]
שגיאה במבחני SAT של שנת 1982
[עריכת קוד מקור | עריכה]ב-1 במאי 1982, במבחן ה-SAT לקבלה לקולג' בארצות הברית, הופיעה שאלה ולה מספר תשובות בנוגע לבעיה זו. שלושה נבחנים הוכיחו שבין האפשרויות שניתנו לא הייתה אף תשובה נכונה.[7][8]
ראו גם
[עריכת קוד מקור | עריכה]קישורים חיצוניים
[עריכת קוד מקור | עריכה]
- נגויאן, הויאן (2020-06-04). "הסברים אודות הפרדוקס ופתרונו". Quora.
- פרדוקס סיבוב מטבעות, באתר MathWorld (באנגלית)
הערות שוליים
[עריכת קוד מקור | עריכה]- ^ Pappas, Theoni (1990). The joy of mathematics: discovering mathematics all around you. San Carlos, Calif. ISBN 978-0-933174-65-8.
- ^ Bunch, Bryan H. (1982). Mathematical Fallacies and Paradoxes. Van Nostrand Reinhold. pp. 10–11. ISBN 0-442-24905-5.
- ^ מרכז המעגל נע לאורך ההיקף במהלך סיבוב אחד, באתר https://physics.stackexchange.com/, 2021 (באנגלית)
- ^ כולם שגו בשאלת SAT זו. MindYourDecisions. 2015-07-05.
- ^ Bartlett, A. K., Solar and Sidereal Time, Popular Astronomy, vol.
- ^ Baez, John C.; Huerta, John (2014). "G2 and the Rolling Ball". Transactions of the American Mathematical Society. 366: 5257–5293. arXiv:1205.2447. Bibcode:2012arXiv1205.2447B. doi:10.1090/S0002-9947-2014-05977-1. MR 3240924.
- ^ "טעות במבחן ה-SAT". ניו יורק טיימס (באנגלית). יונייטד פרס אינטרנשיונל. 1982-05-25. ISSN 0362-4331. נבדק ב-2021-02-09.
- ^ מילר, דרק (2023-11-30). שאלת ה-SAT שכולם שגו בה. Veritasium.